Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Enunciado

c) Suponha que X 1 e X 2 sejam variáveis contínuas, prove que E E X 2 X 1 = E ( X 2 ) = μ 2 .

Passo 1

c)

Lembrando que a gente calcula a esperança de uma variável fazendo:

E X = ∑ x . P ( X )

Então a esperança condicional ficaria:

E X 1 X 2 = ∑ x 1 x 1 . P ( x 1 | x 2 )

Porque agora nossa probabilidade é condiconal!

E você concorda comigo que isso aí que escrevemos dentro do somatório nada mais é que uma função da variável aleatória X 2 ? Porque vamos ter várias probabilidades condicionais ali dentro de “ x 1 dado x 2 ...”.

E aí a partir disso podemos dizer que a própria esperança condicional vai ser outra variável aleatória, já que vamos ter valores em função de uma v.a. dentro dela.

Passo 2

E agora vai rolar um inception de esperança! Tirando a esperança dos dois lados da equação, se liga no que acontece:

E E X 1 X 2 = ∑ x 2 E x 1 x 2 P ( x 2 )

É como se E X 1 X 2 fosse uma v.a. X qualquer, que entra na nossa esperança como x multiplicando a probabilidade referente a ele, que agora é em função de X 2 !

Substituindo E ( x 1 | x 2 ) pelo somatório visto no passo 1:

E E X 1 X 2 = ∑ x 2 ∑ x 1 x . P x 1 x 2 P ( x 2 )

Passo 3

E lembrando da fórmula da probabilidade condicional:

P X 1 X 2 = P X 1 , X 2 P X 2

Vamos escrever a condicional dentro do somatório de acordo com a fórmula da condicional:

E E X 1 X 2 = ∑ x 2 ∑ x 1 x . P x 1 , x 2 P x 2 P ( x 2 )

Cortando as P ( x 2 ) e separando os somatórios:

E E X 1 X 2 = ∑ x 1 x 1 ∑ x 2 P x 1 , x 2

Passo 4

Opa, mas o somatório de P x 1 , x 2 vai ser P ( x 1 ) , certo? Já que vamos somar todas as probabilidades para todos os x 2 que existem, vamos obter a probabilidade total de x 1 :

E E X 1 X 2 = ∑ x 1 x 1 P ( x 1 )

E olha aí no que chegamos! Na fórmula clássica pra calcular a esperança de X 1 , ou seja:

E E X 1 X 2 = ∑ x 1 x 1 P x 1 = E ( X 1 )

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   n o s   p a s s o s   v i s t o s   a c i m a

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