Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Enunciado

c) Suponha que X 1 e X 2 sejam variáveis contínuas, prove que E E X 2 X 1 = E ( X 2 ) = μ 2 .

Passo 1

c)

Lembrando que a gente calcula a esperança de uma variável contínua fazendo:

E X = ∫ - ∞ ∞ x . f x d x

Então para a esperança condicional do enunciado seria:

E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ x 2 . f x 2 | x 1 d x 2  

Porque agora nossa função de densidade é condicional!

E você concorda comigo que isso aí que escrevemos dentro da integral nada mais é que uma função da variável aleatória X 1 ? Porque vamos ter várias funções de densidades condicionais ali dentro de “ x 2 dado x 1 ...”.

E aí a partir disso podemos dizer que a própria esperança condicional vai ser outra variável aleatória, já que vamos ter valores em função de uma v.a. dentro dela.

Passo 2

E agora vai rolar um inception de esperança! Tirando a esperança dos dois lados da equação, se liga no que acontece:

E E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ E x 2 x 1 . f x 1 x 1 d x 1

É como se E X 2 X 1 fosse uma v.a. X qualquer, que entra na nossa esperança como x entra na fórmula normal: multiplicando a função de densidade referente a ele, que agora é em função marginal de X 1 !

Substituindo E ( X 2 | X 1 ) que ta dentro dessa integral pela integral vista no passo 1:

E E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 . f x 2 | x 1 . f x 1 x 1 d x 1 d x 2

Passo 3

E lembrando da fórmula da função de densidade condicional:

f x y = f x , y f y y

Vamos escrever a condicional dentro do somatório de acordo com a fórmula da condicional:

E E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 . f x 1 , x 2 f x 1 x 1 . f x 1 x 1 d x 1 d x 2

Cortando as marginais e separando as integrais:

E E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ x 2 . d x 2 ∫ - ∞ ∞ f x 1 , x 2 d x 1

Passo 4

Opa, mas a integral de f x 1 , x 2 em relação a x 1 vai ser f ( x 2 ) , certo? Já que integrar para todos os x 1 que existem, vamos obter a própria função de densidade de x 2 .

Imagina assim: vamos integrar todas as probabilidades conjuntas de X 2 e X 1 em função de x 1 , ou seja, vamos somar todas as probabilidades conjuntas para todos os valores de X 1 e no final só vão restar as probabilidades de X 2 . Então ficamos com:

E E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ x 2 . d x 2 ∫ - ∞ ∞ f x 1 , x 2 d x 1 = ∫ - ∞ ∞ x 2 . d x 2   .   f x 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 . f ( x 2 ) d x 2

E olha aí no que chegamos! Na fórmula clássica pra calcular a esperança de X 1 , ou seja:

E E X 2 X 1 = ∫ - ∞ ∞ x 2 . f ( x 2 ) d x 2 = E ( X 2 )

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o   n o s   p a s s o s   v i s t o s   a c i m a

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