Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Não Homogêneo

Elaboração Própria

Determine a solução do sistema abaixo

x ' = 2 x + y + e 2 t y ' = x + 2 y + 3 e 2 t

Passo 1

Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar g t

Repara que temos

g t = e 2 t 3 e 2 t

Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser

x ' = 2 x + y y ' = x + 2 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pelo método da eliminação.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = x ' - 2 x

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = x ' ' - 2 x '

Passo 3

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 2 x

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 4 x

x ' ' - 4 x ' + 3 x = 0

Passo 4

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - 4 r + 3 = 0

r 1 = 1

r 2 = 3

Esse é o caso onde Δ > 0 então a solução vai ser

x h t = C 1 e t + C 2 e 3 t

Passo 5

Agora temos que encontrar y

y = x ' - 2 x

y t = C 1 e t + C 2 e 3 t ' - 2 C 1 e t + C 2 e 3 t

y t = C 1 e t + 3 C 2 e 3 t - 2 C 1 e t - 2 C 2 e 3 t

y h t = - C 1 e t + C 2 e 3 t

Passo 6

Agora temos que achar a solução particular, lembra que g t vai ser

g t = e 2 t 3 e 2 t

Vamos arrumar g t

g t = 1 3 e 2 t

Aqui temos só uma exponencial, então a solução particular vai ficar

X p = x p y p = a e 2 t

Vamos chamar esse vetor a da seguinte forma

a = A B

Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.

X p = x p y p = A B e 2 t

Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.

Agora temos que cálculo a derivada dessa parada

Passo 7

A derivada vai ficar

X p ' = x p ' y p ' = 2 A 2 B e 2 t

Passo 8

Agora vamos substituir X p ' e X p no sistema

Vamos primeiro listar as funções aqui para ajudar

x p = A e 2 t

y p = B e 2 t

x p ' = 2 A e 2 t

y p ' = 2 B e 2 t

Substituindo no sistema vamos ter

2 A e 2 t = 2 A e 2 t + B e 2 t + e 2 t 2 B e 2 t = A e 2 t + 2 B e 2 t + 3 e 2 t

Vamos arrumar essas contas

2 A e 2 t = 2 A e 2 t + B e 2 t + e 2 t 2 B e 2 t = A e 2 t + 2 B e 2 t + 3 e 2 t

2 A e 2 t = 2 A + B + 1 e 2 t 2 B e 2 t = A + 2 B + 3 e 2 t

Assim vamos ter a seguinte relação

2 A = 2 A + B + 1

2 B = A + 2 B + 3

Isso nos diz que

B = - 1

A = - 3

Então a solução particular vai ficar

x p = - 3 e 2 t

y p = - e 2 t

Passo 9

A solução desse sistema vai ficar

y = y h + y p

x = x h + x p

Então

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t - e 2 t

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t - 3 e 2 t

Resposta

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t - 3 e 2 t

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t - e 2 t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas