Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Não Homogêneo

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 220, exercício 9 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

x ' = x - 5 y + cos t y ' = x - 3 y ,   x 0 = 1 1

Passo 1

Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar g t

Repara que temos

g t = cos t 0

Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser

x ' = x - 5 y y ' = x - 3 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos usar o método da eliminação aqui.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar x na segunda equação

x = y ' + 3 y

Agora vamos derivar implicitamente

x ' = y ' ' + 3 y '

Passo 3

O próximo passo é substituir x ' e x na primeira equação

y ' ' + 3 y ' = y ' + 3 y - 5 y

y ' ' + 3 y ' - y ' - 3 y + 5 y = 0

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Passo 4

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 + 2 r + 2 = 0

Vamos ter

Δ = 2 2 - 4.2 = 4 - 8 = - 4 < 0

As soluções da equação vão ser

r 1 = - 2 + 4 i 2 = - 2 + 2 i 2 = - 1 + i

r 2 = - 2 - 4 i 2 = - 2 - 2 i 2 = - 1 - i

A solução da homogênea vai ser

y h t = e - t C 1 cos t + C 2 sen t

Passo 5

Agora temos que encontrar x

x = y ' + 3 y

x t = e - t C 1 cos t + C 2 sen t ' + 3 e - t C 1 cos t + C 2 sen t

x t = - e - t C 1 cos t + C 2 sen t + e - t - C 1 sen t + C 2 cos t + e - t 3 C 1 cos t + 3 C 2 sen t

x t = e - t - C 1 + C 2 + 3 C 1 cos t + - C 2 - C 1 + 3 C 2 sen t

x h t = e - t 2 C 1 + C 2 cos t + - C 1 + 2 C 2 sen t

Passo 6

Agora temos que achar a solução particular, lembra que g t vai ser

g t = cos t 0

A solução particular vai ficar

X p = x p y p = a cos t + b sen t

Vamos chamar esse vetor a e b da seguinte forma

a = A B

b = C D

Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.

X p = x p y p = A B cos t + C D sen t

Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.

Agora temos que cálculo a derivada dessa parada

Passo 7

A derivada vai ficar

X p ' = x p ' y p ' = - A - B sen t + C D cos t

Passo 8

Agora vamos substituir X p ' e X p no sistema

Vamos primeiro listar as funções aqui para ajudar

x p = A cos t + B sen t

y p = C cos t + D sen t

x p ' = - A sen t + B cos t

y p ' = - C sen t + D cos t

Substituindo no sistema vamos ter

- A sen t + B cos t = A cos t + B sen t - 5 C cos t + D sen t + cos t - C sen t + D cos t = A cos t + B sen t - 3 C cos t + D sen t

Vamos arrumar essas contas

- A sen t + B cos t = A cos t + B sen t - 5 C cos t - 5 D sen t + cos t - C sen t + D cos t = A cos t + B sen t - 3 C cos t - 3 D sen t

- A sen t + B cos t = A - 5 C + 1 cos t + B - 5 D sen t - C sen t + D cos t = A - 3 C cos t + B - 3 D sen t

Assim vamos ter a seguinte relação

- A = B - 5 D

B = A - 5 C + 1

- C = B - 3 D

D = A - 3 C

Somando a primeira equação com a segunda vamos ter

- A = A - 5 C - 5 D + 1

2 A = 5 C + 5 D - 1

Somando a segunda equação com a terceira vamos ter

- C = A - 5 C + 1 - 3 D

A = 4 C + 3 D - 1

Isso nos diz que

2 4 C + 3 D - 1 = 5 C + 5 D - 1

8 C + 6 D - 2 = 5 C + 5 D - 1

3 C = - D + 1

D = - 3 C + 1

Isso nos diz que

A = 4 C + 3 - 3 C + 1 - 1

A = 4 C - 9 C + 3 - 1

A = - 5 C + 2

Substituindo isso na última equação vamos ter

- 3 C + 1 = - 5 C + 2 - 3 C

1 = - 5 C + 2

5 C = 1

C = 1 5

Assim

A = 1

D = - 3 5 + 1 = 2 5

B = 1 - 1 + 1 = 1

Então a solução particular vai ficar

x p = cos t + sen t

y p = cos t 5 + 2 sen t 5

Passo 9

A solução desse sistema vai ficar

y = y h + y p

x = x h + x p

Então

x t = e - t 2 C 1 + C 2 cos t + - C 1 + 2 C 2 sen t + cos t + sen t

y t = e - t C 1 cos t + C 2 sen t + cos t 5 + 2 sen t 5

Passo 10

Agora temos que aplicar o valor inicial que ele nos deu. Sendo assim.

x 0 = 1 × 2 C 1 + C 2 × 1 + - C 1 + 2 C 2 × 0 + 1 + 0 = 1

C 2 = - 2 C 1

y 0 = 1 × C 1 × 1 + C 2 × 0 + 1 5 + 2 × 0 5 = 1

C 1 = 4 5 ,     C 2 = - 8 5

Resposta

x t = - 12 5 e - t   sen t + cos t + sen t

y t = e - t 4 5 cos t - 8 5 sen t + cos t 5 + 2 sen t 5

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