Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan

Enunciado

Determine a solução do sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan

x + 2 y = 1 x + 3 y = 0

Passo 1

Olááá!! Vamos utilizar o método de Gauss-Jordan para tentar encontrar a solução do sistema

x + 2 y = 1 x + 3 y = 0

Show de bola?!

Antes de qualquer coisa vamos lembrar que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,

Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Beleza?! Então vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 2 1 3 x y = 1 0

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 2 1 3 1 0

Beleza?!

Passo 3

Fase 1 – Eliminação:

Vamos encontrar o pivô da primeira linha.

Não sabe o que significa o pivô???? Calmaaa!! Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 1:

1 2 1 3 1 0

Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô!

1 2 1 3 1 0

Para zerar o elemento abaixo do 1 podemos fazer a combinação abaixo

L 2 ← L 2 - 1 L 1

Assim, fazendo essa continha para cada elemento da segunda linha e substituindo os valores na segunda linha, temos

1 2 0 1 1 - 1

Beleza?!

Passo 4

Beleza... Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira linha! Agora precisamos zerar o elemento acima do pivô da segunda linha!!

1 2 0 1 1 - 1

Como podemos fazer isso? Podemos fazer a combinação abaixo

L 1 ← L 1 - 2 L 2

Assim, fazendo essa continha para cada elemento da primeira linha e substituindo os valores na primeira linha, temos

1 0 0 1 3 - 1

Show de bola?!

Passo 5

Fase 2Voltar pra forma de sistema:

Pegando a nossa matriz

1 0 0 1 3 - 1

E passando para a forma de sistema, temos

x = 3 y = - 1      

Ou seja, a nossa solução é

x , y = 3 ,   - 1

Resposta

x , y = 3 ,   - 1