Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

Enunciado

No método de Gauss-Seidel uma condição suficiente (sempre que for satisfeita vai convergir, mas dá pra convergir sem ela também) para a convergência do método de Gauss-Seidel é o critério de Sassenfeld. Verifique se o critério de de Sassenfeld é satisfeito no caso abaixo

A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12

Passo 1

O objetivo do método de Gauss-Seidel é encontrar uma aproximação desejada para a solução de sistemas lineares. Porém, para poder aplicar esse método, precisamos primeiro falar sobre convergência, pois só poderemos aplicar esse método se o sistema linear convergir.

Show de bola?!

Tá... e como funciona esse critério de convergência?

Uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Seidel é o critério de Sassenfeld. Nesse critério precisamos calcular um β para cada linha da matriz. Se o maior desses β n for menor do que 1, então o nosso critério foi satisfeito e o método irá convergir!!

Vamos fazer as continhas pra ficar mais claro!

Aqui como o nosso sistema tem 3 equações, calcularemos β 1 ,   β 2 e β 3 :

β 1 = a 12 + a 13 + … + a 1 n a 11

β 2 = a 21 β 1 + a 23 + … + a 2 n a 22

β 3 = a 31 β 1 + a 32 β 2 + … + a 3 n a 33

Ou seja, é bem parecido com o critério das linhas né? A diferença é que os β que calculamos entram na fórmula dos β seguintes! No β 2 nós já tínhamos calculado o β 1 , então ele entrou multiplicando o termo da coluna 1 a 21 !

Beleza?! Vamos então substituir os valores e fazer as continhas?!

Passo 2

Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = a 12 + a 13 a 11

Substituindo os valores, temos

β 1 = 1 + 1 10 = 0.2

Agora vamos calcular β 2

β 2 = a 21 β 1 + a 23 a 22

Substituindo os valores,

β 2 = 0.2 ∙ 1 + 1 10 = 0.12

Da mesma forma,

β 3 = a 31 β 1 + a 32 β 2 a 33

Portanto,

β 3 = 0.2 ∙ 1 + 0.12 ∙ 1 10 = 0.032

Logo, β = 0.2 < 1 . O critério é satisfeito. Assim como em Gauss-Jacobi, se esse critério for satisfeito você pode usar qualquer chute inicial que quiser que o método vai convergir! Quanto melhor o chute, mais rápido vamos convergir, mas podemos escolher qualquer vetor como aproximação inicial.

Beleza?!

Resposta

O critério é satisfeito.