Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

USP, Cálculo 4, P-SUB - 2017, Questão 3a

Determine a solução geral da equação

3 y ' ' - 6 y ' + 6 y = x 2 + e 2 x cos ⁡ x .

Passo 1

Ok, temos uma EDO de segunda ordem não homogênea aqui. Assim, nossa solução será a soma da parte homogênea com a particular: y x = y h x + y p x

Vamos começar então com a parte homogênea que é dada pela equação

3 y ' ' - 6 y ' + 6 y = 0 .

Beleza, a partir dela, tiramos a equação característica

3 r 2 - 6 r + 6 = 0 .

Por Bhaskara, teremos

Δ = b 2 - 4 a c = 36 - 4 ⋅ 3 ⋅ 6 = 36 - 72 = - 36 < 0 .

Como Δ < 0 , teremos duas raízes distintas e complexas na forma

r = α ± i β .

E a solução terá exponencial, senos e cossenos:

y h x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

Sendo c 1 e c 2 constantes gerais. Beleza. Calculando nosso r , vamos ter

r = - b ± Δ 2 a = 6 ± 6 i 6 = 1 ± i

α = 1 β = 1

Assim, nossa solução homogênea será

y h x = e x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos olhar para a solução particular. Nossa EDO está igualada a

x 2 + e 2 x cos ⁡ x .

Temos duas situações distintas aqui. Uma é a parte com o polinômio solto x 2 e a outra é com o produto e 2 x cos ⁡ x . Assim, vamos considerar duas funções y p 1 x e y p 2 x para facilitar, sendo

y p 1 x = A + B x + C x 2

associado ao polinômio. E também

y p 2 x = e 2 x D sen ⁡ x + E cos ⁡ x .

Associada a parte restante.

Para determinar as constantes, vamos substituir cada uma na EDO. Vamos começar com y p 1 x . Derivando temos:

y p 1 x = A + B x + C x 2

y p 1 ' x = B + 2 C x

y p 1 ' ' x = 2 C

Portanto:

3 y ' ' - 6 y ' + 6 y = x 2

3 2 C - 6 B + 2 C x + 6 A + B x + C x 2 = x 2

Agora distribuímos e juntamos os termos de mesmo grau, ficando

6 C - 6 B - 12 C x + 6 A + 6 B x + 6 C x 2 = x 2

6 C - 6 B + 6 A + 6 B - 12 C x + 6 C x 2 = 0 + 0 x + 1 x 2 .

Comparando os coeficientes chegamos no sistema

6 C - 6 B + 6 A = 0 6 B - 12 C = 0 6 C = 1

Ou seja, teremos

C = 1 6

6 B - 12 ⋅ 1 6 ⟹ 6 B = 2 ⟹ B = 1 3

6 ⋅ 1 6 - 6 ⋅ 1 3 + 6 A = 0 ⟹ 1 - 2 + 6 A = 0 ⟹ A = 1 6

Ficando a solução

y p 1 x = 1 6 + 1 3 x + 1 6 x 2 .

Passo 3

Agora, vamos para a solução y p 2 x . Novamente vamos derivar para poder substituir na EDO. Usando a regra do produto:

y p 2 x = e 2 x D sen ⁡ x + E cos ⁡ x

y p 2 ' x = 2 e 2 x D sen ⁡ x + E cos ⁡ x + e 2 x D cos ⁡ x - E sen ⁡ x

= e 2 x 2 D - E sen ⁡ x + 2 E + D cos ⁡ x

y p 2 ' ' x = 2 e 2 x 2 D - E sen ⁡ x + 2 E + D cos ⁡ x +

e 2 x 2 D - E cos ⁡ x - 2 E + D sen ⁡ x

= e 2 x 4 D - 2 E sen ⁡ x + 4 E + 2 D cos ⁡ x + 2 D - E cos ⁡ x - 2 E + D sen ⁡ x

= e 2 x 3 D - 4 E sen ⁡ x + 4 D + 3 E cos ⁡ x

Agora vamos substituir isso na nossa EDO e comparar:

3 y ' ' - 6 y ' + 6 y = e 2 x cos ⁡ x

3 e 2 x 3 D - 4 E sen ⁡ x + 4 D + 3 E cos ⁡ x

- 6 e 2 x 2 D - E sen ⁡ x + 2 E + D cos ⁡ x

+ 6 e 2 x D sen ⁡ x + E cos ⁡ x = e 2 x cos ⁡ x

Novamente distribuímos:

e 2 x 9 D - 12 E sen ⁡ x + 12 D + 9 E cos ⁡ x

+ e 2 x - 12 D + 6 E sen ⁡ x + - 6 D - 12 E cos ⁡ x

+ e 2 x 6 D sen ⁡ x + 6 E cos ⁡ x = e 2 x cos ⁡ x

Tá grande, mas vamos no talento. Juntando agora os senos e cossenos para poder comparar:

e 2 x 3 D - 6 E sen ⁡ x + 6 D + 3 E cos ⁡ x = e 2 x 0 ⋅ sen ⁡ x + 1 cos ⁡ x

Chegando ao sistema:

3 D - 6 E = 0 6 D + 3 E = 1

Da primeira equação, temos

3 D = 6 E

Assim:

6 D + 3 E = 1 ⟹ 12 E + 3 E = 1 ⟹ E = 1 15

3 D = 6 E ⟹ D = 2 15

Assim, nossa segunda solução particular será

y p 2 x = e 2 x 2 15 sen ⁡ x + 1 15 cos ⁡ x

Passo 4

Agora basta juntarmos o que calculamos. Para a solução particular, temos:

y p x = y p 1 x + y p 2 x

= 1 6 + 1 3 x + 1 6 x 2 + e 2 x 2 15 sen ⁡ x + 1 15 cos ⁡ x

Assim, a solução final vai ser:

y x = y h x + y p x

y x = y h x = e x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x + 1 6 + 1 3 x + 1 6 x 2 + e 2 x 2 15 sen ⁡ x + 1 15 cos ⁡ x

Ficou bem extenso, mas é nosso! S2.

Resposta

y x = y h x = e x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x + 1 6 + 1 3 x + 1 6 x 2 + e 2 x 2 15 sen ⁡ x + 1 15 cos ⁡ x

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