Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2009.2, Questão 2

  1. Determine a solução geral da equação
  2. y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0

  3. Utilize o resultado do item (a) para determinar a solução geral da equação
  4. y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x + 2

  5. Utilize o resultado do item (b) para determinar a solução do problema de valor inicial

y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x ( x + 2 ) y 0 = - 1 y ' 0 = 1

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0

Ótimo! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0

Logo:

a = 1 b = 4 c = 4

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 4 2 - 4 1 ( 4 )

Δ = 0

Δ = 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 4 r + 4 = 0

r 2 + 4 r + 4 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( 4 ) ± 0 2 ( 1 )

r = - 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

Substituindo o valor de r :

y t = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x

y x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x

Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!

Passo 6

y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x + 2

Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = f ( x ) :

A equação já está nessa forma:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x + 2

f x = e - 2 x x + 2

Passo 7

Encontrar solução homogênea:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = 0

Acabamos de resolver:

y h x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x

Passo 8

Encontrar y p ( x ) com coeficientes a determinar:

A função f ( x ) é uma multiplicação de diferentes funções:

  • Função polinomial: x + 2
  • Função exponencial: e - 2 x

Então y p ( x ) será também uma multiplicação desses tipos de funções:

y p x = A x + B . e - 2 x

Passo 9

Verificar se a solução particular y p ( x ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução satisfaz a equação homogênea!

Pois os termos x e - 2 x e e - 2 x estão na solução da equação homogênea.

Portanto, temos que multiplicar por x 2 a solução exponencial em y p x :

y p x = A x + B . x 2 e - 2 x

y p x = A x 3 + B x 2 e - 2 x

Passo 10

Encontrar derivadas de y p ( x ) :

y p x = A x 3 + B x 2 e - 2 x y p ' x = - 2 A x 3 + 3 A - 2 B x 2 + 2 B x e - 2 x y p ' ' x = 4 A x 3 + 4 B - 12 A x 2 + 6 A - 8 B x + 2 B e - 2 x

Passo 11

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = e - 2 x x + 2

4 A x 3 + 4 B - 12 A x 2 + 6 A - 8 B x + 2 B e - 2 x + 4 - 2 A x 3 + 3 A - 2 B x 2 + 2 B x e - 2 x + 4 A x 3 + B x 2 e - 2 x = x + 2 e - 2 x

6 A x + 2 B e - 2 x = x + 2 e - 2 x

6 A = 1 2 B = 2

Resolvendo o sistema:

A = 1 6 B = 1

Passo 12

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p x = A x 3 + B x 2 e - 2 x

Substituindo as constantes:

y p x = 1 6 x 3 + x 2 e - 2 x

Passo 13

Encontrar solução geral:

y x = y h x + y p ( x )

y x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x + 1 6 x 3 + x 2 e - 2 x

y x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x + 1 6 x 3 + x 2 e - 2 x

y x = c 1 + c 2 x + x 2 + 1 6 x 3 e - 2 x

Legal! Item (b) resolvido! Partiu item (c) agora!

Passo 14

Resolver PVI:

y 0 = - 1 y ' 0 = 1

Calcular derivada:

y ' x = ( c 2 - 2 c 1 ) + 2 - c 2 x - 3 2 x 2 - 1 3 x 3 e - 3 x

Calcular y ( 0 ) e y ' ( 0 ) :

y 0 = c 1

y ' 0 = c 2 - 2 c 1

Substituir condições iniciais dadas:

y 0 = - 1 y ' 0 = 1

c 1 = - 1 c 2 - 2 c 1 = 1

Resolvendo o sistema:

c 1 = - 1 c 2 = - 1

Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:

y x = c 1 + c 2 x + x 2 + 1 6 x 3 e - 2 x

y x = - 1 - x + x 2 + 1 6 x 3 e - 2 x

E pronto! Item (c) resolvido! Fim!

Resposta

  1. y x = c 1 e - 2 x + c 2 x e - 2 x

  2. y x = c 1 + c 2 x + x 2 + 1 6 x 3 e - 2 x

y x = - 1 - x + x 2 + 1 6 x 3 e - 2 x

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