Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

Determine a solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem não homogênea com coeficientes constantes:

y ' ' + y ' + y = e t sen ⁡ w t ,   w = 3 2

Passo 1

A equação é não homogênea, então a solução geral é

y = y h + y p

onde y h é a solução já encontrada:

y h = e - 1 2 ( c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t )

Vamos agora achar a solução particular

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:

y ' ' + y ' + y = e t sen ⁡ w t

Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra y p . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.

Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!

y p = e t A cos ⁡ w t + B sen ⁡ w t

Passo 3

Show! Vamos derivar a função, usando as regra do produto e da cadeia:

y p ' = e t A cos ⁡ w t + B sen ⁡ w t + e t w A - sen ⁡ w t + w B cos ⁡ w t

y p ' = e t A + w B cos ⁡ w t + B - w A sen ⁡ w t

Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda:

y p ' ' = e t A + w B cos ⁡ w t + B - w A sen ⁡ w t + e t w A + w B - sen ⁡ w t + w B - w A cos ⁡ w t  

y p ' ' = e t A + w B cos ⁡ w t + B - w A sen ⁡ w t - w A + w B sen ⁡ w t + w B - w A cos ⁡ w t

⇒   y p ' ' = e t A w 2 - 2 B w - A cos ⁡ w t - B w 2 + 2 A w - B sen ⁡ w t

Ufa! Demorou mas foi!

Passo 4

Agora vamos substituir y p , y p ' e y p ' ' na EDO:

y ' ' + y ' + y = e t sen ⁡ w t

O que dá esse troço bizarro aí:

e t A w 2 - 2 B w - A cos ⁡ w t - B w 2 + 2 A w - B sen ⁡ w t + e t A + w B cos ⁡ w t + B - w A sen ⁡ w t + e t A cos ⁡ w t + B sen ⁡ w t = e t sen ⁡ w t

Depois de cortarmos e t e colocarmos em evidencia o seno e o cosseno chegamos a:

- A w 2 + 3 B w + 3 A cos ⁡ ( w t ) - B w 2 + 3 A w - 3 B sen ⁡ ( w t ) = s e n ⁡ w t

Passo 5

Excelente! Repare que do lado direito temos

sen ⁡ w t = 0 . cos ⁡ w t + 1 . sen ⁡ ( w t )

Ou seja, vamos cair num sistema:

- A w 2 + 3 B w + 3 A = 0 B w 2 + 3 A w - 3 B = - 1

Arrumando um pouco:

A - w 2 + 3 + B ( 3 w ) = 0 A 3 w + B ( w 2 - 3 ) = - 1

Substituindo uma equação na outra chegamos a:

A = - 3 w w 4 + 3 w 2 + 9 B = w 2 - 3 w 4 + 3 w 2 + 9

Substituindo w = 3 2 :

A = - 8 3 63 B = 4 21

Passo 6

Então solução particular é:

y p = e t A cos ⁡ w t + B sen ⁡ w t

⇒ y p = e t - 8 3 63 cos ⁡ w t + 4 21 sen ⁡ w t

Lembrando que achamos a solução homogênea

y h = e - 1 2 ( c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t )

Logo, a solução geral da equação vai ser

y = y h + y p

⇒ y = e - 1 2 c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t + e t - 8 3 63 cos ⁡ w t + 4 21 sen ⁡ w t

Resposta

y = e - 1 2 c 1 cos ⁡ 3 2 t + c 2 sen ⁡ 3 2 t + e t - 8 3 63 cos ⁡ w t + 4 21 sen ⁡ w t

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