Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

EDO de 2ª Ordem não Homogênea

A EDO x ' ' - 4 x = t e t + cos 2 t possui uma solução geral da forma:

(a) x t = A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

(b) x t = A t + B e t + C t cos 2 t + D t sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

(c) x t = A t + B e t + c 1 e 2 t cos 2 t + c 2 e - 2 t sen 2 t

(d) A t e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

(e) t A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

Passo 1

A equação é não homogênea, então a solução geral é

x = x h + x p

onde x h é a solução homogênea e x p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea x h ! A equação homogênea é a mesma mas com 0 do lado direito:

x ' ' - 4 x = 0

A equação já está na forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

com a = 1 ,   b = 0 e c = - 4 . Vamos calcular o discriminante!

Δ = b 2 - 4 a c = 0 - 4.1 - 4 = 16 = 4 > 0

Show! A equação auxiliar é

r 2 - 4 = 0

r 2 = 4

r = ± 2

r 1 = 2     e     r 2 = - 2

Não precisamos do discriminante pra achar as raízes, mas precisamos do sinal dele pra saber qual é a forma da solução da equação. Como Δ > 0 , vamos ter:

x h t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

    x h t = c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Excelente, agora vamos achar a solução particular! Na verdade, felizmente, não vamos ter que fazer quase nada! Pois é, basta olhar as opções: todas elas envolvem número desconhecidos A , B , C e D . Ou seja, só temos que achar qual vai ser a forma da solução, sem tem que fazer todas as contas chatas!

Vamos dar uma olhada na função do lado direito da EDO:

t e t + cos 2 t

Temos a soma de duas funções, então vamos achar qual seria a solução pra cada uma delas separada e depois a gente soma os resultados, beleza?

Passo 3

A primeira função é t e t , um polinômio de grau 1 multiplicando uma exponencial. Então o nosso primeiro reflexo é tentar algo do tipo

x p 1 t = A t + B e t

Essa x p 1 não é solução da homogênea (não há nenhum termo e t ou t e t na solução homogênea), então esse é o “chute” certo!

A outra função é cos 2 t . Não tem mistério né? Vamos fazer a soma de um cosseno e de um seno:

x p 2 t = C cos 2 t + D sen 2 t

A solução homogênea não tem função trigonométrica nenhuma então assim tá ótimo!

Juntando as duas soluções particulares que a gente achou:

x p t = A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t

Passo 4

Como a solução particular não tem termos da solução homogênea, esse é o palpite que usaremos como solução particular.

Passo 5

Agora juntando com a solução da homogênea, obtemos a solução geral:

x t = A t + B e t + C cos 2 t + D sen 2 t + c 1 e 2 t + c 2 e - 2 t

Resposta

Alternativa (a)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas