Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

EDO de 2ª ordem não homogênea

Resolva a EDO

y ' ' + y = x - 1 cos x

Passo 1

Vemos uma EDO de segunda ordem, não homogênea, certão? Simbora pro polinômio característico, resolver a homogênea primeiro!

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Assim a solução da homogênea é:

y h = c 1 cos ( x ) + c 2 sen ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que resolver a não homogênea, vamos usar o método dos coeficientes a determinar!

Analisando a parte polinomial, vemos que um bom chute seria: y p 1 = A x + B

E da parte trigonométrica, um bom chute seria : y p 2 = C cos ( x ) + D sen ( x )

Assim a solução particular é dada por:

y p = ( A x + B ) ( C cos x + D sen x )

Passo 3

Cuidado! Abre essa multiplicação rapidão. Você vai ver q quando você multiplica o B por Ccos ( x ) , vai ficar uma constante vezes cos ( x ) , ou seja, ficou com a mesma cara que a solução homogênea. A mesma coisa acontece pro sen ( x ) , por causa disso, vamos multiplicar tudo por x , que é o que vimos na nossa teoria:

y p = ( A x 2 + B x ) ( C cos x + D sen x )

Agora sim! Vamos achar o valor dessas constantes, para isso vamos multiplicar os paranauês:

y p = A x 2 cos ( x ) + B x 2 sen ( x ) + C x cos ( x ) + D x sen ( x )

Percebe que eu juntei as constantes: por exemplo, chamei A C de A de novo, isso não muda nada, porque vamos determinar essas constantes agora.

Passo 4

Derivando:

y p ' = - A x 2 sen x + 2 A x cos x + B x 2 cos x + 2 B x sen x - C x sen x + C cos x + D x cos x + D sen ( x )

Não esquece da regra do produto! Então, por exemplo:

  A C x 2 cos x ' = A C x 2 sen x + 2 A C x cos x

Sacou? Bem, temos que derivar de novo essa bagaça =((

y p ' ' = - A x 2 cos x - 2 A x sen x - 2 A x sen x + 2 A cos x - B x 2 sen x + 2 B x cos x + 2 B x cos x + 2 B sen x - C x cos x - C sen x - C sen x - D x sen x + D cos x + D cos ( x )

Ok, vai derivando termo por termo, com calma, que chega lá!

Passo 5

Substituindo y p ' '   e   y p   na EDO:

- 2 A x sen x - 2 A x sen x + 2 A cos x + 2 B x cos x + 2 B x cos x + 2 B sen x - C sen x - C sen x + D cos x + D cos ( x ) = x - 1 cos x

Agrupando:

- 4 A x sen x + 2 B - 2 C sen x + 2 A + 2 D cos x + 4 B x cos x = x cos x - cos ( x )

Passo 6

Igualando os termos

- 4 A = 0 A = 0 2 B - 2 C = 0 B = C 2 A + 2 D = - 1 4 B = 1

Isso tá uma loucura hahaha, mas vamos lá, da quarta equação nós temos que:

B = 1 4

Da segunda, nós temos que:

C = 1 4

Da terceira:

D = - 1 2

E já vimos na primeira que A = 0

Passo 7

Uffa!! Ficou assim:

y p = 1 4 x 2 sen ( x ) + 1 4 x cos ( x ) - 1 2 x sen ( x )

Então ok

Passo 8

Então a solução geral é:

y = y h + y p

y = c 1 cos ( x ) + c 2 sen ( x ) + 1 4 x 2 sen ( x ) + 1 4 x cos ( x ) - 1 2 x sen ( x )

Até vou parar pra tomar uma limonada, que questãozinha hen! hahah

Resposta

y = c 1 cos ( x ) + c 2 sen ( x ) + 1 4 x 2 sen ( x ) + 1 4 x cos ( x ) - 1 2 x sen ( x )

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