Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

EDO de 2ª ordem não Homogênea

Resolva o problema de contorno:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos ⁡ 2 x y 0 = 0 ,       y π 2 = 0

Passo 1

A equação é não homogênea, então a solução geral é

y = y h + y p

onde y h é a solução homogênea e y p é a solução particular.

Vamos começar achando a solução homogênea y h ! A equação homogênea é a mesma, mas com 0 do lado direito:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

A equação auxiliar é:

r 2 - 4 r + 5 = 0

Resolvendo

⇒   r = - b ± i Δ 2 a = 4 ± 2 i 2 = 2 ± i

Temos

α = 2     e     β = 1

Então a solução homogênea da equação é:

e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x  

⇒ y h x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que o bicho pega, vamos achar a solução particular! Lembrando que a equação é:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = e x cos ⁡ 2 x

Temos que determinar qual vai ser o nosso “chute” pra y p . Vamos começar identificando a função do lado direito da equação.

Temos uma função exponencial multiplicando uma trigonométrica, então nossa solução particular também vai ser algo do tipo!

y p ( x ) = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x

Passo 3

Como a função e x cos ⁡ ( 2 x ) não é solução da equação homogênea, podemos tentar aquela solução do passo anterior mesmo. Toma cuidado para não confundir, na solução homogênea temos e 2 x , na particular temos e x !

Passo 4

Show! Vamos derivar a função, usando as regra do produto e da cadeia:

y p ' x = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x + e x A - sen ⁡ 2 x . 2 + B cos ⁡ 2 x . 2

y p ' x = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x - 2 A sen ⁡ 2 x + 2 B cos ⁡ 2 x

⇒   y p ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x

Agora é arregaçar as mangas e calcular essa derivada segunda:

y p ' ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x + e x A + 2 B - sen ⁡ 2 x . 2 + B - 2 A cos ⁡ 2 x . 2  

y p ' ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x - 2 A + 2 B sen ⁡ 2 x + 2 B - 2 A cos ⁡ 2 x

y p ' ' x = e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x - 2 A + 4 B sen ⁡ 2 x + 2 B - 4 A cos ⁡ 2 x

y p ' ' x = e x A + 2 B + 2 B - 4 A cos ⁡ 2 x + B - 2 A - 2 A - 4 B sen ⁡ 2 x

⇒   y p ' ' x = e x 4 B - 3 A cos ⁡ 2 x - 4 A + 3 B sen ⁡ 2 x

Ufa! Demorou mas foi!

Passo 5

Agora vamos substituir y p , y p ' e y p ' ' na EDO:

y p ' ' - 4 y p ' + 5 y p = e x cos ⁡ 2 x

O que dá esse troço bizarro aí:

e x 4 B - 3 A cos ⁡ 2 x - 4 A + 3 B sen ⁡ 2 x - 4 e x A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x + 5 e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x = e x cos ⁡ 2 x

A primeira coisa que podemos fazer é cortar e x dos 2 lados:

4 B - 3 A cos ⁡ 2 x - 4 A + 3 B sen ⁡ 2 x - 4 A + 2 B cos ⁡ 2 x + B - 2 A sen ⁡ 2 x + 5 A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x = cos ⁡ ( 2 x )

Melhorou um pouco né? Agora vamos juntar todos os senos e cossenos:

4 B - 3 A - 4 A + 2 B + 5 A cos ⁡ ( 2 x ) + - 4 A - 3 B - 4 B - 2 A + 5 B sen ⁡ ( 2 x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

⇒ 4 B - 3 A - 4 A - 8 B + 5 A cos ⁡ 2 x + - 4 A - 3 B - 4 B + 8 A + 5 B sen ⁡ ( 2 x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

⇒ - 2 A - 4 B cos ⁡ 2 x + 4 A - 2 B sen ⁡ 2 x = c o s ⁡ ( 2 x )

Passo 6

Excelente! Repare que do lado direito temos

cos ⁡ 2 x = 1 . cos ⁡ 2 x + 0 . sen ⁡ ( 2 x )

Ou seja, vamos cair num sistema:

- 2 A - 4 B = 1 4 A - 2 B = 0

Podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somá-la com a segunda:

2 - 2 A - 4 B + 4 A - 2 B = 2.1 + 0

- 4 A - 8 B + 4 A - 2 B = 2

- 10 B = 2

⇒   B = - 2 10 = - 1 5

E pela segunda equação, temos

4 A = 2 B

⇒ 2 A = B = - 2 10

⇒ A = - 1 10

Passo 7

Então solução particular é:

y p ( x ) = e x A cos ⁡ 2 x + B sen ⁡ 2 x

⇒ y p x = e x - 1 10 cos ⁡ 2 x - 2 10 sen ⁡ 2 x

⇒ y p x = - 1 10 e x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x

Lembrando que achamos a solução homogênea

y h x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Logo, a solução geral da equação vai ser

y = y h + y p

⇒ y x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x - 1 10 e x cos ⁡ 2 x + 2 sen ⁡ 2 x

Passo 8

Ótimo, estamos quase acabando, só falta determinar c 1 e c 2 ! É agora que entram as condições de contorno:

y 0 = 0 y π 2 = 0

Vamos calcular y 0 :

y 0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 - 1 10 e 0 cos ⁡ 0 + 2 sen ⁡ 0

y 0 = 1 . c 1 . 1 + c 2 . 0 - 1 10 ∙ 1 ( 1 + 2.0 )

y 0 = c 1 - 1 10

Ou seja:

c 1 - 1 10 = 0

⇒ c 1 = 1 10

Passo 9

Agora partiu y π 2 :

y π 2 = e π c 1 cos ⁡ π 2 + c 2 sen ⁡ π 2 - 1 10 e π 2 cos ⁡ π + 2 sen ⁡ π

y π 2 = e π 1 10 . 0 + c 2 . 1 - 1 10 e π 2 - 1 + 2.0