Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Produto de Funções

EDO de 2ª ordem homogênea, EDO de 2ª ordem não homogênea

Seja a equação diferencial ordinária y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = f ( t ) .

  1. Considere f ( t ) 0 . Encontre a solução geral desta equação diferencial ordinária.
  2. Considere, agora, que f t = t 2 e 3 t , y 0 = 6 e y ' 0 = 15 . Encontre a solução para este problema de valor inicial.

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = 0

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Ótimo! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' - 4 y ' + 4 y = 0

Logo:

a = 1 b = - 4 c = 4

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4 1 ( 4 )

Δ = 0

Δ = 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 4 r + 4 = 0

r 2 - 4 r + 4 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a = - ( - 4 ) ± 0 2 ( 1 )

r = 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t

Substituindo o valor de r :

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

Item (a) resolvido! Vamos ao item (b)!

Passo 6

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = t 2 e 3 t y 0 = 6 y ' 0 = 15

Basta encontrar agora a solução particular da EDO não homogênea!

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = f ( t ) :

A equação já está nessa forma:

y ' ' - 4 y ' + 4 y = f ( t )

f t = t 2 e 3 t

Passo 7

Encontrar y p ( t ) com coeficientes a determinar:

A função f ( t ) é uma multiplicação de diferentes funções:

  • Função polinomial: t 2
  • Função exponencial: e 3 t

Então y p ( t ) será também uma multiplicação desses tipos de funções:

y p t = A t 2 + B t + C . e 3 t

Passo 8

Verificar se a solução particular y p ( t ) não é solução geral da equação homogênea:

Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea! Veja que a homogênea é e 2 t e a particular e 3 t .

Passo 9

Encontrar derivadas de y p ( t ) :

y p t = A t 2 + B t + C e 3 t y p ' t = 3 A t 2 + 2 A + 3 B t + ( B + 3 C ) e 3 t y p ' ' t = 9 A t 2 + 12 A + 9 B t + ( 2 A + 6 B + 9 C ) e 3 t

Passo 10

Substituir na equação e encontrar constantes:

y ' ' t - 4 y ' t + 4 y t = t 2 e 3 t

9 A t 2 + 12 A + 9 B t + ( 2 A + 6 B + 9 C ) e 3 t - 4 3 A t 2 + 2 A + 3 B t + B + 3 C e 3 t + 4 A t 2 + B t + C e 3 t = t 2 e 3 t

A t 2 + 4 A + B t + 2 A + 2 B + C e 3 t = t 2 e 3 t

A = 1 4 A + B = 0 2 A + 2 B + C = 0

Resolvendo o sistema:

A = 1 B = - 4 C = 6

Passo 11

Encontrar y p ( x ) substituindo constantes encontradas:

y p t = A t 2 + B t + C e 3 t

Substituindo as constantes:

y p t = t 2 - 4 t + 6 e 3 t

Passo 12

Encontrar solução geral:

y t = y h t + y p ( t )

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

Passo 13

Resolver PVI:

y 0 = 6 y ' 0 = 15

Calcular derivada:

y ' t = 2 c 1 e 2 t + c 2 1 + 2 t e 2 t + 3 t 2 - 10 t + 14 e 3 t

Calcular y ( 0 ) e y ' ( 0 ) :

y 0 = c 1 + 6

y ' 0 = 2 c 1 + c 2 + 14

Substituir condições iniciais dadas:

y 0 = 6 y ' 0 = 15

c 1 + 6 = 6 2 c 1 + c 2 + 14 = 15

Resolvendo o sistema:

c 1 = 0 c 2 = 1

Substituindo na solução geral, encontramos a solução particular do PVI:

y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

y t = t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

E pronto! Item (b) resolvido! Fim de papo!

Resposta

  1. y t = c 1 e 2 t + c 2 t e 2 t

y t = t e 2 t + t 2 - 4 t + 6 e 3 t

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