Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Reflexões

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Enunciado

Compute a reflexão ortogonal do vetor - 3 , - 4,2 em torno do espaço H , onde H é o conjunto solução da equação 2 x + y - z = 0 .

a   5,0 , - 2

b   1 , - 2,0

c   3 , - 4,2

d   2,1 , - 1

Passo 1

Vamos seguir aquele passo a passo maroto. Primeira coisa é encontrar os vetores geradores de H :

2 x + y - z = 0

z = 2 x + y

Logo, os vetores de H são da forma:

x , y , z = x , y , 2 x + y = x 1,0 , 2 + y 0,1 , 1

Então uma possível base para H é:

H = 1,0 , 2 , 0,1 , 1

Passo 2

Agora jogamos os vetores dessa base nas colunas de uma matriz:

A = 1 0 0 1 2 1

E o vetor que queremos refletir é:

b = - 3 - 4 2

Jogando na fórmula de mínimos quadrados:

A T A z = A T b

1 0 2 0 1 1 1 0 0 1 2 1 z = 1 0 2 0 1 1 - 3 - 4 2

5 2 2 2 z = 1 - 2

Passo 3

Resolvendo o sistema temos:

5 2 2 2 1 - 2 ~ 5 2 3 0 1 3

x = 1

2 y = 1 - 5 ⇒ y = - 2

z = 1 , - 2

Passo 4

A projeção de b em H é dada por:

P H b = A z = 1 0 0 1 2 1 1 - 2 = 1 - 2 0

A reflexão por H vai ser dada então por:

R H b = 2 P H b - b = 2 , - 4,0 - - 3 , - 4,2 = 5,0 , - 2

Resposta

Letra ( a )

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