Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Reflexões

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Enunciado

Em R n com o produto interno usual, seja W um subespaço não trivial. Sejam P W e R W respectivamente a projeção e a reflexão ortogonais com respeito a W . Considere as seguintes afirmações:

I u → + R W u → é ortogonal a W .

I I u → + P W u → 2 = u → 2 + P W u → 2

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

A vantagem dessas questões de projeção e reflexão sobre um espaço é que podemos generalizar elas como se estivessem no R 2 XD

Então temos algo assim:

Como podemos ver, u → + R W u → não é ortogonal a W , mas sim pertence a W ! Então essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

O que essa relação aí te lembra? É Pitágoras! E quando Pitágoras vale? Para triângulos retângulos certo? Ou seja, isso aí só vale se u → e P W u → forem ortogonais, o que não necessariamente é verdade! Então essa é falsa.

Resposta

Letra ( a )

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