Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Reflexões

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 163 – Prob 5.9

Sejam H = s p a n 1 3 0 1 , 3 3 - 1 - 1 , 3 0 3 - 3 e v = 7 1 3 1 . Calcule R H v .

Passo 1

Definimos A = 1 3 3 3 3 0 0 - 1 3 1 - 1 - 3

Agora resolvemos o sistema:

A T A z = 1 3 0 1 3 3 - 1 - 1 3 0 3 - 3 1 3 3 3 3 0 0 - 1 3 1 - 1 - 3 z = 1 3 0 1 3 3 - 1 - 1 3 0 3 - 3 7 1 3 1 = A T v

11 11 0 11 20 9 0 9 27 z = 11 20 27

11 11 0 11 20 9 0 9 27 11 20 27 L 2 L 2 - L 1 11 11 0 0 9 9 0 9 27 11 9 27 L 3 L 3 - L 2 11 11 0 0 9 9 0 0 18 11 9 18 x = 1 y = 0 z = 1

Temos que z = 1,0 , 1 , portanto,

P H v = A z = 1 3 3 3 3 0 0 - 1 3 1 - 1 - 3 1 0 1 = 4 3 3 - 2

E por fim,

R H v = 2 P H v - v = 2 4 3 3 - 2 - 7 1 3 1 = 1 5 3 - 5

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Resposta

R H v = 1 5 3 - 5

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