Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação da Onda

UFRJ, Cálculo 4, P2 2013.1, Questão 3

Considere uma corda elástica de comprimento 4 m cujas extremidades são mantidas fixas no mesmo nível horizontal de modo que o eixo x esteja ao longo da corda. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com velocidade inicial g ( x ) dada por

g x = x 16           ,       s e   0 ≤ x ≤ 2 1 - x 16           ,             s e   2 < x ≤ 4

Considere a razão da tensão pela densidade de massa da corda como sendo constante igual a 1 ( a 2 = 1 ).

  1. Encontre o deslocamento vertical u ( x , t ) usando a expressão geral da solução da equação de onda partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial não nula.
  2. Mostre que o deslocamento u ( x , t ) é uma função periódica de período 8 na variável t .

Passo 1

Letra a)

Primeiro, precisamos montar o problema. Temos a equação de onda:

u x x = u t t

A posição inicial é a de equilíbrio, portanto:

u x , 0 = 0

Já que o comprimento da barra é 4 , temos

L = 4

Como as extremidades são fixas, temos:

u 0 , t = u 4 . t = 0

A velocidade inicial é dada

u t x , 0 = g ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis, procuramos uma solução do tipo:

u x , t = X x . T ( t )

Aplicando isso na equação de onda, temos:

a 2 X ' ' x . T t = X x . T ' ' ( t )

Passando tudo que tem x para um lado e o que tem t para o outro, temos:

X ' ' x X x = T ' ' t T t

Como essa igualdade vale para todo x e para todo t , essas razões devem ser independentes tanto de x como de t , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:

X ' ' x X x = T ' ' t T t = - λ

Separando a igualdade em 2 equações, temos:

X ' ' x + λ X x = 0

T ' ' t + λ T t = 0

Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:

u 0 , t = 0           →       X 0 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 0 = 0

u 4 , t = 0           →       X 4 . T t ⏟ ≠ 0 = 0         →         X 4 = 0

Temos também

u x , 0 = 0       →       X x ⏟ ≠ 0 . T 0 = 0       →       T 0 = 0

Sempre deixamos por último a condição que possui uma função! Nesse caso, u t x , 0 = g ( x ) , esquece ela por enquanto.

Precisamos agora achar X ( x ) e T ( t ) , para encontrar u x , t = X x . T ( t ) .

Passo 3

Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em x :

X ' ' x + λ X x = 0 X 0 = X 4 = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Caso 1: ∆ > 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, λ < 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 4 = 0

X 0 = c 1 + c 2 = 0

X 4 = c 1 e 4 - λ + c 2 e - 4 - λ = 0

Isso nos dá

c 2 = - c 1

c 1 e 4 - λ - c 1 e - 4 - λ = 0

c 1 ( e 4 - λ - e - 4 - λ ⏟ ≠ 0 ) = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 . Nesse caso, λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 4 = 0

X 0 = c 1 = 0

X 4 = c 1 + 4 c 2 = 0

Isso nos dá

4 c 2 = 0

c 2 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: X 0 = 0 X 4 = 0

X 0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

c 1 = 0

X 4 = c 1 cos ⁡ 4 λ + c 2 sen ⁡ 4 λ = 0

Isso nos dá

c 2 sen ⁡ 4 λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

sen ⁡ 4 λ = 0

O seno se anula em π , 2 π , 3 π ... n π , múltiplos inteiros de π . Logo, podemos dizer que:

4 λ = n π             n = 1,2 , 3 …

λ = n π 4

λ n = n π 4 2

As soluções do 3º caso são então do tipo:

X n x = sen ⁡ n π x 4                 n = 1,2 , 3 …

Certo, agora vamos resolver o problema em t .

Passo 4

Tendo os valores de λ n , vamos resolver a outra EDO

T ' ' t + λ T t = 0 T 0 = 0

Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de λ é conhecido (do passo anterior) e a é um coeficiente dado, não precisamos analisar os 3 casos de , olha só:

r 2 + λ a 2 = 0

r = ± - λ ⏟ > 0

Repare que, tanto a (por sua definição) como λ (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, ∆ < 0 . Podemos reescrever r como:

r = 0 ± i λ

As soluções da EDO são do tipo:

T t = c 1 cos ⁡ λ t + c 2 sen ⁡ λ t

Usando T 0 = 0 , temos:

T 0 = c 1 = 0

Fazendo

λ n = π n 4 2

Temos então:

T n t = sen ⁡ n π t 4

Então, podemos escrever o seguinte:

u n x , t = s e n   n π x 4 sen ⁡ n π t 4

Passo 5

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Temos que

  u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n s e n   n π x 4 sen ⁡ n π t 4  

Agora vamos usar a condição que faltou:   u t x , 0 = g ( x ) .

  u t x , t = ∑ n = 1 ∞ b n n π 4 s e n   n π x 4 cos ⁡ n π t 4  

Fazendo t = 0 :

u t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n n π 4 ⏟ c o e f .     d a   s é r i e s e n   n π x 4   = g ( x )

Repare que o coeficiente dos termos dessa série é tudo o que está nos colchetes! O que depende apenas de n (não de x ). Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de g ( x ) , podemos dizer que:

b n n π 4 = 1 2 ∫ 0 4 g x s e n   n π x 4 d x

b n = 2 n π ∫ 0 4 g x s e n   n π x 4 d x

Onde

g x = x 16           ,       s e   0 ≤ x ≤ 2 1 - x 16           ,             s e   2 < x ≤ 4

Agora vamos resolver a integral!

b n = 2 n π ∫ 0 2 x 16 s e n   n π x 4 d x + 2 n π ∫ 2 4 1 - x 16 s e n   n π x 4 d x

b n = 1 8 n π ∫ 0 2 x   s e n   n π x 4 d x + 1 8 n π ∫ 2 4 s e n   n π x 4 d x - 1 8 n π ∫ 2 4 x   s e n   n π x 4 d x

b n = 1 8 n π ∫ 0 2 x   s e n   n π x 4 d x - 1 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 4 2 4 - 1 8 n π ∫ 2 4 x   s e n   n π x 4 d x

b n = 1 8 n π ∫ 0 2 x   s e n   n π x 4 d x - 1 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2 - 1 8 n π ∫ 2 4 x   s e n   n π x 4 d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

b n = 1 2 n 2 π 2 - x cos ⁡ n π x 4 0 2 + ∫ 0 2 cos ⁡ n π x 4 - 1 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2 - 1 2 n 2 π 2 - x cos ⁡ n π x 4 2 4 + ∫ 2 4 cos ⁡ n π x 4

b n = 1 2 n 2 π 2 - 2 cos ⁡ n π 2 + 4 n π s e n n π x 4 0 2 - 1 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2 - 1 2 n 2 π 2 - 4 cos ⁡ n π + 2 cos ⁡ n π 2 + 4 n π s e n n π x 4 2 4

b n = 1 2 n 2 π 2 - 2 cos ⁡ n π 2 + 4 n π s e n n π 2 - 1 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2 - 1 2 n 2 π 2 - 4 cos ⁡ n π + 2 cos ⁡ n π 2 - 4 n π s e n n π 2

b n = 1 2 n 2 π 2 - 3 cos ⁡ n π 2 + 8 n π s e n n π 2 + 3 cos ⁡ n π

Pronto, esse negócio enorme aí é o b n ! Agora é só substituir na série

Passo 6

Letra b)

Bom, para verificar que uma função é periódica, temos que mostrar que ela se repete, não é? Se o período da função (segundo o enunciado) é 8 , isso quer dizer que de 8 em 8 seu valor se repete, vamos mostrar isso.

Vamos ignorar a variável x porque a questão trata apenas na periodicidade em t , ok? Faremos primeiro

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n s e n   n π x 4 sen ⁡ n π t 4  

t = 0               →                 u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n s e n   n π x 4 sen ⁡ 0   = 0

Agora vamos “andar” 8 na variável t

t = 8               →                 ∑ n = 1 ∞ b n s e n   n π x 4 sen ⁡ 8 n π 4 ⏟ 0   = 0

Andando mais 8 :

t = 16               →                 ∑ n = 1 ∞ b n s e n   n π x 4 sen ⁡ 16 n π 4 ⏟ 0   = 0

Isso quer dizer que a cada intervalo de tempo de 8 , a corda tem deslocamento vertical zero, ou seja, ela volta à sua posição de equilíbrio. Isso mostra que o deslocamento vertical segue um período 8 na dimensão do tempo.

Você poderia mostrar a periodicidade da função começando em outro ponto, como t = 1 por exemplo. Isso daria só um pouquinho mais de trabalho!

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n s e n   n π x 4 sen ⁡ n π t 4  

Onde

b n = 1 2 n 2 π 2 - 3 cos ⁡ n π 2 + 8 n π s e n n π 2 + 3 cos ⁡ n π

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