Exercícios Resolvidos de Multiplicação e Divisão de Potências

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Enunciado

Mostre que:

2 n + 2 n + 1 = 3 × 2 n

Sendo n ∈ N

Passo 1

Geeente, esse exercício não é um monstro de 7 cabeças que parece. Você vai ver que se você pega a ideia inicial ele fica bem facinho. A gente precisa apenas dar uma mexida na função.

Se olharmos para essa expressão, podemos ver que temos 2 n dos dois lados.

Então o mais legal que poderíamos fazer agora é dividir os dois lados dessa igualdade por 2 n , assim ficaríamos só com números .

Dividindo os dois lados por 2 n , ficamos com:

2 n + 2 n + 1 2 n = 3 × 2 n 2 n

Agora, vamos mexer com cada lado de uma vez e depois igualamos.

Passo 2

Vamos focar na parte da direita e simplificar: 2 n + 2 n + 1 2 n

Podemos escrever como a soma de duas frações:

2 n + 2 n + 1 2 n = 2 n 2 n + 2 n + 1 2 n

Temos duas divisões com a base iguais, assim vamos manter a base de cada uma e diminuir os expoentes, assim ficamos:

2 n 2 n + 2 n + 1 2 n = 2 n - n + 2 n + 1 - n = 2 0 + 2 1

Sabendo que todo número elevado a 0 é 1, e todo número elevado a 1 é ele mesmo, temos:

2 0 + 2 1 = 1 + 2 = 3

Ou seja,

2 n + 2 n + 1 2 n = 3

Passo 3

Agora, vamos simplificar o segundo lado da equação:

3 × 2 n 2 n

Podemos fazer essa fação, como duas se multiplicando, assim temos:

3 1 × 2 n 2 n

Já descobrimos que 2 n 2 n = 2 0 = 1 , assim:

3 1 × 1 = 3

Ou seja,

3 × 2 n 2 n = 3

Passo 4

Agora é só substituirmos o valor que encontramos:

2 n + 2 n + 1 2 n = 3 × 2 n 2 n   → 3 = 3

Logo, mostramos que 2 n + 2 n + 1 = 3 × 2 n

É verdade

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)