Escoamento em meios porosos

Teoria Completa

Introdução

Antes de começar a ver as equações para meios porosos, queria revisar dois operadores com você, porque vamos precisar bastante deles. São eles: gradiente e divergente.

- Operador gradiente: aplicamos em um escalar e obtemos como resultado um vetor. Considerando eixos cartesianos e usando a temperatura como exemplo T , ele fica:

g r a d T = ∇ →   T = ∂ T ∂ x   e → x + ∂ T ∂ y   e → y + ∂ T ∂ z   e → z

Em que e → x ,   e → y ,   e → z são os vetores unitários de cada eixo.

Aplicando o gradiente em uma propriedade, obtemos a informação de como essa propriedade varia no espaço, em cada um dos eixos.

- Operador divergente: aplicamos em um vetor e obtemos um escalar. Usando a velocidade como exemplo e considerando eixos cartesianos:

d i v u → = ∇ → . u → = ∂ u → x ∂ x   + ∂ u → y ∂ y   + ∂ u → z ∂ z

Em que u → x ,   u → y ,   u → z são as componentes x ,   y ,   z da velocidade, respectivamente.

E ah! Repara que tem um pontinho entre ∇ → . u → , que simboliza o produto escalar.

Equações da continuidade e Movimento

Lá da mecânica dos fluidos, podemos escrever equação da continuidade (é um balanço de massa) e equação do movimento (é um balanço de forças) para o FLUIDO.

E q .   d a   c o n t i n u i d a d e :       ∂ ρ ∂ t + d i v ρ u → = 0

E q .   d o   M o v i m e n t o :     ρ ∂ u → ∂ t + g r a d   u → u → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ + ρ g →

Em que:

u →   é   o   v e t o r   v e l o c i d a d e τ ̿   é   o   t e n s o r   t e n s ã o   ( r e l a c i o n a d o   a   f o r ç a s   v i s c o s a s )

Mas temos um problema: o meio poroso é todo louco, sem nenhuma simetria; o fluido vai indo por vários poros diferentes e aleatórios. Além disso, definir a velocidade ponto a ponto seria quase impossível, assim como definir as paredes. Precisamos achar outro jeito de continuar nosso desenvolvimento pra meios porosos.

Teoria das misturas da mecânica do contínuo

A solução é simples até: vamos reescrever essas equações, mas, agora, considerando não só o fluido mas sim FLUIDO E SÓLIDO, em uma proporção igual à porosidade ( ε ) . Tipo, se ε = 0,3 consideramos um balanço pegando 30 % de fluido e 70 % de sólido. As equações ficam:

E q .   d a   c o n t i n u i d a d e :       ∂ ( ε ρ ) ∂ t + d i v ε ρ u → = 0

E q .   d o   M o v i m e n t o :     ε ρ ∂ u → ∂ t + g r a d   u → u → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Em que:

M →   é   a   f o r ç a   q u e   o   l í q u i d o   e x e r c e   n a   m a t r i z   s ó l i d a

Daí, - M → é a reação que a matriz faz no fluido. E repara que escrevemos a equação do movimento considerando apenas as forças que atuam no fluido.

Mas ainda temos o problema de não conseguir definir u → ponto a ponto...e não tem muito o que fazer não; vamos adotar a estratégia de perder esse detalhamento pra conseguir resolver. Vamos definir uma velocidade superficial q → , considerando a área da do tubo (ou outro lugar) em que o meio poroso está inserido;

O módulo de q → vale:

q → = Q A

Em que:

Q   é   a   v a z ã o   v o l u m é t r i c a A   é   a   á r e a   t r a n v e r s a l   o c u p a d a   p e l o   m e i o   p o r o s o

q → é como se fosse a velocidade antes e depois do meio poroso. Por isso ele recebe esse nome de “velocidade superficial”. O fluido tem essa velocidade até a superfície do meio poroso. É uma condição de contorno. Podemos relacioná-la com u → da seguinte maneira:

q → = ε u →

Juntando as duas expressões:

Q A =   ε u →

Daí:

u → = Q ε A

Com base em q → , as equações ficam:

E q .   d a   c o n t i n u i d a d e :       ∂ ( ε ρ ) ∂ t + d i v ρ q → = 0

E q .   d o   M o v i m e n t o :     ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

E são essas equações que vamos, efetivamente, usar.

Equações para M →

Até agora sabemos da existência de uma forca entre líquido e sólido (força M → ), mas não conhecemos fórmulas pra ela. Bora ver duas correlações empíricas:

- Correlação de Forchheimer

Vou começar da correlação mais geral, ok? Para meio isotrópico (quando as propriedades físicas não variam com a posição), Forchheimer diz que:

M → = μ K 1 + C K ρ q → μ q →

Em que

K   é   a   p e r m e a b i l i d a d e   d o   m e i o   ( t e m   u n i d a d e   d e   á r e a ) C   é   o   f a t o r   s e m   n o m e ,   o u   f a t o r   d e   F o r c h h e i m e r ,   e   é   a d i m e n s i o n a l

Sendo que

R e M P = C K ρ q → μ

Em que R e M P é o Reynolds do meio poroso.

E falando em permeabilidade, deixa eu apresentar logo pra você uma unidade “especial”, que é o Darcy ( D ) .

1 D = 10 - 8   c m 2

- “Lei” de Darcy

A lei de Darcy é um caso especial da correlação que a gente acabou de ver, mas para situações onde (além do meio isotrópico e fluido Newtoniano) estamos falando de escoamento lento, com Reynolds baixo. Mais precisamente, a lei de Darcy é válida quando:

R e M P ≪ 1

E a “lei” fica com essa carinha:

M → = μ K q →

Determinação experimental de K e C

Para a determinação experimental de K e C , usamos um permeâmetro; nada mais é do que um tubo contendo o meio poroso; variamos a vazão Q de um fluido que passa pelo meio poroso e anotamos a queda de pressão ∆ P do fluido ao passar pelo meio poroso (MP) com essa tal vazão. Para isso, medimos a pressão antes e depois do meio poroso, né.

Como ao escoar pelo meio poroso o fluido perde carga:

P 0 > P L

Depois de fazer os experimentos e ter uma tabelinha relacionando Q e ∆ P , vamos usar a equação do movimento para determinar K e C . Acontece que o fluido pode ser incompressível ou compressível e o escoamento pode ser lento (darcyano) ou um escoamento qualquer (aí usa Forchheimer para M → ). Vou te mostrar agora como trabalhar com cada um desses casos; em todos eles, vamos assumir:

  • Fluido Newtoniano
  • Escoamento unidimensional, permanente (estado estacionário) e isotérmico
  • Meio poroso isotérmico (Temperatura constante)

  1. Escoamento de fluido incompressível
  2. Vamos pegar a equação do movimento e fazer as simplificações que der:

    1. Em estado permanente não há variação no tempo
    2. Gradiente nos diz como uma propriedade varia no espaço; assumimos meio poroso isotrópico daí NÃO há variação no espaço
    3. Não está listado nas hipóteses, mas vamos assumir que as forças viscosas são desprezíveis face a M →
    4. O escoamento é na horizontal e a gravidade está na vertical. É importante lembrar que isso é para ESSE exemplo que eu estou desenvolvendo com você, ok? Se o escoamento fosse na mesma direção que a gravidade, ia ter que considerar esse termo!

    Depois das simplificações, só sobra:

    - g r a d   P - M → = 0

    Mas assumimos escoamento unidimensional, lembra? Chamando o eixo da direção do escoamento de z , o gradiente se resume a d P d z . Daí:

    - d P d z = M →

    Mas esse escoamento incompressível pode ser lento (darcyano) ou um escoamento qualquer; bora ver cada caso:

    1. Escoamento Darcyano (lento)
    2. Se o escoamento é Darcyano, vale:

      M → = μ K q →

      Daí, voltando na equação do movimento com as simplificações:

      - d P d z = μ K q →

      Separando as variáveis e integrando do inicio ao fim do meio poroso, chamando o módulo de q → de q :

      - ∫ P 0 P L d P = μ K q ∫ 0 L d z

      Repara que μ ,   K e q saíram da integral porque são constantes; μ é constante porque assumimos isotérmico, K é constante porque assumimos isotrópico e q é constante porque a área transversal do meio poroso é constante.

      Resolvendo a integral:

      P 0 - P L = μ K q L

      Fazendo ∆ P = P 0 - P L , ou seja, maior menos menor, e rearranjando:

      ∆ P L = μ K q

      Isso é uma reta! Tendo os pontos relacionando ∆ P e q (conseguimos tirar q a partir de Q ), podemos fazer regressão linear:

    3. Escoamento qualquer

    Quando não pudermos assumir escoamento darcyano, temos que usar Forchheimer para M → :

    M → = μ K 1 + C K ρ q → μ q →

    Daí a equação do movimento com as simplificações e já integrada fica:

    ∆ P L = μ K q + μ K C K ρ q 2 μ

    Dividindo tudo por q e simplificando o termo mais à direita:

    1 q ∆ P L = μ K + C ρ K q

    E adivinha o que isso é: uma reta! Dá pra fazer, também, regressão linear com os dados:

    Repara que nesse caso a reta tem um coeficiente linear diferente de zero.

  3. Escoamento compressível

Quando o escoamento é compressível, ao mudar a pressão altera-se a vazão volumétrica; como:

q → = Q A

Ao alterar a vazão volumétrica, alteramos o módulo de q → . Aí, seria mais complicado integrar porque teríamos que saber a relação de q → com ∆ P . Masssss, embora haja alteração no volume, a massa não se altera né. Daí vamos usar uma estratégia ao trabalhar com escoamento compressível, que vai ser multiplicar a equação pela densidade ρ .

Como usamos as mesmas simplificações seja o escoamento incompressível ou compressível, chegamos, também, em:

- d P d z = M →

  1. Escoamento Darcyano
  2. - d P d z = M → = μ K q

    Temos que multiplicar tudo por ρ . Disso, surge uma definição:

    F l u x o   d e   m a s s a = G = ρ q

    Também podemos escrever G como:

    G = W G A

    Em que W G é a vazão mássica.

    Voltando àquela equação a ser integrada e fazendo separação de variáveis, depois de multiplicá-la por ρ :

    - ∫ P 0 P L ρ d P = μ K G ∫ 0 L d z

    A questão é que densidade é massa por volume e, como o volume está variando, a densidade NÃO é constante. Assumindo gás ideal e rearranjando P V = N R T , chegamos a:

    ρ = P . P M - R T

    Em que P M - é o peso molecular médio. Substituindo isso na integral:

    - P M - R T ∫ P 0 P L P d P = μ K G ∫ 0 L d z

    P M - R T . P o 2 - P L 2 2 = μ K G L

    Posso reescrever isso como:

    P M - R T . P 0 + P L 2 . P 0 - P L L = μ K G

    O termo entre colchetes é uma densidade média, ρ - , calculada entre P 0   e   P L .

    ρ - . ∆ P L = μ K G

    E essa é a nossa equação de trabalho para escoamento compressível Darcyano. Adivinha: é uma reta haha. Depois de experimentos, podemos fazer regressão linear para determinar K .

  3. Escoamento qualquer

Podemos seguir a mesma ideia e fazer o desenvolvimento pra um escoamento qualquer, em que temos que considerar Forchheimer:

M → = μ K 1 + C K ρ q → μ q →

Já vou colocar o resultado final, ok?

ρ - G . ∆ P L = μ K + C K G

Isso também é uma reta e podemos fazer regressão linear:

Estimativa de K e C

Quando não temos dados experimentais, podemos fazer uma estimativa de K e C por correlações. Para K , temos o modelo de Kozeny-Carmán:

K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2

Em que Φ (esfericidade) e d - (diâmetro médio de Sauter) são relativos às partículas que compõem o meio poroso. Quanto ao β , este é um fator de correção (também relativo às partículas que compõem o meio poroso) cujo valor está entre 4,17   e   5,0 . Os extremos são:

β = 4,17   p a r a   p a r t í c u l a s   e s f é r i c a s β = 5,0   p a r a   m e i o s   g r a n u l a r e s

Provavelmente, você só vai ter que trabalhar com os valores extremos.

Para C , temos a correlação de Costa e Massarani:

C = ε - 3 2 0,13 K 0 K 0,37 + 0,10 K 0 K 0,01 0,98  

Em que K 0 = 1 . 10 - 6   c m 2 .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Massarani, G. (2002), Fluidodinâmica em Sistemas Particulados, 2 °   e d

Estimar os valores de K e C pelas correlações da literatura. Considerar que a esfericidade da areia é 0,7 .

Meio de areia

  • Granulometria da areia: - 35 + 48   # T y l e r
  • Porosidade do meio: ε = 0,44
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Passo 1

Nessa questão, é só aplicar as correlações pra estimar K e C . Para K , temos o modelo de Kozeny-Carmán:

K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2

Em que Φ (esfericidade) e d - (diâmetro médio de Sauter) são relativos às partículas que compõem o meio poroso. Quanto ao β , este é um fator de correção (também relativo às partículas que compõem o meio poroso) cujo valor está entre 4,17   e   5,0 . Os extremos são:

β = 4,17   p a r a   p a r t í c u l a s   e s f é r i c a s β = 5,0   p a r a   m e i o s   g r a n u l a r e s

Como a areia NÃO possui esfericidade igual a 1, vamos usar β = 5,0 .

Repara que o enunciado não deu o diâmetro médio de Sauter direto, mas deu a faixa Mesh Tyler da areia; daí, usamos a tabela pra passar esses valores de Mesh para centímetros e depois calculamos o diâmetro médio.

35   M e s h = 0,420   m m = 0,0420   c m

48   M e s h = 0,297 m m = 0,0297   c m

A fórmula de diâmetro médio de Sauter considerando porcentagem de massa de partículas entre dois d i é:

d - = 1 ∑ X i d i

Como só há um intervalo, a fórmula se resume à média aritmética:

d - = d i

d - = 0,03585   c m

Já para C , temos a correlação de Santana e Massarani:

C = 0,13 K 0 K 0,37 + 0,10 K 0 K 0,01 0,98 ε - 3 2  

Em que K 0 = 1 , 10 - 6   c m 2 e essa correlação é válida para valores de K entre:

K ϵ 1 . 10 - 9   ,   1 . 10 - 3   c m 2

Passo 2

Calculando K :

K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2 = 0,7 . 0,03585 2 . 0,44 3 36   .   5 1 - 0,44 2 = 9,5 . 10 - 7   c m 2

Repara que esse valor está na faixa de validade da correlação de C ; bora calculá-lo:

C = 0,13 1 . 10 - 6 9,5 . 10 - 7 0,37 + 0,10 1 . 10 - 6 9,5 . 10 - 7 0,01 0,98 0,44 - 3 2 = 0,8 2

Resposta

K = 9,5 . 10 - 7   c m 2

C = 0,8 2

Exercício Resolvido #2

Massarani, G. (2002), Fluidodinâmica em Sistemas Particulados, 2 °   e d

Determinar os valores da permeabilidade e do fator C a partir dos dados experimentais obtidos por permeametria.

Meio de areia artificialmente consolidado com 5 % de araldite.

  • Granulometria da areia: - 14 + 20   # T y l e r
  • Fluido: água ( ρ = 1   g / c m 3 e   μ = 1,18   c P )
  • Comprimento do meio: 2,1   c m
  • Área da seção de escoamento: 16,8   c m 2
  • Porosidade do meio: ε = 0,37
  • Dados de velocidade superficial e queda de pressão:

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Passo 1

O enunciado nos deu dados experimentais de Δ P   v e r s u s   q e pediu pra calcularmos COM BASE NOS DADOS EXPERIMENTAIS os valores de K (permeabilidade) e C (fator sem nome).

Como vamos ter que usar os dados experimentais, temos que partir da equação do movimento para relacionar Δ P e q ; esse desenvolvimento eu já fiz pra você lá na teoria, então vou pular, ok? Só temos que identificar qual caso aplicar.

Já que o fluido é água, podemos assumir fluido incompressível; e como o enunciado NÃO fala que o escoamento é lento, NÃO podemos assumir isso e, por isso, usamos a equação de Forchheimer para M → . Daí vale:

1 q Δ P L = μ K + C ρ K q

Depois de identificado o caso, é só fazer regressão linear com os dados:

Temos que nos atentar se estamos usando tudo no mesmo sistema de unidades; vou adotar o CGS, daí vou converter logo μ e Δ P . No caso do Δ P , vou primeiro chegar numa expressão geral pra conversão e depois converto todos.

μ = 1,18   c P = 1,18 . 10 - 2   P

Δ P   d i n a c m 2 = Δ P   c m H g . 6895 N m 2 5,171   c m H g . 10 d i n a c m 2 1   N m 2 = 13334 . Δ P   c m H g

Daí, em d i n a / c m 2 :

Ah! Na teoria, eu defini Δ P = P 0 - P L e, dessa forma, fica positivo. Nessa questão, ele definiu de forma que ficava negativa e por isso colocou um menos na tabela, pra deixar positivo; então definiu P L - P 0 . Daí o - d e l t a   P da tabela original é o mesmo que o meu d e l t a   P .

Passo 2

Agora é só fazer a regressão linear com os dados fornecidos; comparando a equação de trabalho com a equação de uma reta:

Y = A . X + B

Temos que:

Y =   1 q Δ P L A = C ρ K X = q B = μ K