Instalações contendo meios porosos

Teoria Completa

Introdução

No tópico de escoamento em meios porosos, nós aprendemos a calcular, entre outras coisas, a queda de pressão ao passar por um meio poroso, certo? Legal, mas, na vida real, o seu desafio não vai ser apenas saber a queda de pressão em um meio poroso e sim levar água de um ponto a outro e passando por um meio poroso no meio do caminho. E aí? Como calculo isso? Bora ver?

Instalações

Nos problemas sobre instalações, vamos trabalhar, basicamente, com a equação de Bernoulli modificada e com a equação do movimento.

A equação de Bernoulli é a mesma que vemos lá em Mecânica dos fluidos:

P 2 - P 1 ρ g + u 2 2 - u 1 2 2 g + Z 2 - Z 1 = W B - h L

Em que:

  • P i é a pressão no ponto i
  • u i é a velocidade no ponto i
  • Z i é a altura no ponto i
  • W B é o trabalho da bomba
  • h L é a perda de carga

Lá em mecânica dos fluidos, só víamos perda de carga por percurso na tubulação reta e por acidentes (válvulas, curvas, etc); aqui em Operações, vamos considerar também meios porosos, daí:

h L = h L t u b o   r e t o + h L a c i d e n t e s + h L m e i o   p o r o s o

Podemos, ainda, escrever esse termo de perda de carga considerando um comprimento L T :

h L = f . L T . u 2 2 g

Em que L T é a soma dos comprimentos de todos os tubos retos com a soma dos comprimentos equivalentes de acidentes e de meios porosos. Caso você não lembre isso de mecânica dos fluidos, é porque ao passar por um acidente (ou meio poroso né) vai ter uma certa perda de carga; acontece que você pode dizer que essa perda de carga é EQUIVALENTE a perda que teria num comprimento L de tubulação reta.

Ah! Essa equação de Bernoulli tem algumas considerações; o mais importante que você precisa saber é que ela é para fluido INCOMPRESSÍVEL, tipo água, por exemplo.

E falei que vamos usar também a equação do movimento, que é a que vimos no tópico de escoamento em meios porosos:

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Perda de carga no meio poroso

Perda de carga em tubo reto e em acidentes (Exemplo: divisor de fluxo, válvula, etc) são, no geral, tabeladas. Mas a perda de carga em meio poroso não, daí vamos ter que achar uma expressão pra calculá-la.

A ideia vai ser escrever tanto a equação de Bernoulli quanto a equação do movimento para um meio poroso e achar termos iguais em cada uma delas e isolá-los e daí igualar a expressão deles. Bora ver um exemplo disso pra entender melhor?

Vamos analisar esse caso aqui, olha:

Ou seja, o fluido só está percorrendo o meio poroso e ele está indo contra a gravidade; adotei o eixo Z no mesmo sentido do movimento do fluido e vamos considerar o caso de fluido incompressível. Da equação do movimento, assumindo meio isotrópico e estado estacionário, temos que:

- d P d z - M - ρ g = 0

Se você tiver alguma dúvida em relação às simplificações, dá uma olhadinha no tópico anterior quando eu falo de determinação experimental de K   e   C porque expliquei cada coisa que cortei lá. Continuando, podemos reescrever essa equação como:

- d P d z = M + ρ g

Jogando o d z pra direita e integrando de L = 0 até L (repara que eu disse que o zero do meu eixo z é onde começa o meio poroso):

Guarda essa informação aí.

Bora ver agora como fica a equação de Bernoulli adaptada pra esse problema:

  1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como Q = Á r e a . u daí u é constante
  2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né

Daí:

P 2 - P 1 ρ g + L = - h L M P

A diferença de alturas ( Z 2 - Z 1 ) vale L e o h L se resume ao h L m e i o   p o r o s o , que chamei de h L M P , aí já substitui isso. O lance aqui é que o P 1 dessa fórmula é o nosso P 0 e o P 2 é o nosso P L . Substituindo e isolando esse termo:

P 2 - P 1 ρ g + L = - h L

E agora é a hora de juntar as duas equações. Temos, de cada fórmula, uma expressão para P 0 - P L . Bora igualá-las:

P 0 - P L = P 0 - P L

M L + ρ g L = ρ g h L M P + ρ g L

Aparece ρ g L dos dois lados; cortando, sobra:

M L = ρ g h L M P

Daqui, tiramos uma expressão para h L M P :

h L M P = M L ρ g

E guarda essa expressão para perda de carga no meio poroso com carinho. Ela é válida sempre!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Simplifique a equação do movimento para achar uma expressão para a queda de pressão no meio poroso em cada um dos casos abaixo:

  1. Escoamento contra a gravidade
  2. Escoamento perpendicular à gravidade

Despreze o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento!

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Passo 1

Nessa questão vamos ter que manipular a equação do movimento pra achar uma expressão pro ∆ P em cada um dos meios porosos apresentados. Temos o caso de uma instalação que apenas tem o meio poroso, daí a única perda que carga com a qual teremos que nos preocupar é o h L M P   .

Vamos ter que usar a equação do movimento então bora logo lembrar dela:

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Ah, o enunciado pede pra desprezar o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento, então vou tirá-lo logo.

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P - M → + ρ g →

Ignorá-lo é uma boa aproximação... ele fica pequeno face aos outros termos.

Agora, indo pra parte que diferencia os dois casos: no primeiro caso vamos estar interessados na componente z do movimento, pois é nela que o movimento se concentra, exclusivamente. Como a gravidade também se encontra nesse eixo, ela vai aparecer no equacionamento.

Já no segundo caso, o movimento é no eixo x ; como a gravidade NÃO está presente nesse eixo, ela NÃO aparecerá no equacionamento, ou melhor, terá valor zero. Daí o termo ρ g → será nulo.

Passo 2

  1. Escoamento contra a gravidade
  2. Voltando à equação do movimento, já desprezando d i v   τ ̿ :

    ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P - M → + ρ g →

    Antes de continuar, mais uma simplificação: NÃO nos foram informadas variações no tempo e nem variações do espaço, daí, vamos usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico. Razoável, né?

    0 → = - g r a d   P - M → + ρ g →

    Só há movimento no eixo z, daí vamos escrever apenas a componente dos vetores para esse eixo.

    - d P d z - M - ρ g = 0

    Podemos isolar o termo com d P nessa equação:

    - d P d z = M + ρ g

    Jogando o d z pra direita e integrando de L = 0 até L (repara que eu disse que o zero do meu eixo z é onde começa o meio poroso):

    P 0 - P L = M L + ρ g L        

    Passo 3

  3. Escoamento perpendicular à gravidade

Novamente, vou usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico.

0 → = - g r a d   P - M → + ρ g →

O lance é que, agora, o movimento ocorre exclusivamente ao longo do eixo x. Daí vamos escrever as componentes dos vetores apenas para esse eixo. E, como já adiantei no passo 1, a componente da gravidade nesse eixo é ZERO. Daí:

0 = - d P d x - M + ( ρ * 0 )

0 = - d P d x - M

Isolando o d P :

- d P d x = M

- d P = M * d x

Integrando, em x, de 0 a L :

P 0 - P L = M L

Resposta

  1. P 0 - P L = M L + ρ g L    
  2. P 0 - P L = M L

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Encontre a expressão para perda de carga no meio poroso:

  • Escoamento contra a gravidade

Despreze o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento!

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Passo 1

Como vimos na teoria, para encontrar uma expressão para perda de carga no meio poroso h L M P , precisamos usar tanto a equação do movimento como a equação de Bernoulli; encontramos um ponto de amarração, isto é, um termo igual nas duas equações e usamos ele para igualar expressões e depois isolar h L M P .

Já vimos em exercício anterior como fica o desenvolvimento da equação do movimento para esse caso:

  • P 0 - P L = M L + ρ g L    
  • Então, vou concentrar, nesse exercício, em trabalhar Bernoulli e o isolamento de h L M P .

    Passo 2

  • Escoamento contra a gravidade

A equação do movimento simplificada para este caso é:

P 0 - P L = M L + ρ g L    

Indo pra Bernoulli, a equação geral é:

P L - P 0 ρ g + u L 2 - u 0 2 2 g + Z L - Z 0 = W B - h L

Repara que estou usando subscrito " 0 "   para o início do meio poroso e " L " para o fim.

Podemos simplificar Bernoulli:

  1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como Q = Á r e a * u , u é constante
  2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né. Daí W B = z e r o

P L - P 0 ρ g + Z L - Z 0 = - h L

A diferença de alturas ( Z 2 - Z 1 ) vale L e o h L se resume ao h L m e i o   p o r o s o , que chamei de h L M P :

P L - P 0 ρ g + L = - h L M P

Passo 2

Agora temos que juntar as duas equações:

Equação do movimento:

P 0 - P L = M L + ρ g L    

Bernoulli:

P L - P 0 ρ g + L = - h L M P

Substituindo a primeira na segunda:

( - M L - ρ g L ) ρ g + L = - h L M P

- M L ρ g - L + L = - h L M P

h L M P = M L ρ g

Resposta

h L M P = M L ρ g

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Encontre a expressão para perda de carga no meio poroso com escoamento perpendicular à gravidade

Despreze o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento!

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Passo 1

Como vimos na teoria, para encontrar uma expressão para perda de carga no meio poroso h L M P , precisamos usar tanto a equação do movimento como a equação de Bernoulli; encontramos um ponto de amarração, isto é, um termo igual nas duas equações e usamos ele para igualar expressões e depois isolar h L M P .

Já vimos em exercício anterior como fica o desenvolvimento da equação do movimento para esse caso:

P 0 - P L = M L

Então, vou concentrar, nesse exercício, em trabalhar Bernoulli e o isolamento de h L M P .

Passo 2

Escoamento perpendicular à gravidade

A equação do movimento simplificada para este caso é:

P 0 - P L = M L

Indo pra Bernoulli, a equação geral é:

P L - P 0 ρ g + u L 2 - u 0 2 2 g + Z L - Z 0 = W B - h L

Repara que estou usando subscrito " 0 "   para o início do meio poroso e " L " para o fim.

Podemos simplificar Bernoulli:

  1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como Q = Á r e a . u , u é constante
  2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né. Daí W B = z e r o

P L - P 0 ρ g + Z L - Z 0 = - h L

E mais uma coisa importante: NÃO há diferença de altura entre esses dois pontos pois o meio poroso está “deitado”. Daí:

Z L - Z 0 = z e r o

Portanto:

P L - P 0 ρ g = - h L

E o h L se resume ao h L m e i o   p o r o s o , que chamei de h L M P :

P L - P 0 ρ g = - h L M P

Passo 3

Agora temos que juntar as duas equações:

Equação do movimento:

P 0 - P L = M L

Bernoulli:

P L - P 0 ρ g = - h L M P

Substituindo a primeira na segunda:

- ( M L ) ρ g = - h L M P

h L M P = M L ρ g

É legal lembrar do resultado com o meio poroso “em pé”, com fluxo contra a gravidade: o resultado é o mesmo!

Resposta

h L M P = M L ρ g

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Lista 5, Prof. Medronho

Calcule a velocidade superficial de água ( ρ = 1 g / c m 3   e μ = 1,0   c P ) que passa através do meio poroso abaixo, sabendo-se que este leito foi constituído por 190   k g de areia ( ρ = 2700   k g / m 3   e   Φ = 0,7 ) com diâmetro de 150   μ m . Admitir que o escoamento é darcyano.

Dados:

  • Diâmetro do leito: 0,4   m
  • L = 1   m
  • P 0 = 3   b a r
  • P L = 2   b a r

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Passo 1

Essa é uma instalação bem simples: só tem o meio poroso.

Então, vamos começar caracterizando esse meio poroso, calculando ε e k :

Para a porosidade:

ε = V o l u m e   d e   v a z i o V o l u m e   t o t a l = V o l u m e   t o t a l - V o l u m e   d e   s ó l i d o V o l u m e   t o t a l

V s ó l i d o = m p a r t í c u l a s ρ s = 190   k g 2700   k g / m 3 = 0,07   m 3   d e   a r e i a

V t o t a l = π D 2 4 . L = π ( 0,4 ) 2 4 . 1 = 0,126   m 3

Repara que usamos o SI e é fundamental que as unidades sejam iguais, para que a porosidade seja admensional!

ε = 0,126   m 3 - 0,07   m 3 0,126   m 3 = 0,44

Agora, bora calcular a permeabilidade do meio poroso ( K ) :

K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2

Considerando que a areia possa ser aproximada por grãos, podemos usar β = 5 . Daí:

K = 0,7 . 150 . 10 - 6 2 . 0,44 3 36   .   5   .   1 - 0,44 2 = 1,66 . 10 - 11   m 2

Repara que a gente usou o diâmetro da partícula em metros, pra trabalhar no SI. A unidade que você usar no diâmetro vai definir a unidade do K , já que as outras variáveis usadas são adimensionais.

Depois de achar os parâmetros do nosso meio poroso, podemos olhar pra geometria do problema e aplicar a equação de Bernoulli, já que o fluido é incompressível.

Passo 2

Aplicando a equação de Bernoulli:

P 2 - P 1 ρ g + u 2 2 - u 1 2 2 g + Z 2 - Z 1 = W B - h L

Agora bora simplificar a equação, adotando o ponto 1 como a entrada e 2 como a saída:

  • Podemos escrever a vazão como Q = Á r e a . u ; como vazão e área são constantes, u é constante daí u 1 = u 2
  • Z 2 - Z 1 = L
  • Não há bomba, daí W B = z e r o
  • P 2 - P 1 = P L - P 0
  • h L = M L / ρ g , conforme vimos na teoria

Então a nossa equação simplificada ficou:

P L - P 0 ρ g + L = - M L ρ g

P L - P 0 + L ρ g = - M L

Adotando o SI:

2 - 3 . 10 5 P a + 1 m   .   1000 k g m 3   .   9,81 m s 2 = - M . 1 m

Daí:

M = 90.190   N / m 3

Como o escoamento é lento, vale a lei de Darcy:

M = μ K q

Ainda no SI:

90.190 = ( 1,0 . 10 - 3   P a . s ) 1,66 . 10 - 11 . q

q = 0,00 15 m s

Resposta

q = 0,00 15 m s

Exercício Resolvido #5

UFRJ – Prof. Medronho

Estimar a capacidade, em m 3 / ( m 2 . h ) , do filtro de areia abaixo esquematizado operando com água a 20 ℃ . A primeira camada, com porosidade 0,37 , é constituída de areia com a seguinte granulometria:

A segunda camada, como porosidade 0,43 , é constituída de brita com partículas de 1,3   c m de diâmetro. As esfericidades da areia e da brita podem ser consideradas como 0,7 .

Observação: o filtro é aberto pra atmosfera tanto na entrada como na saída!

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Passo 1

Vou usar subscrito a para areia, b para brita e chamar a água de água mesmo haha.

O enunciado dá um filtro com três camadas e pede pra calcularmos a capacidade, em m 3 / ( m 2 . h ) , isto é, temos que calcular q .

Algo importante é que sabemos (o enunciado diz) que o filtro é aberto pra atmosfera tanto na entrada como na saída, ou seja:

P e n t r a d a = P s a í d a = P a t m

Passo 2

Considerando o eixo z no mesmo sentido da velocidade q , a equação do movimento fica:

- d P d z - M + ρ g = 0

d P d z = ρ g - M

Primeiro de tudo, vamos considerar que não há perda de carga ao passar pela camada de água; isso é razoável e, de qualquer maneira, nem teríamos como estimar essa perda. Depois, vamos avaliar essa equação em cada um dos trechos.

  • Para a areia:
  • ∫ P 1 P 2 d P = ( ρ g - M a ) ∫ h 1 h 2 d z

    Em que:

    h 1 = h á g u a h 2 = h á g u a + h a r e i a

    Daí:

    P 2 - P 1 = ρ g . h 2 - h 1 - M a . h 2 - h 1

    P 2 - P 1 = ρ g h a - M a h a         e q u a ç ã o   1

  • Para a brita:
  • ∫ P 2 P 3 d P = ( ρ g - M b ) ∫ h 2 h 3 d z

    E de forma semelhante, chegamos em:

    P 3 - P 2 = ρ g h b - M b h b     e q u a ç ã o   2

    Somando as equações 1   e   2 , eliminamos o “intermediário”, que é P 2 :

    P 3 - P 1 = ρ g h a + h b - M a h a - M b h b

    Acontece que p filtro é aberto pra atmosfera na saída, daí:

    P 3 = P a t m o s f é r i c a

    E, como desconsideramos perda de carga na camada de água, é como se fosse fluido estático, daí:

    P 1 ≈ P a t m o s f é r i c a + ρ g h á g u a

    Daí:

    - ρ g h á g u a = ρ g . h a + h b - M a h a - M b h b