Instalações contendo meios porosos

Teoria Completa

Introdução

No tópico de escoamento em meios porosos, nós aprendemos a calcular, entre outras coisas, a queda de pressão ao passar por um meio poroso, certo? Legal, mas, na vida real, o seu desafio não vai ser apenas saber a queda de pressão em um meio poroso e sim levar água de um ponto a outro e passando por um meio poroso no meio do caminho. E aí? Como calculo isso? Bora ver?

Instalações

Nos problemas sobre instalações, vamos trabalhar, basicamente, com a equação de Bernoulli modificada e com a equação do movimento.

A equação de Bernoulli é a mesma que vemos lá em Mecânica dos fluidos:

P 2 - P 1 ρ g + u 2 2 - u 1 2 2 g + Z 2 - Z 1 = W B - h L

Em que:

  • P i é a pressão no ponto i
  • u i é a velocidade no ponto i
  • Z i é a altura no ponto i
  • W B é o trabalho da bomba
  • h L é a perda de carga

Lá em mecânica dos fluidos, só víamos perda de carga por percurso na tubulação reta e por acidentes (válvulas, curvas, etc); aqui em Operações, vamos considerar também meios porosos, daí:

h L = h L t u b o   r e t o + h L a c i d e n t e s + h L m e i o   p o r o s o

Podemos, ainda, escrever esse termo de perda de carga considerando um comprimento L T :

h L = f . L T . u 2 2 g

Em que L T é a soma dos comprimentos de todos os tubos retos com a soma dos comprimentos equivalentes de acidentes e de meios porosos. Caso você não lembre isso de mecânica dos fluidos, é porque ao passar por um acidente (ou meio poroso né) vai ter uma certa perda de carga; acontece que você pode dizer que essa perda de carga é EQUIVALENTE a perda que teria num comprimento L de tubulação reta.

Ah! Essa equação de Bernoulli tem algumas considerações; o mais importante que você precisa saber é que ela é para fluido INCOMPRESSÍVEL, tipo água, por exemplo.

E falei que vamos usar também a equação do movimento, que é a que vimos no tópico de escoamento em meios porosos:

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Perda de carga no meio poroso

Perda de carga em tubo reto e em acidentes (Exemplo: divisor de fluxo, válvula, etc) são, no geral, tabeladas. Mas a perda de carga em meio poroso não, daí vamos ter que achar uma expressão pra calculá-la.

A ideia vai ser escrever tanto a equação de Bernoulli quanto a equação do movimento para um meio poroso e achar termos iguais em cada uma delas e isolá-los e daí igualar a expressão deles. Bora ver um exemplo disso pra entender melhor?

Vamos analisar esse caso aqui, olha:

Ou seja, o fluido só está percorrendo o meio poroso e ele está indo contra a gravidade; adotei o eixo Z no mesmo sentido do movimento do fluido e vamos considerar o caso de fluido incompressível. Da equação do movimento, assumindo meio isotrópico e estado estacionário, temos que:

- d P d z - M - ρ g = 0

Se você tiver alguma dúvida em relação às simplificações, dá uma olhadinha no tópico anterior quando eu falo de determinação experimental de K   e   C porque expliquei cada coisa que cortei lá. Continuando, podemos reescrever essa equação como:

- d P d z = M + ρ g

Jogando o d z pra direita e integrando de L = 0 até L (repara que eu disse que o zero do meu eixo z é onde começa o meio poroso):

Guarda essa informação aí.

Bora ver agora como fica a equação de Bernoulli adaptada pra esse problema:

  1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como Q = Á r e a . u daí u é constante
  2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né

Daí:

P 2 - P 1 ρ g + L = - h L M P

A diferença de alturas ( Z 2 - Z 1 ) vale L e o h L se resume ao h L m e i o   p o r o s o , que chamei de h L M P , aí já substitui isso. O lance aqui é que o P 1 dessa fórmula é o nosso P 0 e o P 2 é o nosso P L . Substituindo e isolando esse termo:

P 2 - P 1 ρ g + L = - h L

E agora é a hora de juntar as duas equações. Temos, de cada fórmula, uma expressão para P 0 - P L . Bora igualá-las:

P 0 - P L = P 0 - P L

M L + ρ g L = ρ g h L M P + ρ g L

Aparece ρ g L dos dois lados; cortando, sobra:

M L = ρ g h L M P

Daqui, tiramos uma expressão para h L M P :

h L M P = M L ρ g

E guarda essa expressão para perda de carga no meio poroso com carinho. Ela é válida sempre!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Simplifique a equação do movimento para achar uma expressão para a queda de pressão no meio poroso em cada um dos casos abaixo:

  1. Escoamento contra a gravidade
  2. Escoamento perpendicular à gravidade

Despreze o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento!

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Passo 1

Nessa questão vamos ter que manipular a equação do movimento pra achar uma expressão pro ∆ P em cada um dos meios porosos apresentados. Temos o caso de uma instalação que apenas tem o meio poroso, daí a única perda que carga com a qual teremos que nos preocupar é o h L M P   .

Vamos ter que usar a equação do movimento então bora logo lembrar dela:

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Ah, o enunciado pede pra desprezar o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento, então vou tirá-lo logo.

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P - M → + ρ g →

Ignorá-lo é uma boa aproximação... ele fica pequeno face aos outros termos.

Agora, indo pra parte que diferencia os dois casos: no primeiro caso vamos estar interessados na componente z do movimento, pois é nela que o movimento se concentra, exclusivamente. Como a gravidade também se encontra nesse eixo, ela vai aparecer no equacionamento.

Já no segundo caso, o movimento é no eixo x ; como a gravidade NÃO está presente nesse eixo, ela NÃO aparecerá no equacionamento, ou melhor, terá valor zero. Daí o termo ρ g → será nulo.

Passo 2

  1. Escoamento contra a gravidade
  2. Voltando à equação do movimento, já desprezando d i v   τ ̿ :

    ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P - M → + ρ g →

    Antes de continuar, mais uma simplificação: NÃO nos foram informadas variações no tempo e nem variações do espaço, daí, vamos usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico. Razoável, né?

    0 → = - g r a d   P - M → + ρ g →

    Só há movimento no eixo z, daí vamos escrever apenas a componente dos vetores para esse eixo.

    - d P d z - M - ρ g = 0

    Podemos isolar o termo com d P nessa equação:

    - d P d z = M + ρ g

    Jogando o d z pra direita e integrando de L = 0 até L (repara que eu disse que o zero do meu eixo z é onde começa o meio poroso):

    P 0 - P L = M L + ρ g L        

    Passo 3

  3. Escoamento perpendicular à gravidade

Novamente, vou usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico.

0 → = - g r a d   P - M → + ρ g →

O lance é que, agora, o movimento ocorre exclusivamente ao longo do eixo x. Daí vamos escrever as componentes dos vetores apenas para esse eixo. E, como já adiantei no passo 1, a componente da gravidade nesse eixo é ZERO. Daí:

0 = - d P d x - M + ( ρ * 0 )

0 = - d P d x - M

Isolando o d P :

- d P d x = M

- d P = M * d x

Integrando, em x, de 0 a L :

P 0 - P L = M L

Resposta

  1. P 0 - P L = M L + ρ g L    
  2. P 0 - P L = M L

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Encontre a expressão para perda de carga no meio poroso:

  • Escoamento contra a gravidade

Despreze o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como vimos na teoria, para encontrar uma expressão para perda de carga no meio poroso h L M P , precisamos usar tanto a equação do movimento como a equação de Bernoulli; encontramos um ponto de amarração, isto é, um termo igual nas duas equações e usamos ele para igualar expressões e depois isolar h L M P .

Já vimos em exercício anterior como fica o desenvolvimento da equação do movimento para esse caso:

  • P 0 - P L = M L + ρ g L    
  • Então, vou concentrar, nesse exercício, em trabalhar Bernoulli e o isolamento de h L M P .

    Passo 2

  • Escoamento contra a gravidade

A equação do movimento simplificada para este caso é:

P 0 - P L = M L + ρ g L    

Indo pra Bernoulli, a equação geral é:

P L - P 0 ρ g + u L 2 - u 0 2 2 g + Z L - Z 0 = W B - h L

Repara que estou usando subscrito " 0 "   para o início do meio poroso e " L " para o fim.

Podemos simplificar Bernoulli:

  1. O diâmetro por onde o fluido passa é constante daí área transversal é constante; como Q = Á r e a * u , u é constante
  2. Não tem bomba então não tem como ter trabalho da bomba né. Daí W B = z e r o

P L - P 0 ρ g + Z L - Z 0 = - h L