Filtração

Teoria Completa

Introdução

E a próxima forma de separação que vamos ver é a filtração. Ao longo desse e dos próximos tópicos você vai perceber que a torta vai acabar sendo mais importante para a separação do que o próprio filtro. O filtro nada mais é do que um meio poroso usado para reter sólidos e deixar líquido passar. Mas o que é essa tal de torta?

Oops! Imagem errada. Infelizmente, não tem nada a ver com doce haha. Temos uma suspensão com partículas e fluido pra separar, né? Conforme essa suspensão vai passando pelo filtro, as partículas ficam retidas e vão se acumulando, formando um aglomerado, que chamamos de torta ou bolo.

Ah! Antes que eu esqueça: filtração é um problema TRANSIENTE já que as coisas mudam em função do tempo.

Tipos de filtração

Antes de falar dos tipos de filtração, quero te falar uma palavra que você provavelmente nunca deve ter ouvido: COLMATAR. Ela tem o mesmo sentido de “entupir”. Agora que você tá mestre em português, bora voltar pra Operações; existem dois tipos de filtração:

  • Filtração em profundidade: nesse tipo, o filtro vai tendo seus poros colmatados ao longo da operação; daí tem-se um escoamento em meio poroso com permeabilidade e fator C (de Forchheimer) alterando ao longo da operação.
  • Filtração em superfície: nesse modo, eu NÃO quero que os poros sejam colmatados daí projeto meio filtrante para NÃO reter as menores partículas. O lance é que as maiores vão sendo retidas e formam a torta e ela sim retém tudo. Nessa forma, é comum recircular o filtrado no começo, que passou com partículas.
  • Auxiliar de filtração

    Mas será que tudo sempre funciona perfeitamente do jeito que eu quero? Infelizmente, não.

    Pode acontecer da sua torta colmatar, isto é, as partículas vão ficando tão grudadas umas nas outras e tão próximas que entopem o filtro. Nesses casos, vamos usar auxiliares de filtração, que são alguma coisa que você adiciona na suspensão pra evitar colmatação.

    Mas pode ocorrer também de não ser a torta que está colmatando contra sua vontade e sim o filtro. Aí, podemos antes de passar a suspensão, passar um liquido só com auxiliar de filtração para formar uma pré capa.

    Filtração com formação de torta compressível

    Pro equacionamento, vamos considerar algumas hipóteses:

  1. Escoamento Darcyano, unidirecional e de fluido newtoniano incompressível.
  2. A velocidade q independe da posição na torta
  3. São desprezíveis os termos de aceleração, d i v   τ e campo (daí tá considerando filtração a 90 graus do campo)
  4. ε e K dependem da pressão nos sólidos P S

Daí já tem uma definição:

P S = P l - P

Em que:

P l   é   a   p r e s s ã o   n a   c a b e ç a   d a   t o r t a P   é   a   p r e s s ã o   e m   u m   d a d o   p o n t o   n a   t o r t a

Partindo da equação do movimento e fazendo todas as simplificações, chegamos em:

0 = - g r a d   P - M →

E, como assumimos escoamento Darcyano:

M → = μ K . q →

Vamos precisar adotar um eixo pra conseguir trabalhar com esses vetores melhor; vou aproveitar e já te mostrar também o perfil da pressão em função do espaço:

Repara que chamei:

l   é   o   c o m p r i m e n t o   d a   t o r t a l m   é   o   c o m p r i m e n t o   d o   f i l t r o

Voltando lá pra nossa equação:

d P d x = μ K q

Agora, repara que P l é a pressão que chega na cabeça da torta; ela só depende do que vem antes (a bomba, por exemplo) e NÃO da torta. Considerando-a constante e lembrando que a derivada de constante é zero, podemos escrever:

d P = - d ( P l - P )

Também vamos querer escrever a massa partículas do volume e, como a área transversal A é constante, em função de x :

d m = ρ S . 1 - ε . A . d x

Juntando tudo:

- d P l - P = μ K q . d m ρ S . 1 - ε . A

Definindo α como a resistividade local da torta:

α = 1 K . ρ S . 1 - ε

Integrando na torta:

∫ P l - P 0 P l - P l d P l - P = ∫ 0 m α . μ . q A . d m

Em que α é a resistividade média da torta.

Podemos, também, isolar a queda de pressão P l - P 0 ; chamando de Δ P C :

Δ P C = α . μ . q A . m

Acontece que vai ter um recipiente pras partículas ficarem retidas na filtração e vai ser mais fácil medir volume do que massa. Pra nos facilitar, tem a concentração C :

Matematicamente:

C = m ρ V + ρ ε V t o r t a

O primeiro termo do denominador é referente a massa de líquido no filtrado (é o que PASSOU pela torta) e o segundo é referente à quantidade de líquido que ficou retida na torta. E:

ρ V ≫ ρ ε V t o r t a

Daí, desprezando o segundo:

Queda de pressão no filtro

Vamos precisar saber, também, a queda de pressão no filtro em si. Partindo da equação do movimento e a simplificando:

d P d x = μ K m q

Em que K m é o K do meio filtrante.

Integrando:

∫ P 0 P 1 d P = μ K m q ∫ 0 - l m d x

Definindo R m como a resistência do meio filtrante:

R m = l m K m

Aí, resolvendo a integral e chamando P 1 - P 0 de Δ P m :

Δ P m = μ . R m . q

Queda de pressão no filtro como um todo ∆ P

Podemos escrever:

Δ P = Δ P C + Δ P m

Substituindo as expressões que já achamos pra cada um dos dois:

Δ P = α . μ . q A . ρ C V + μ . R m . q

Colocando alguns termos em evidência:

Podemos também fazer aparecer tempo e volume aí. Lembra que:

q = Q A = 1 A . d V d t

Substituindo, temos a equação para trabalhar com filtração que mais vamos usar:

Determinação experimental de parâmetros

Para o caso de Δ P constante, separando o d t e d V da equação anterior e integrando:

∫ 0 t d t = μ . α . ρ . C A 2 . Δ P . ∫ 0 V d V + μ . R m A . Δ P   ∫ 0 V d V

Integrando e arrumando:

t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P  

E isso é uma reta! Tendo pontos relacionando t e V podemos plotar um gráfico e fazer regressão linear.

Repara que pra volumes mais altos (ou seja, numa fase mais avançada da operação, depois de um certo tempo) foge da linearidade. A explicação pra isso é QUADRO CHEIO. Tem um espaço pras partículas ocuparem no filtro, quando enche, o tempo aumenta, mas V fica praticamente inalterado.

IMPORTANTE: Quando usamos bombas centrífugas, a carga fornecida pela bomba depende da vazão:

No começo da operação as vazões são maiores daí o Δ P NÃO vai ser constante e o gráfico também vai fugir da linearidade no começo. No meio da operação, antes do quadro encher, as vazões vão ser menores e o Δ P aproximadamente linear.

Nós fazemos regressão linear só na parte linear! Cuidado com isso, ok?

Resistividade da torta

Só uma coisa pra finalizar.

  • Quando a torta é incompressível, α é constante com a pressão.
  • Quando a torta é compressível:
  • α = α 0 . ( Δ P ) n

    E quanto mais compressível maior é o n .

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Elaboração própria

    Calcule a concentração C de uma suspensão que foi filtrada. Foram obtidos 1,95   m 3 de filtrado e um volume de torta 0,31   m 3 com porosidade 0,3 .

    Dados:

    • Partículas são C a C O 3   ( ρ S = 2,7   g / c m 3 )
    • Fluido é água ( ρ = 1,0   g / c m 3 )
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Primeiro de tudo, bora lembrar da definição da concentração C :

    Matematicamente, isso fica:

    C = m ρ V + ρ ε V t o r t a

    Precisamos agora calcular cada um desses termos.

    Passo 2

    Primeiro, bora calcular o volume de líquido retido na torta. Lembrando que porosidade é:

    P o r o s i d a d e = v o l u m e   d e   v a z i o   ( f l u i d o ) v o l u m e   t o t a l

    Daí:

    0,3 = v o l u m e   d e   f l u i d o 0,31   m 3

    v o l u m e   d e   f l u i d o = 0,093     m 3

    Lembrando da definição de densidade:

    ρ = m V

    Daí a massa de líquido retido na torta é:

    1000 k g   m 3 = m 0,093   m 3

    m = 93   k g

    Por diferença no volume de torta, achamos o volume de partículas:

    V P = 0,217   m 3

    Usando a definição de densidade:

    ρ S = m p V p

    2700 k g   m 3 = m p 0,217   m 3

    m p = 585,9   k g

    Agora só falta calcular a massa de líquido no filtrado, que é o termo ρ V :

    ρ V = 1000 k g   m 3 . 1,95   m 3 = 1950   k g

    Calculando C :

    C = 585,9 1950 + 93

    C = 0,287

    Repara que eu podia ter jogado tudo na fórmula, mas fiz passo a passo caso você esqueça a fórmula ou só tenha a definição escrita mesmo no formulário : )

    Resposta

    C = 0,287

    Exercício Resolvido #2

    Elaboração própria

    Calcule a concentração C de uma suspensão a ser filtrada que possui concentração C v = 10   % .

    Dados:

    • Partículas são C a C O 3   ( ρ S = 2,7   g / c m 3 )
    • Fluido é água ( ρ = 1,0   g / c m 3 )
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Essa questão é um pouco diferente da anterior. Aqui ainda nem filtramos a suspensão, então não tem como usar informações da torta. Mas calma que é só usar a definição:

    Temos a concentração volumétrica da suspensão então conseguimos separar o volume de partículas do volume de fluido e usando as densidades de cada um deles calculamos as massas.

    Passo 2

    Temos C v = 10   % . Bora adotar uma base de cálculo de 1000   c m 3 . Daí:

    1000   c m 3 = 100   c m 3   d e   p a r t í c u l a s + 900   c m 3   d e   f l u i d o

    Lembrando da definição de densidade:

    d e n s i d a d e = m a s s a v o l u m e

    Daí, para partículas:

    m p = ρ S   .   V p

    m p = 2,7 g c m 3   . 100   c m 3

    m p = 270   g

    Já pra o fluido:

    m = ρ   . V

    m = 1,0 g c m 3   .   900   c m 3

    m = 900   g

    Calculando C :

    C = m p m = 270 900 = 0,3

    Resposta

    C = 0,3

    Exercício Resolvido #3

    UFRJ. Medronho, Lista 5

    Um filtro-prensa (um quadro de 6 ”   x   6 ”   x   1 ” ) foi utilizado na filtração, em laboratório, de uma suspensão aquosa de barita ( 20   g de sólido/L de suspensão). De acordo com a curva obtida ao se lançar t / V versus V , pede-se:

    a) Estimar o parâmetro β (razão entre volume de filtrado e volume de torta) para o quadro cheio.

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Nessa questão temos que calcular a relação entre o volume de filtrado e o volume de torta, que é o β .

    β = V o l u m e   d e   f i l t r a d o V o l u m e   d e   t o r t a = V V t

    Daí, vamos ter que usar um ponto da operação em que saibamos tanto o volume de filtrado como o volume de torta obtidos até aquele momento.

    Passo 2

    a) Estimar o parâmetro β (razão entre volume de filtrado e volume de torta) para o quadro cheio.

    Essa é bem de boas; a definição de β é:

    β = V o l u m e   d e   f i l t r a d o V o l u m e   d e   t o r t a = V V t

    Bora obter cada um dos termos que aparece:

    Quando o quadro está cheio, sabemos que o gráfico de t V   v e r s u s   V sai da linearidade. Daí, podemos pegar o último ponto dentro da linearidade e estimar o valor de V nesse ponto como o volume de filtrado quando o quadro enche. Usando o gráfico dado:

    V ≈ 16700   c m 3

    E, quando o quadro está cheio, o volume de torta é o próprio volume do quadro, certo? E as dimensões do quadro nós temos e são:

    6 ”   x   6 ”   x   1 ”

    E sabemos também que há apenas UM quadro, daí o volume de torta, V t , com quadro cheio, é:

    V t = 1 * ( 6 ” *   6 ” *   1 ” )

    Convertendo as dimensões pra centímetros, para V t ficar com as mesmas unidades de V :

    V t = 1 * 6 ” * 2,54   c m 1   p o l e g a d a *   6 ” * 2,54   c m 1   p o l e g a d a * 1 ” * 2,54   c m 1   p o l e g a d a

    V t = 589,9   c m 3

    Aí pra achar β é só fazer a divisão:

    β = V o l u m e   d e   f i l t r a d o V o l u m e   d e   t o r t a = V V t

    β = V V t = 16700   c m 3 589,9   c m 3 = 28,3

    Só quero fazer um comentário: nem toda área da face do quadro é disponível pra torta ocupar... somente a área efetiva! Mas NÃO temos nenhuma informação sobre a porcentagem efetiva e por isso considerei 100 % , mas saiba que é menor, ok?

    SEEEE o enunciado tivesse dito a marca do quadro, poderíamos ir atrás de informações do fabricante para achar a área efetiva da face, mas não foi o caso.

    Resposta

    β = V V t = 28,3

    Exercício Resolvido #4

    UFRJ. Medronho, Lista 5

    Um grupo de alunos do curso de Engenharia Química da UFRJ obteve os seguintes resultados ao realizar a prática de filtração no filtro prensa do laboratório da Escola de Química:

    São dados:

    − O experimento foi conduzido com uma suspensão aquosa de C a C O 3 ( ρ s = 2,6   g / c m 3 ).

    − Queda de pressão no filtro: 0,5   K g f / c m 2 ;

    − Área da face do quadro igual a 0,0253   m 2 e espessura do quadro igual a 1   c m

    − Número de quadros igual a 2 .

    − Tempo de filtração ( t ) versus volume de filtrado ( V ) :

    Pede-se:

    a) Determinar os parâmetros α e R m .

    b) Calcular a área total de filtração industrial para uma espessura de torta de 2 ” e um volume final de filtrado de 8   m 3 .

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Vimos, na teoria, que para filtração vale:

    Para o caso de Δ P constante, separando o d t e d V da equação anterior e integrando:

    ∫ 0 t d t = μ . α . ρ . C A 2 . Δ P . ∫ 0 V d V + μ . R m A . Δ P   ∫ 0 V d V

    Integrando e arrumando:

    t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P  

    Agora temos que pegar os pontos relacionando t e V , plotar um gráfico e fazer regressão linear; daí tiramos os parâmetros α e R m . Os outros termos que aparecem na equação nós temos, com exceção de A e C , que ainda teremos que calcular. Bora organizar nossas informações, usando tudo no sistema CGS.

    Não temos A porque esta é a área TOTAL de filtração, e o que nos foi dado é a área de UMA face. Para achar a área TOTAL de filtração precisamos lembrar que, em cada quadro, a área de filtração é duas vezes a área da face, pois há filtração dos dois lados no quadro. E, também, temos que multiplicar pelo número de quadros, que no caso é 2 . Daí:

    A = 2   .   2 .   0,0253   m 2 = 0,1012   m 2 = 1012   c m 2

    É dito que a suspensão é aquosa, mas não se fala a temperatura. Vou considerar que esteja a 25 ℃ daí:

    μ = 0,891   c P = 0,891 . 10 - 2   P

    ρ = 0,997   g / c m 3

    Passo 2

    Para o cálculo da concentração C , vamos usar os dados dos experimentos. A definição dessa concentração é:

    Bora dar uma olhada nos experimentos relativos à concentração:

    Tem 3 experimentos. Daí vamos calcular C para cada um deles e depois usar a média. Organizando os cálculos numa tabela e lembrando que:

    S u s p e n s ã o = L í q u i d o + S ó l i d o s

    Usando a média desses três:

    C = 0,0635

    Passo 3

    1. Determinar os parâmetros α e R m .

    Como já vimos lá no passo 1, temos que plotar t / V   v e r s u s   V e fazer regressão linear. Usando as unidades do CGS, isto é, tempo sem segundos e volume em c m 3 , os dados plotados ficam:

    A regressão linear fazemos só com a parte linear do gráfico, lembra? Os outros pontos nós descartamos. Vou pegar até o ponto com V = 4600   c m 3 porque está bemmm linear haha

    Agora é só comparar a equação obtida com a regressão com a desenvolvida teoricamente:

    y = 7 . 10 - 6 . X + 0,0102