Filtração

Teoria Completa

Introdução

E a próxima forma de separação que vamos ver é a filtração. Ao longo desse e dos próximos tópicos você vai perceber que a torta vai acabar sendo mais importante para a separação do que o próprio filtro. O filtro nada mais é do que um meio poroso usado para reter sólidos e deixar líquido passar. Mas o que é essa tal de torta?

Oops! Imagem errada. Infelizmente, não tem nada a ver com doce haha. Temos uma suspensão com partículas e fluido pra separar, né? Conforme essa suspensão vai passando pelo filtro, as partículas ficam retidas e vão se acumulando, formando um aglomerado, que chamamos de torta ou bolo.

Ah! Antes que eu esqueça: filtração é um problema TRANSIENTE já que as coisas mudam em função do tempo.

Tipos de filtração

Antes de falar dos tipos de filtração, quero te falar uma palavra que você provavelmente nunca deve ter ouvido: COLMATAR. Ela tem o mesmo sentido de “entupir”. Agora que você tá mestre em português, bora voltar pra Operações; existem dois tipos de filtração:

  • Filtração em profundidade: nesse tipo, o filtro vai tendo seus poros colmatados ao longo da operação; daí tem-se um escoamento em meio poroso com permeabilidade e fator C (de Forchheimer) alterando ao longo da operação.
  • Filtração em superfície: nesse modo, eu NÃO quero que os poros sejam colmatados daí projeto meio filtrante para NÃO reter as menores partículas. O lance é que as maiores vão sendo retidas e formam a torta e ela sim retém tudo. Nessa forma, é comum recircular o filtrado no começo, que passou com partículas.
  • Auxiliar de filtração

    Mas será que tudo sempre funciona perfeitamente do jeito que eu quero? Infelizmente, não.

    Pode acontecer da sua torta colmatar, isto é, as partículas vão ficando tão grudadas umas nas outras e tão próximas que entopem o filtro. Nesses casos, vamos usar auxiliares de filtração, que são alguma coisa que você adiciona na suspensão pra evitar colmatação.

    Mas pode ocorrer também de não ser a torta que está colmatando contra sua vontade e sim o filtro. Aí, podemos antes de passar a suspensão, passar um liquido só com auxiliar de filtração para formar uma pré capa.

    Filtração com formação de torta compressível

    Pro equacionamento, vamos considerar algumas hipóteses:

  1. Escoamento Darcyano, unidirecional e de fluido newtoniano incompressível.
  2. A velocidade q independe da posição na torta
  3. São desprezíveis os termos de aceleração, d i v   τ e campo (daí tá considerando filtração a 90 graus do campo)
  4. ε e K dependem da pressão nos sólidos P S

Daí já tem uma definição:

P S = P l - P

Em que:

P l   é   a   p r e s s ã o   n a   c a b e ç a   d a   t o r t a P   é   a   p r e s s ã o   e m   u m   d a d o   p o n t o   n a   t o r t a

Partindo da equação do movimento e fazendo todas as simplificações, chegamos em:

0 = - g r a d   P - M →

E, como assumimos escoamento Darcyano:

M → = μ K . q →

Vamos precisar adotar um eixo pra conseguir trabalhar com esses vetores melhor; vou aproveitar e já te mostrar também o perfil da pressão em função do espaço:

Repara que chamei:

l   é   o   c o m p r i m e n t o   d a   t o r t a l m   é   o   c o m p r i m e n t o   d o   f i l t r o

Voltando lá pra nossa equação:

d P d x = μ K q

Agora, repara que P l é a pressão que chega na cabeça da torta; ela só depende do que vem antes (a bomba, por exemplo) e NÃO da torta. Considerando-a constante e lembrando que a derivada de constante é zero, podemos escrever:

d P = - d ( P l - P )

Também vamos querer escrever a massa partículas do volume e, como a área transversal A é constante, em função de x :

d m = ρ S . 1 - ε . A . d x

Juntando tudo:

- d P l - P = μ K q . d m ρ S . 1 - ε . A

Definindo α como a resistividade local da torta:

α = 1 K . ρ S . 1 - ε

Integrando na torta:

∫ P l - P 0 P l - P l d P l - P = ∫ 0 m α . μ . q A . d m

Em que α é a resistividade média da torta.

Podemos, também, isolar a queda de pressão P l - P 0 ; chamando de Δ P C :

Δ P C = α . μ . q A . m

Acontece que vai ter um recipiente pras partículas ficarem retidas na filtração e vai ser mais fácil medir volume do que massa. Pra nos facilitar, tem a concentração C :

Matematicamente:

C = m ρ V + ρ ε V t o r t a

O primeiro termo do denominador é referente a massa de líquido no filtrado (é o que PASSOU pela torta) e o segundo é referente à quantidade de líquido que ficou retida na torta. E:

ρ V ≫ ρ ε V t o r t a

Daí, desprezando o segundo:

Queda de pressão no filtro

Vamos precisar saber, também, a queda de pressão no filtro em si. Partindo da equação do movimento e a simplificando:

d P d x = μ K m q

Em que K m é o K do meio filtrante.

Integrando:

∫ P 0 P 1 d P = μ K m q ∫ 0 - l m d x

Definindo R m como a resistência do meio filtrante:

R m = l m K m

Aí, resolvendo a integral e chamando P 1 - P 0 de Δ P m :

Δ P m = μ . R m . q

Queda de pressão no filtro como um todo ∆ P

Podemos escrever:

Δ P = Δ P C + Δ P m

Substituindo as expressões que já achamos pra cada um dos dois:

Δ P = α . μ . q A . ρ C V + μ . R m . q

Colocando alguns termos em evidência:

Podemos também fazer aparecer tempo e volume aí. Lembra que:

q = Q A = 1 A . d V d t

Substituindo, temos a equação para trabalhar com filtração que mais vamos usar:

Determinação experimental de parâmetros

Para o caso de Δ P constante, separando o d t e d V da equação anterior e integrando:

∫ 0 t d t = μ . α . ρ . C A 2 . Δ P . ∫ 0 V d V + μ . R m A . Δ P   ∫ 0 V d V

Integrando e arrumando:

t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P  

E isso é uma reta! Tendo pontos relacionando t e V podemos plotar um gráfico e fazer regressão linear.

Repara que pra volumes mais altos (ou seja, numa fase mais avançada da operação, depois de um certo tempo) foge da linearidade. A explicação pra isso é QUADRO CHEIO. Tem um espaço pras partículas ocuparem no filtro, quando enche, o tempo aumenta, mas V fica praticamente inalterado.

IMPORTANTE: Quando usamos bombas centrífugas, a carga fornecida pela bomba depende da vazão:

No começo da operação as vazões são maiores daí o Δ P NÃO vai ser constante e o gráfico também vai fugir da linearidade no começo. No meio da operação, antes do quadro encher, as vazões vão ser menores e o Δ P aproximadamente linear.

Nós fazemos regressão linear só na parte linear! Cuidado com isso, ok?

Resistividade da torta

Só uma coisa pra finalizar.

  • Quando a torta é incompressível, α é constante com a pressão.
  • Quando a torta é compressível:
  • α = α 0 . ( Δ P ) n

    E quanto mais compressível maior é o n .

    Expandir

    Exercício Resolvido #1

    Elaboração própria

    Calcule a concentração C de uma suspensão que foi filtrada. Foram obtidos 1,95   m 3 de filtrado e um volume de torta 0,31   m 3 com porosidade 0,3 .

    Dados:

    • Partículas são C a C O 3   ( ρ S = 2,7   g / c m 3 )
    • Fluido é água ( ρ = 1,0   g / c m 3 )
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Primeiro de tudo, bora lembrar da definição da concentração C :