Teoria

Opaa! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre hidrociclones?!

O que é um Hidrociclone?

O hidrociclone é um equipamento de separação sólido-líquido onde a separação ocorre através da força centrifuga. Ele tem essa carinha aqui:

Hidrociclone
Hidrociclone

Na alimentação temos a mistura de sólido e líquido e após a separação a carga pesada sai por baixo, chamamos ela de underflow e a carga leve é o overflow que sai por cima!

Os hidrociclones são bem parecidos com os ciclones, suas geometrias são semelhantes e a ideia de funcionamento também. Mas temos que nos atentar com as duas diferenças principais:

  • Nos ciclones a separação é gás-sólido, ou seja o fluido é um gás;
  • A razão de fluido nos ciclones é igual a zero, já nos hidrociclones, o é diferenete de zero. Mas isso é conversa pra daqui a pouco!

Nesse vídeo abaixo a gente te explica tudo o que você precisa saber sobre hidrocilones, como é o seu funcionamento, como dimensionar e mais! Dá só uma conferida 👇

Como Funciona um Hidrociclone

Nessa figura abaixo você pode observar um desenho esquemático com a geometria de um hidrociclone:

geometria de um hidrociclone
geometria de um hidrociclone

O é o diâmetro do duto de alimentação e nos hidrociclones esse duto é cilíndrico!

A separação no hidrociclone acontece devido à alimentação tangencial na sua parte cilíndrica. É formado um movimento em espiral descendente que arrastasta as partículas maiores e mais pesadas para saída inferior do equipamento (underflow). Já as partículas menores e menos densas são arrastadas para o centro do equipamento, onde forma-se um movimento em espiral ascendente e estas saem por um orifício superior (overflow).

Na tabela abaixo você pode observar as relações geométricas do hidrociclone:

proporções geométricas de um hidrociclone
proporções geométricas de um hidrociclone

Queda de Pressão em um Hidrociclone

A queda de pressão em um hidrociclone pode ser calculada pela equação de Euler, que é dada por:

Equação de Euler
Equação de Euler

Além da correlação:

Correlação de Euler
Correlação de Euler

Usamos os seguintes os parâmetros da equação de Euler:

Parâmetros da equação de Euler
Parâmetros da equação de Euler

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo!

Razão de fluido

A razão de fluido é o quanto da vazão de fluido que sai no concentrado dividido pela vazão de fluido que entra. Ou seja:

Razão de fluido
Razão de fluido

Esse significa underflow e a gente usa ele porque na maioria dos casos o concentrado é no underflow, já que a densidade do sólido é maior do que o líquido.

Para esse cálculo precisamos da correlação de razão de fluido:

Correlação de razão de fluido
Correlação de razão de fluido

Abaixo temos tabelados os parâmetros da equação:

Parâmetros da equação
Parâmetros da equação

Cálculo do diâmetro de corte reduzido

O diâmetro de corte reduzido é o diâmetro associado com a eficiência granulométrica reduzida igual a 50%. Aqui trabalhamos com os “reduzidos” porque há em hidrociclones. Para isso usamos a seguinte fórmula:

Cálculo do diâmetro de corte reduzido
Cálculo do diâmetro de corte reduzido

Usamos também a seguinte correlação:

Correlação de stokes e euler
Correlação de stokes e euler

Parâmetros da equação:

parâmetros da equação de stokes
parâmetros da equação de stokes

Dimensionamento de um Hidrociclone: Correlações Importantes

Para o dimensionamento de um hidrociclone qualquer, usamos as seguintes correlações:

Correlações para o Dimensionamento de um Hidrociclone
Correlações para o Dimensionamento de um Hidrociclone

Eficiência Granulométrica Reduzida

Pela eficiência granulométrica reduzida (G') conseguimos avaliar a performance de um hidrociclone. Ela pode ser calculada a partir da seguinte fórmula:

Eficiência Granulométrica Reduzida
Eficiência Granulométrica Reduzida

Com n=3 para hidrociclones.

Agora vamos praticar com exercícios?!

Como Funciona um Hidrociclone

Queda de Pressão em um Hidrociclone

Razão de fluido

Cálculo do diâmetro de corte reduzido

Dimensionamento de um Hidrociclone: Correlações Importantes

Eficiência Granulométrica Reduzida

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qual a principal diferença operacional entre ciclones e hidrociclones? Discuta, também, sobre a erosão em cada um desses equipamentos.

Passo 1

Tanto ciclones como hidrociclones são equipamentos que fazem uso de um campo centrífugo gerado pelo próprio movimento do fluido para obter a separação de partículas do fluido.

Mas há uma grande diferença operacional em termos do fluido alimentado em cada um dos equipamentos, e é isso que o enunciado pergunta. Em ciclones, o fluido da suspensão alimentada é um GÁS, enquanto nos hidrociclones, o fluido da suspensão é um LÍQUIDO.

Passo 2

O enunciado também pede pra gente comentar sobre a erosão em cada um dos equipamentos. Pensa comigo, o principio de separação nos dois equipamentos é semelhante, certo? Tem uma suspensão se movimentando em espiral num equipamento com uma parte cilíndrica e uma parte que é um tronco de cone e as partículas são separadas devido a um campo centrífugo.

Se os equipamentos e forma de separação são tão parecidos, poderíamos pensar, a princípio, que a erosão também seria semelhante, né? Massssssss acontece que não é. E isso ocorre justamente pelo tipo de fluido em cada um dos equipamentos.

A erosão no equipamento ocorre devido ao atrito das partículas sólidas com o equipamento. Mas, como vimos, esses sólidos estão em suspensão, daí imersos em um fluido. Diferentes fluidos podem “atenuar” a erosão... quanto maior a viscosidade do fluido, é como se ele impedisse que a partícula sólida se esfregasse com tanta força no equipamento, e assim diminui a erosão.

Líquidos possuem viscosidade muito maior do que gases e como hidrociclones operam com líquido e ciclones com gases, a erosão é mais intensa em ciclones do que hidrociclones.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Uma indústria química utiliza um hidrociclone para tratar 100   m 3 / h de uma suspensão aquosa, a 10 % em volume de C a C O 3 . Determine a eficiência de separação.

Dados:

∆ P = 50   p s i , ρ s = 2,8   g / c m 3 , ρ = 1   g / c m 3 , μ = 1   c P

y = 1 - exp ⁡ - d 150 1,5   c o m   d   e m   μ

Configuração do hidrociclone:

Passo 1

Temos que determinar a eficiência de separação E T obtida usando esse hidrociclone aí. Antes de qualquer coisa, temos que saber qual é a família desse hidrociclone pra saber quais equações e parâmetros usar. Lá na teoria, eu coloquei uma tabelinha com as proporções geométricas em cada uma das famílias. Vamos calcular para esse hidrociclone aí e ver se ele se encaixa em alguma família.

Calculando D i D C :

D i D C = 0,07 0,4 = 0,175

Opa! Já sabemos que esse hidrocilone não tem família; ele é um hidrociclone qualquer então temos que usar as equações pra um hidrociclone qualquer.

E, para chegar na eficiência total de coleta: temos como, pelas equações, calcular d 50 ' ; como sabemos a expressão de G ' em função de d   e   d 50 ' (vou usar a equação de Rosin-Rammler-Bennett modificada), teremos a expressão de G ' “completa”. Depois, calculamos E T ' e depois E T .

Ah! Vou adotar o CGS então já vou listar os dados convertendo-os para o CGS, caso necessário:

Q = 100 m 3 h = 1 h 3600   s . 10 6   c m 3 1   m 3 = 27777,8   c m 3 / s

C v = 10 % = 0,1

∆ P = 50   p s i . 6895 N m 2 1   p s i . 10 d i n a c m 2 1   N m 2 = 3,45 . 10 6 d i n a c m 2

ρ s = 2,8   g / c m 3

ρ = 1   g / c m 3

μ = 1   c P = 1 . 10 - 2 P

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos ter que calcular o diâmetro de corte reduzido, d 50 ' . Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação):

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = 0,12 D C D o 0,95 D C L - l 1,33 ln ⁡ 1 R f 0,79 exp ⁡ 12 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 21,8 D C 0,57 D C D i 2,61 D C D o 2 + D u 2 0,42 D C L - l 0,98 R e 0,12 exp ⁡ ( - 0,51 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = 1,18 D C D o 5,97 D u D C 3,10 E u - 0,54

Repara que a expressão que envolve d 50 ' é a definição de S t k 50 E u ; daí podemos calcular S t k 50 E u pela correlação (termo da direita) e depois relacionar com a definição. Mas, antes disso, preciso de R f ; como não tenho Q u , tenho que calcular R f pela correlação e, para isso, preciso de E u . Daí a primeira coisa que vou calcular é E u , certo? Tenho tudo da definição então é ela que vou usar:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = π 2 . 3,45 . 10 6 . ( 40 ) 4 8 . 1 . ( 27777,8 ) 2 = 14121,25

Repara que eu lancei o D C em centímetros.

Calculando R f :

R f = 1,18 D C D o 5,97 D u D C 3,10 E u - 0,54 = 1,18 40 10 5,97 5 40 3,10 ( 14121,25 ) - 0,54 = 0,042

Calculando S t k 50 E u pela correlação:

S t k 50 E u = 0,12 D C D o 0,95 D C L - l 1,33 ln ⁡ 1 R f 0,79 exp ⁡ 12 C v = 0,12 40 10 0,95 40 [ 100 - 30 ] - 25 1,33 ln ⁡ 1 0,042 0,79 exp ⁡ 12 * 0,1 = 1,757

Relacionando S t k 50 E u com a definição:

S t k 50 E u = 1,757 = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q

Substituindo os valores:

d 50 ' = 47,75 * 10 - 4 c m = 47,75   μ m

Passo 3

Vamos usar, para a expressão da eficiência granulométrica, a equação de Rosin-Rammler-Bennett modificada:

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' n

Com n = 3 para hidrociclones

Já sabemos o valor de d 50 ' e de n . A questão é que para encontrarmos o valor da eficiência global reduzida E T ' , vamos ter que integrar em y :

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y

Daí, precisamos de uma expressão para d em função de y . Vamos obtê-la da curva y   v e r s u s   d que o enunciado deu:

y = 1 - exp ⁡ - d 150 1,5  

exp ⁡ - d 150 1,5 = 1 - y

Aplicando l n dos dois lados:

d 150 1,5 = - ln ⁡ ( 1 - y )

d = 150 [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5

Substituindo isso na equação de G ' :

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 150 [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 47,75 3

Agora, integramos na calculadora:

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y = 0,8314

Mas o enunciado pede eficiência global ( E T ) e não a eficiência global reduzida ( E T ' ) ; sabemos que:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Daí:

0,8314 = E T - 0,042 1 - 0,042

E T = 0,8385   o u   83,35 %

Só uma análise do resultado: faz sentido E T > E T ' ? Sim ! A vazão associada com a razão de fluido é como se tivesse 100 % de coleta, já que ela carrega partículas com a mesma distribuição original e isso faz com que a eficiência global do separador aumente.

Resposta

E T = 0,8385   o u   83,35 %

Exercício Resolvido #3

Dimensionar o hidrociclone Rietma capaz de tratar 920   c m 3 / s de uma suspensão de C a C O 3   ( ρ S = 2,78 g c m 3 ) a 1 % em volume. A queda de pressão de operação será de 30   p s i e o diâmetro de corte reduzido que se deseja obter é 10   μ m .

Dados: ρ = 1   g / c m 3   e μ = 1   c P

Passo 1

Em ciclones, para dimensionar bastava calcular o D C porque todas as outras dimensões eram função dele. Já aqui em hidrociclones, com D C conseguimos amarrar todas as outras dimensões, com EXCEÇÃO DE D u (que vai estar relacionado à coleta de partículas e a concentração da corrente concentrada) .Então temos que calcular D C   e   D u .

Reunindo as informações que temos:

Q = 920 c m 3 s e   ∆ P = 30   p s i

ρ S = 2,78 g c m 3   e   d 50 ' = 10   μ m

C v = 1 % = 0,01

ρ = 1   g / c m 3   e μ = 1   c P

Passo 2

Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação):

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

Nós não sabemos nem R f e nem Q u , mas repara que sabemos tudo da linha do Euler, com exceção de D C , que queremos calcular:

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

Usando aquelas tabelas da teoria pra obter os valores dos parâmetros:

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 371,5 . R e 0,12 exp ⁡ ( - 2,12 . C v )

E Reynolds é:

R e = 4 ρ Q π μ D C

Substituindo:

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 371,5 4 ρ Q π μ D C 0,12 exp ⁡ ( - 2,12 . C v )

Rearranjando:

D C 4,12 = 371,5 . 4 0,12 . 8 ρ 1,12 Q 2,12 π 2,12 μ 0,12   ∆ P . exp ⁡ ( - 2,12 . C v )

Elevando os dois lados a 1 4,12 , dá aproximadamente:

D C R i e t m a = 4   ρ 0,27 Q 0,51 μ 0,028 ∆ P 0,24 . exp ⁡ ( - 0,52 . C v )

Escolhendo trabalhar com o CGS temos:

D C R i e t m a = 4 .   1 0,27 920 0,51 ( 1 . 10 - 2 ) 0,028 ( 30   p s i . 68948   d y n / c m 2 p s i ) 0,24 . exp ⁡ ( - 0,52 . 0,01 ) = 4,48   c m

Repara que eu converti μ   e   ∆ P   na equação mesmo.

Passo 3

Agora falta o D u . Repara que a partir de R f = k 3 D u D C n 5 E u n 6 dá pra calcular o D u , mas não sabemos ainda quem é o R f .Masssss repara que temos como calcular o R f pela correlação para S t k 50 E u :

S t k 50 E u = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

“Mas eu não sei quem é S t k 50 E u ” Verdade, mas tem como calcular pela definição:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C Q \ d 50 ' 36 μ ρ Q

Juntando tudo, já substituindo os parâmetros:

π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = 0,0474 ln ⁡ 1 R f 0,74 exp ⁡ 9,0 . C v

π 2,78 - 1 30 . 68948 . 4,48 . ( 10 . 10 - 4 ) 36 . 1 . 10 - 2 . 1 . 920 = 0,1566 = 0,0474 ln ⁡ 1 R f 0,74 . exp ⁡ 9,0 . 0,01

Daí:

R f = 0,0117

Passo 4

Voltamos para R f = k 3 D u D C n 5 E u n 6 . Temos outro “probleminha”; agora sabemos R f , mas ainda não sabemos E u . Então, bora usar a definição dele pra calcular:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 1215

Agora sim, voltando pra correlação de R f e já substituindo os parâmetros para o Rietma:

R f = 1218 . D u D C 4,75 E u - 0,30

Substituindo o que temos:

0,0117 = 1218 . D u 4,48 4,75 ( 1215 ) - 0,30

D u = 0,62   c m

Resposta

D C = 4,48   c m     e     D u = 0,62   c m

Exercício Resolvido #4

Devido a alterações ocorridas em um processo utilizado por uma indústria, um hidrociclone Rietma de 9,0   c m de diâmetro terá suas variáveis operacionais modificadas para ∆ P = 30   p s i , C v = 9 % , D u = 2,4   c m . Sabendo que a distribuição granulométrica do material particulado na alimentação é d = 14 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,2 . Pede-se calcular a vazão de operação e a eficiência total, sabendo-se que ρ S = 2,5   g / c m 3 e que o fluido de operação é a água com as seguintes propriedades: ρ = 1   g / c m 3 e μ = 1   c P .

Passo 1

Esse enunciado foi bem bonzinho com a gente: já deu d em função de y (pra quando a gente for integrar em d y ) e já deu as propriedades físicas do fluido de cara haha Mas bora ver o que ele quer.

Temos um hidrociclone Rietma com algumas especificações: D C = 9,0   c m , ∆ P = 30   p s i , D u = 2,4   c m ; sabemos, também, que a concentração na entrada é C v = 9 % .

Sabemos, também, que ρ S = 2,5   g / c m 3 , ρ = 1   g / c m 3 e μ = 1   c P = 1 . 10 - 2   P .

Vamos ter que calcular a vazão de operação Q e a eficiência total de separação ( E T ) ; pra isso é só aplicar fórmula porque tá tudo amarradinho.

Passo 2

Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação), para quando o hidrociclone é de alguma família:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

A primeira coisa que vou calcular é a vazão Q logo. Eu não tenho d 50 ' e nem R f , então não vou pensar em usar as expressões de S t k 50 E u pra isso. Também não tenho Q u ou E u pra pensar em usar a linha do R f . Sobra usar as expressões para E u .

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

Como não tenho o valor de R e , vou escrevê-lo em função de Q :

R e = 4 ρ Q π μ D C = 4 . 1 . Q π . 1,0 . 10 - 2 . 9

Ah! Vou precisar passar ∆ P para o CGS antes de jogar na fórmula, já que escolhi trabalhar no CGS.

∆ P = 30   p s i . 68950 d i n a c m 2 1   p s i = 2,07 . 10 6 d i n a / c m 2

Voltando para as expressões pra E u , já com os parâmetros da correlação para o Rietma:

π 2 . 2,07 . 10 6 . 9 4 8 . 1 . Q 2 = 371,5 . 4 . 1 . Q π . 1,0 . 10 - 2 . 9 0,12 exp ⁡ ( - 2,12 . 0,09 )

Q = 3915,8   c m 3 / s  

Passo 3

O enunciado também pediu pra gente calcular a eficiência total E T , mas pra chegar lá ainda temos um caminho pra percorrer haha Olha só: o que temos pra começar a calcular a eficiência é a equação de RRB modificada:

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3

Tendo a expressão completinha de G ' e com d em função de y , podemos integrar e calcular E T ' :

E T ' = ∫ 0 1 G ' d y

Como o que queremos é E T , vamos usar:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Massss, não temos a expressão de RRB “completinha”; falta achar o d 50 ' . Pra isso, vamos pelo S t k 50 E u :

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

Como não temos o valor de S t k 50 E u e nem o de d 50 ' , temos que calcular o valor de S t k 50 E u pela correlação (termo da direita); pra isso, preciso de R f :

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

Não tenho Q u , então tenho que usar a correlação (termo da direita); para isso, preciso calcular E u . Vou pela definição mesmo, já que sei tudo:

E u = π 2 . 2,07 . 10 6 . 9 4 8 . 1 . 3915,8 2 = 1092,7

Calculando R f pela correlação, já com os parâmetros adequados:

R f = 1218 . 2,4 9 4,75 1092,7 - 0,30 = 0,28

Voltando pra S t k 50 E u , já com os parâmetros adequados:

S t k 50 E u = 0,0474 . ln ⁡ 1 0,28 0,74 exp ⁡ 9,0 . 0,09 = 0,127

Igualando esse valor com a definição de S t k 50 E u , encontramos d 50 ' :

0,127 = π . 2,5 - 1 . 2,07 . 10 6 . 9 . d 50 ' 36 . 1,0 . 10 - 2 . 1 . 3915,8

d 50 ' = 1,43 . 10 - 3 c m = 14,3   μ m

Passo 4

Agora que temos d 50 ' , podemos escrever a expressão de G ' completinha. Já com o d em função de y (foi dado):

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 14 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,2 14,3 3

Fazendo, na calculadora a integral:

E T ' = ∫ 0 1 G ' d y = 0,384

Como queremos E T :

E T ' = E T - R f 1 - R f  

0,384 = E T - 0,28 1 - 0,28  

E T = 0,56   o u   56 %

Resposta

E T = 0,56   o u   56 %

Exercício Resolvido #5

Uma bateria de hidrociclones Bradley, de 6   c m de diâmetro, é utilizada para tratar 50   m 3 / h de uma suspensão aquosa, a 1 % em volume de C a C O 3 . Calcular:

  1. O número de hidrociclones necessários
  2. A eficiência total de separação
  3. A concentração volumétrica no underflow

Dados:

∆ P = 50   p s i ; ρ s = 2,8   g / c m 3 ; D u = 0,8   c m ; T = 20 ℃

Distribuição granulométrica do material particulado na alimentação:

Passo 1

Temos hidrociclones com D C , D u e ∆ P especificados; ele está todo amarrado e a vazão que passa por um desses hidrociclones está amarrada também! Como precisa tratar uma vazão Q T = 50   m 3 / h , vamos ter que calcular o número de hidrociclones necessários.

Para o cálculo da eficiência total de separação, vamos ter que primeiro calcular d 50 ' , aí jogá-lo na expressão de G ' ; como vou usar equação de Rosin-Rammler-Bennett modificada (RRB):

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3

Depois, achamos E T ' por meio de:

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y

Lembrando que colocar d em função de y na expressão de G ' ; para tal, vamos precisar de uma expressão para y em função de d , que podemos achar pela tabela que ele deu com pares d   e   y . Vamos ter que usar os y em base unitária.

E, como o enunciado pede eficiência total e não eficiência total reduzida, calculamos E T usando:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Já para o cálculo da concentração do underflow, vamos ter que calcular a quantidade de partículas que sai no underflow e a quantidade de fluido que sai no underflow; depois é só aplicar a definição de C v .

Ah! Repara que o enunciado não deu ρ   e   μ para o fluido, mas disse que é água a 20 ℃ então podemos ir atrás de informação tabelada:

ρ = 1 g c m 3   e   μ = 1,002   c P = 1,002 . 10 - 2   P

Já passei a viscosidade pra Poise porque vou escolher trabalhar no CGS.

Passo 2

a) Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação), para quando o hidrociclone é de alguma família:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

A primeira coisa que vamos calcular é a vazão Q passando pelo nosso hidrocilone. Não vou usar S t k 50 E u porque não tenho nem d 50 ' pra usar a definição e nem R f pra usar a correlação. Não vou usar R f porque não tenho Q u pra usar a definição e nem E u pra usar a correlação. Daí sobra usar E u . Reescrevendo essa segunda linha, já com cos parâmetros corretos:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 258,0 . R e 0,37 exp ⁡ 0 . C v = 258,0 . R e 0,37

Precisamos calcular Reynolds:

R e = 4 ρ Q π μ D C = 4 . 1 . Q π . 1,002 . 10 - 2 . 6 = 21,18 . Q

Q é o que a gente quer calcular então deixei em função dele. Daí, substituindo tudo que temos:

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 258,0 . R e 0,37

π 2 . 50 . 68948 . 6 4 8 . 1 . Q 2 = 258,0 . ( 21,18 . Q ) 0,37

Repara que converti o ∆ P de p s i para d i n a / c m 2 , já que estamos trabalhando com o CGS. Calculando:

Q = 768,9   c m 3 / s

Mas temos que tratar Q T = 50   m 3 / h . Não posso comparar gatos com peixes; preciso ter os dois nas mesmas unidades pra comparar.

Q T = 50 m 3 h . 10 6   c m 3 1   m 3 . 1   h 3600   s = 13888,9   c m 3 / s

Precisamos de N hidrociclones tratando uma vazão Q para ter o tratamento da vazão total Q T :

Q T = N . Q

13888,9 = N . 768,9  

N = 18   h i d r o c i c l o n e s

Passo 3

b) A eficiência total de separação

Vamos usar   G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3 , mas precisamos de d 50 ' primeiro. Vamos ter que usar S t k 50 E u , que é onde ele aparece.

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

A definição tem o d 50 ' ; preciso calcular o S t k 50 E u pela correlação e depois igualar esse valor a definição pra tirar o d 50 ' , mas antes preciso calcular o R f . Usando a correlação, como os parâmetros do Bradley:

R f = 1,21 . 10 6 . D u D C 2,63 E u - 1,12

Opa! E quanto vale Euler? Vamos ter que calcular!

Podemos ir pela definição mesmo porque já sabemos tudo dela:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = π 2 . 50 . 68948 . 6 4 8 . 1 . 768,9   2 = 9320

Voltando a R f :

R f = 1,21 . 10 6 . 0,8 6 2,63 9320 - 1,12 = 0,22

Voltando para correlação de S t k 50 E u e já substituindo os parâmetros e valores conhecidos:

S t k 50 E u = 0,0550 . ln ⁡ 1 0,22 0,66 exp ⁡ 12 . 0,01 = 0,0815

Relacionando com a definição:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = 0,0815

π 3 - 1 . 50 . 68948 . 6 . d 50 ' 36   .   1,002 . 10 - 2   .   1 . 768,9 = 0,0815

d 50 ' = 4,17 . 10 - 4 c m = 4,17   μ m

Passo 4

Já podemos escrever

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d 4,17 3

Mas para resolver E T ' = ∫ 0 1 G ' * d y , precisamos colocar d em função de y ; antes, precisamos da curva y . Como o enunciado não pediu um modelo específico, vou usar o GGS para ajustar os dados:

Lembrando, o modelo GGS tem a cara:

y = d k m

A forma linear fica:

ln ⁡ y = m . ln ⁡ d - m . ln ⁡ k

Fazendo regressão linear dos pares ln ⁡ y   v e r s u s ln ⁡ d , para achar os parâmetros m   e   k , obtive:

Y = 0,987 . X - 3,574       c o m   R 2 = 0,975

Daí:

m = 0,987

- m . ln ⁡ k = - 3,574

ln ⁡ k = 3,62

k = 37,34

Então:

y = d 37,34 0,987

Para isolar d , primeiro elevamos os dois lados a 1 0,987 , que dá no mesmo que 1,01 .

y 1,01 = d 37,34

d = 37,33 . y 1,01

Substituindo na expressão de G ' :

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 37,33 . y 1,01 4,17 3

Agora sim podemos integrar:

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y = ∫ 0 1 1 - exp ⁡ - 0,693 37,33 . y 1,01 4,17 3 . d y = 0,955

Como é pedida a eficiência total E T e não a eficiência total reduzida ( E T ' ) :

E T ' = E T - R f 1 - R f  

0,955 = E T - 0,22 1 - 0,22  

E T = 0,965   o u   96,5 %

Passo 5

c) A concentração volumétrica no underflow

Pensa comigo: concentração volumétrica é volume de partículas dividido por volume de suspensão, certo? Sendo que volume de suspensão é a soma do volume de partículas e volume de fluido.

C v = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s + v o l u m e   d e   f l u i d o

Vou adotar como base de cálculo 1   s e g u n d o . A gente calculou que a vazão em um hidrociclone é Q = 768,9   c m 3 / s então, em 1   s e g u n d o , estamos falando de um volume de suspensão 768,9   c m 3 . Na entrada, C v = 1 % , então 1 % desse volume são partículas e o resto é fluido.

V p a r t í c u l a s = 7,689   c m 3     e   V f l u i d o = 761,211   c m 3

Agora, vamos por partes:

Sabemos que E T =   96,5 % daí 96,5 %   desse volume de partículas foi recuperado, ou seja:

V p     r e c u p e r a d o = 0,965   .   7,689 = 7,41   c m 3

R f = 0,22 significa que 22 % do fluido alimentado sai no concentrado. Daí, junto com V p     r e c u p e r a d o = 7,41   c m 3 , sai:

V f     n o   c o n c e n t r a d o = 0,22   .   7 61,211 = 167,47   c m 3  

Calculando C v u :

C v u = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s + v o l u m e   d e   f l u i d o = 7,41 7,41 + 167,47   = 0,0424 = 4,24 %

Resposta

  1. N = 18
  2. E T = 0,965   o u   96,5 %
  3. C v u = 4,24 %