Velocidade Terminal

Resumo Completo

Uma vez uma professora estava contando sobre um artigo que leu: gatos que caem de andares mais altos de prédios sobrevivem mais do que os que caem de andares mais baixos. Isso tem a ver com velocidade terminal. Ao longo desse tópico, vou te explicar melhor isso. Mas, por enquanto, fica com uma foto dos meus gatíneos lindos e em segurança aí haha

Introdução à Dinâmica da Partícula

Antes de chegar em velocidade terminal, precisamos passar por alguns pontos, ok?

Estamos estudando sistemas particulados, então, vamos ter um sistema com partículas e fluido. Precisamos ver a interação entre eles. Para isso, vamos fazer um balanço de forças para partícula, mas, antes disso, qual a força F que atua numa partícula?

Existem dois tipos de forças importantes na nossa analise: forças de campo ( f C ) e forças de superfície ( f S ).

F = f C + f S

  • Forças de campo atuam independentemente de contato. Na nossa análise, as forças de campo que vamos ter de considerar são peso e empuxo. A força peso atua na direção e sentido da gravidade enquanto o empuxo atua em sentido oposto. Daí, para uma partícula sedimentando em um fluido:
  • Agora, usamos Física 1 pra escrever uma expressão para f C matematicamente:

    f C = P - E = m * g - V * ρ * g

    Lembrando que ρ é a massa específica do fluido e ρ S é a massa específica da partícula e escrevendo a massa m como m = V * ρ S :

    f C = V * ρ S * g - V * ρ * g = V * ρ S - ρ * g

    Mas escrevemos essa expressão supondo que a partícula está sob atuação do campo gravitacional, por isso consideramos a gravidade. Mas ela pode está imersa em um campo de força diferente, então, bora generalizar. Vamos usar a letra b para nos referirmos ao campo de força genérico:

    f C = V * ρ S - ρ * b

    Alguns exemplos do módulo de b , que é b   , são:

    b   = g   ,   p a r a   c a m p o   g r a v i t a c i o n a l   b   = Ω 2 * r   ,   p a r a   c a m p o   c e n t r í f u g o

    Em que:

    Ω   é   a   v e l o c i d a d e   a n g u l a r   d a   p a r t í c u l a Ω 2 * r   é   a   v e l o c i d a d e   t a n g e n c i a l   d a   p a r t í c u l a

  • Quanto a força de superfície, esta é dividida, ainda, em duas outras: força de arraste ( f D ) e força de sustentação ( f L ).
  • f S = f D + f L

    Acontece que, em sistemas particulados, a força de arraste é muito maior que a força de sustentação( f D f S ). Daí:

    f S f D

    Outra coisa importante de falar é que a força de arraste é resistiva ao movimento, ou seja, tem sentido oposto ao movimento.

    “Marceloooo, mas qual a expressão da força de arraste?” Calmaaa. É isso que vamos ver agora : )

    Coeficiente de arraste ( C D )

    Podemos fazer uma análise dimensional, usando o teorema π de Buckingham, para chegar na expressão de f D . Não acho que o passo a passo seja tão importante pra gente então vou pular, ok? Mas o que acho legal é saber quais variáveis importam para a força de arraste. São elas:

    d   : d i â m e t r o   d a   p a r t í c u l a u - v   : m ó d u l o   d a   v e l o c i d a d e   r e l a t i v a   e n t r e   f l u i d o   e   p a r t í c u l a ρ   : m a s s a   e s p e c í f i c a   d o   f l u i d o μ   : v i s c o s i d a d e   d o   f l u i d o Φ   : e s f e r i c i d a d e   d a   p a r t í c u l a  

    Em que vamos considerar que u é a velocidade do fluido e v é a velocidade da partícula.

    Fazendo a analise dimensional, chegamos aos seguintes resultados:

    C D = f D π * d 2 4 * ρ * u - v 2

    Em que π * d 2 4 é a área projetada da partícula e ρ * u - v 2 é energia cinética por unidade de volume associada à velocidade relativa. E C D , que é o coeficiente de arraste (também conhecido como coeficiente de arrasto e coeficiente de atrito), é um adimensional que aparece durante a análise.

    Vemos, dessa expressão de C D e a força de arraste ( f D ) são diretamente proporcionais, ou seja, quanto maior um, maior o outro.

    Outro resultado da análise dimensional é que C D é função do número de Reynolds da partícula e da esfericidade dela.

    C D = C D R e p , Φ  

    Em que o Reynolds da partícula é dado pela expressão:

    R e p = ρ * u - v * d μ

    Algo bem útil pra te falar sobre o R e p é que ele é definido dessa forma aí que eu acabei de te mostrar, é assim que você vai encontrar em formulários etc. E ter u - v faz sentido, já a partícula se move com a velocidade relativa mesmo... Mas quando formos usar o R e p para alguma análise da partícula, vamos usar só v porque vai nos dar uma ideia real da partícula.

    R e p = ρ * v * d μ

    Não se preocupa com isso por agora, depois vou explicar melhor isso; só estou avisando logo pra você não estranhar depois.

    A equação do movimento da partícula

    De novo, vamos usar Física 1. Bora relembrar a segunda lei de Newton: somatório de forças externas ( F ) é igual a massa vezes aceleração. Sendo que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo; como vamos aplicar a lei de Newton para a partícula, é a velocidade v que entra nessa derivada.

    F = m * a = m * d v d t

    E já vimos que F = f C + f S f C + f D . O que temos que fazer é substituir isso na expressão acima. Já vou jogar com f C e f D substituídos por suas fórmulas e colocando f D na forma de vetor, que vai ser multiplicar ele por ( u - v ) .

    m * d v d t = V * ρ S - ρ * b + A 2 * ρ * C D * u - v * ( u - v )

    A expressão de f D a gente acha isolando o f D da expressão de C D , e esse A é aquele termo que disse que era a área projetada.

    Velocidade Terminal

    E, finalmente, chegamos em velocidade terminal.

    Mas antes de qualquer coisa, o que é essa tal de velocidade terminal? Velocidade terminal é a máxima velocidade que a partícula pode realmente atingir na sua sedimentação; é uma velocidade constante e, portanto, associada a uma aceleração zero.

    “Mas porque isso ocorre? Por que a velocidade não aumenta infinitamente?” A resposta pra isso é força de arraste! Conforme a partícula ganha velocidade, a força de arraste aumenta; isso vai acontecendo até que o somatório das forças atuando sobre a partícula vai a zero e, como F = m * a , a aceleração também vai a zero e, a partir desse momento, a partícula se move com velocidade terminal.

    Bora analisar uma partícula sedimentando em um fluido parado pra você entender isso tudo melhor. Só dois detalhes antes:

  • Como o fluido está parado, u = z e r o
  • No instante em que se larga a partícula no fluido, a velocidade v dela é zero

Daí, no instante inicial:

Quando o tempo é maior que zero, a partícula já está em movimento e, por isso, surge a força de arraste. Entretanto, antes de atingida a velocidade terminal, ainda há aceleração uma vez que ainda há força resultante   P > E + f D   . Repara que essa força resultante aponta pra baixo já que a velocidade está aumentando pra baixo, ou seja, a aceleração aponta pra baixo.

Quando P = E + f D , a força resultante se anula e, como F = m * a , a aceleração também se anula. A partir desse instante a partícula se move com velocidade terminal, que vai ser constante. O instante de tempo em que isso ocorre vamos chamar de t t e r m i n a l .

Algo bem útil e importante é saber que os tempos para as partículas atingirem a velocidade terminal são, geralmente, bemmmmmm rápidos. Então, provavelmente sempre, vamos desprezar a fase acelerada do movimento e considerar que a partícula de move com velocidade terminal (a partir de agora, vamos chamar de v t ) desde o início, tempo zero.

Partícula sedimentando em fluido parado

Bora ver a equação de v t para o caso de uma partícula sedimentando em fluido parado. Vamos ter que partir da equação do movimento da partícula e vamos fazer a aplicar para o caso que queremos. Tipo, vamos ver o fluido parado, certo? Então u = z e r o . Além disso, já sabemos que a partícula rapidamente vai atingir a velocidade terminal, então vamos desprezar a fase acelerada e considerar aceleração zero desde o início.

0 = V * ρ S - ρ * b + A 2 * ρ * C D * - v t * ( - v t   )

Isolando o v t :

v t = 2 * V * ρ S - ρ * b A * ρ * C D

Se a partícula for uma esfera: V = π * d 3 6 e A = π * d 2 4

v t e s f e r a = 4 * ρ S - ρ * b * d 3 * ρ * C D

Qual diâmetro eu uso?

Falei várias vezes de diâmetro nesse tópico, mas se a partícula não for esférica, ela não vai ter um diâmetro e sim um diâmetro equivalente, né. Nesse caso, sempre usamos o d V porque o que importa, mesmo, pra velocidade terminal “não é o diâmetro” e sim a massa da partícula. O diâmetro é uma forma de relacionar tamanho e massa; tipo, lembra de densidade:

ρ S = m p V p

Se temos o volume e a densidade, descobrimos a massa. Então, vamos precisar saber o volume exato das partículas e o diâmetro equivalente que vai nos informar isso é o d V .

Se você reparar, tem diâmetro e densidade na fórmula de v t .

Artigo sobre queda de gatos

Prometi que ia te explicar! Podemos fazer uma analogia entre o que acontece com os gatinhos em queda e quando nós andamos de avião: a gente “sente o movimento” na hora da decolagem e da aterrisagem, mas não ao longo do voo. É porque nesses dois momentos é quando tem uma (grande) aceleração; no resto da viagem, é praticamente velocidade constante, com aceleração zero.

Quando os gatos caem de andares baixos, não dá tempo de eles chegarem na velocidade terminal de queda. “Ué, mas você não disse o tempo pra chegar em v t era muito curto?” Sim, eu disse isso, mas para partículas, que são pequenas né. Quanto maior a massa do que está caindo, mais demora pra chegar na velocidade terminal e a massa de um gato é muitoooo maior do que uma partícula de 450   μ m , por exemplo.

Já os gatos que caem de andares mais altos atingem a velocidade terminal antes de atingir o chão. Daí eles atingem o chão com aceleração zero. E aí entra a analogia com o avião. Como eles não “sentem” o movimento, eles se posicionam melhor na hora da queda, caem em uma posição melhor e é isso que faz diferença na hora da sobrevivência.

Mas se você tiver animais em casa, por favor não confie na física, coloque rede de proteção : )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Mostre as forças atuando sobre uma partícula sedimentando em cada um dos casos abaixo:

  1. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado
  2. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando no vácuo absoluto
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Antes de qualquer coisa, estou colocando essa questão aqui porque caiu uma igualzinha na minha prova quando fiz essa disciplina haha.

Esse exercício não quer nada muito complexo, é só fazer um desenho das forças atuando na partícula em cada um dos casos.

Para a partícula sedimentando num fluido parado, é igualzinho ao que vimos na teoria.

Já pra partícula no vácuo, temos que ter mais atenção! Como ela está em vácuo absoluto, NÃO vai ter nem empuxo e nem força de atrito, arraste! Isso porque o empuxo é uma força sim relacionada com o campo gravitacional, mas que só existe quando o corpo está imerso em um fluido. Já o atrito, surge do choque do corpo com partículas do meio em que ela está sedimentando, mas como está no vácuo, não tem essas partículas do meio então não há choques que gerem atrito.

Passo 2

  1. Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado
  2. Para uma partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando imersa em um fluido parado, temos o mesmo caso que vimos na teoria.

  • Por estar sob ação do campo gravitacional, vai aparecer a força peso.
  • Por estar imersa em um fluido e sob ação do campo gravitacional, aparece o empuxo.
  • Por estar com uma velocidade não nula em um meio contendo “algo” (repara que aqui eu estou me referindo às partículas do fluido, moléculas do fluido... e não às partículas que estão sedimentando) vai ter força de arraste
  • Temos que desenhar essas setinhas então elas têm que ter algum tamanho. Eu sei que lá da Física a gente aprende que tamanho está relacionado ao módulo, mas ignora isso nesse exercício, ok? Não temos nenhuma informação pra avaliar os módulos dessas forças nesse exercício então simplesmente desenhe e seja feliz haha.

    Passo 3

  • Partícula sob ação de campo gravitacional sedimentando no vácuo absoluto
  • Foi aquilo que discutimos lá no passo 1, se está em vácuo absoluto, não há empuxo e nem força de atrito. Vai ter apenas a força peso, devido ao campo gravitacional.

  • Por estar sob ação do campo gravitacional, vai aparecer a força peso.
  • Por NÃO estar imersa em um fluido, NÃO há empuxo.
  • Por NÃO haver choques com a partícula sedimentando uma vez que não há nada no caminho dela (está no vácuo, né?), NÃO haverá força de arraste.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração própria

Sobre a velocidade terminal de uma partícula sedimentando em um líquido parado, classifique as afirmativas em verdadeiras ou falsas. Justifique sempre.

  1. Mudar o material que compõe a partícula não alteraria sua velocidade terminal
  2. A aceleração é máxima quando v = v t
  3. Considerando densidade constante, quanto maior a partícula, maior será sua velocidade terminal
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O objetivo dessa questão é fixar bem os conceitos teóricos desse capítulo. Vamos precisar bastante deles daqui pra frente.

Bora lá, temos o caso de uma partícula sedimentando num fluido parado e três afirmativas sobre velocidade terminal pra analisar. Já que vamos falar de velocidade terminal, é bom ter a fórmula dela ao nosso lado. Pela equação do movimento, chegamos em:

v t = 2 * V * ρ S - ρ * b A * ρ * C D

Em que V é o volume da partícula e A é sua área projetada.

Passo 2

  1. Mudar o material que compõe a partícula não alteraria sua velocidade terminal
  2. Ao mudar o material, estaríamos alterando a densidade dele, ρ S . Vemos, pela fórmula, que a densidade do material está sim relacionada com a velocidade terminal e alterá-la afetaria sim a velocidade terminal.

    Como ρ s está no numerador, aumentar ρ S aumentaria v t e, da mesma forma, se diminuir ρ S diminui v t . Um exemplo pra isso são partículas de C a C O 3 e partículas de ouro, de mesmo tamanho e no mesmo fluido. Como a densidade do ouro é maior, v t do ouro é maior, para um mesmo diâmetro de partícula.

    Passo 3

  3. A aceleração é máxima quando v = v t
  4. Epa! Falsa! Quando v = v t o somatório de forças externas atuando na partícula é nulo e, pela segunda lei de Newton:

    F = m * a = m * d v d t

    Daí se F = 0 , a aceleração tem que ser nula a = 0 . O que é máximo quando v = v t   é o módulo da velocidade, que vai ser constante.

    Passo 4

  5. Considerando densidade constante, quanto maior a partícula, maior será sua velocidade terminal

Olha de novo pra fórmula da velocidade terminal:

v t = 2 * V * ρ S - ρ * b A * ρ * C D

Não tem nenhum diâmetro aparecendo ainda, mas bora lá: o volume a gente expressa em m 3 , c m 3 , a l g o 3 , , ou seja, unidade de comprimento ao cubo. Já a área, é em unidade de comprimento ao quadrado. A unidade de comprimento que usamos pra partículas é algum diâmetro equivalente, né. Vamos falar diâmetro d , agora. Daí, v t vai ser proporcional a:

v t   2 * d 3 * ρ S - ρ * b d 2 * ρ * C D

Repara que eu não usei “ = ” e sim o “proporcional” porque não sabemos qual a constante que acompanha essas potências de diâmetros já que nada foi nos dito sobre a morfologia. Simplificando os d :

v t   2 * d * ρ S - ρ * b ρ * C D

Daí, vemos que o diâmetro fica no numerador. A afirmativa é verdadeira porque quanto maior o tamanho da partícula, maior vai ser seu diâmetro e maior será v t .

Resposta

  1. Falsa
  2. Falsa
  3. Verdadeira

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração própria

Mostre matematicamente que é possível explorar a velocidade terminal para separar partículas de iguais tamanho e morfologia imersas em um mesmo fluido e que diferem apenas no material.

Suponha C D constante.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Basicamente, essa questão está perguntando se partículas de iguais tamanho e morfologia imersas em um mesmo fluido e que diferem apenas no material têm velocidades terminais diferentes.

O que vou fazer é chamar uma partícula de 1 e outra de 2 e escrever as velocidades terminais delas, de forma genérica:

v t 1 = 2 * V * ρ 1 - ρ * b A * ρ * C D

v t 2 = 2 * V * ρ 2 - ρ * b A * ρ * C D

Repara que eu chamei a densidade da 1 de ρ 1 e a da 2 de ρ 2 . Vou considerar que 1 é a mais densa, ou seja, ρ 1 > ρ 2 .

Agora, vamos comparar essas duas velocidades. Vou escrever uma do lado da outra e, como ainda não sei se essas velocidades são = , > o u < , vou colocar uma interrogação entre elas. O objetivo do problema vai ser determinar qual sinal matemático a interrogação é.

2 * V * ρ 1 - ρ * b A * ρ * C D       ?       2 * V * ρ 2 - ρ * b A * ρ * C D

Passo 2

Vamos buscar formas de simplificar o problema, ver o que é constante, jogar pra fora da raiz e sair cortando coisas dos dois lados.

Primeiro de tudo, tanto a área projetada A como o volume V podem ser escritos como uma constante (que depende da morfologia da partícula) vezes uma potência do diâmetro. Para o volume, essa constante é o fator de forma C ; para a área projetada, não tem nenhuma constante específica, então bora dizer que essa constante é K .

2 * ( C 1 * d 1 3 ) * ρ 1 - ρ * b ( K 1 * d 1 2 ) * ρ * C D 1       ?       2 * ( C 2 * d 2 3 ) * ρ 2 - ρ * b ( K 2 * d 2 2 ) * ρ * C D 2

Agora começamos a cortar as coisas haha:

  • Se as partículas têm a mesma morfologia: C 1 = C 2 = C e K 1 = K 2 = K  
  • Se as partículas têm o mesmo tamanho: d 1 = d 2
  • Estando as partículas no mesmo fluido, estamos com iguais ρ   e   μ
  • Nada foi falado sobre diferentes campos de força em cada caso, daí b é um só

ρ 1 - ρ C D 1       ?       ρ 2 - ρ C D 2

Cortei tudo que era igual, mas repara que não podia cortar esse ρ do numerador porque ele tá dentro de um parêntesis então não tenho como tirar ele da raiz pra cortar. O enunciado diz para assumir C D constante, daí:

ρ 1 - ρ       ?       ρ 2 - ρ

Como ρ 1 > ρ 2 e ρ é igual:

ρ 1 - ρ   >   ρ 2 - ρ

Daí:

v t 1 > v t 2

Ou seja, provamos que quanto mais densa (maior ρ S ) a partícula, maior a velocidade terminal dela.

Passo 3

“Mas, Marcelo, o enunciado diz que C D é pra ser assumido constante...por que você não cortou logo ele junto com os outros?” Só porque quero comentar um pouco mais sobre eles com você haha. O que a questão pediu já acabou lá no passo 2.

Vimos lá na teoria que C D depende de R e p e Φ , isto é, C D = C D R e p , Φ   . Como a morfologia é igual nos dois casos, sobra apenas R e p pra analisar. A fórmula do R e p é

R e p = ρ * v * d μ

Escrevendo pras duas partículas:

R e p 1 = ρ * v t 1 * d 1 μ   ?     ρ * v t 2 * d 2 μ = R e p 2

Já vimos que ρ ,   μ e os diâmetros são iguais:

R e p 1 v t 1   ?     v t 2 R e p 2 Assumindo C D constante, vimos que v t 1 >   v t 2 , daí:

R e p 1 > R e p 2

Um spoiler do próximo capítulo é que conforme R e p aumenta, C D ou diminui ou fica constante; nunca aumenta. Ou seja, quem tiver velocidade terminal maior teria menor C D , já que estamos avaliando todos outros termos do R e p iguais e Φ iguais. Daí, voltando pra:

ρ 1 - ρ C D 1       ?       ρ 2 - ρ C D 2

Como C D 1 C D 2 , e os C D estão no denominador, o lado esquerdo poderia ficar maior ainda.

E pra que eu falei isso tudo do C D ? Pra você NÃO pensar que ficaria tipo um cabo de guerra entre v t e C D . O que acontece, na verdade, é que eles vão por mesmo lado: se v t aumenta, C D diminuir, contribuindo pra v t aumentar.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Imagine duas partículas idênticas imersas em um mesmo fluido estagnado. Sem nada pra fazer, as duas partículas resolveram apostar corrida. Sabendo que as partículas estão expostas a campo de força centrífugo apenas e cada uma está exposta a um campo de mesma direção e sentido, mas intensidades diferentes, qual das duas partículas ganhará a corrida?

Despreze a fase acelerada do movimento e considere que o coeficiente de arrasto é igual para as duas partículas.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Que louco! Duas partículas disputando corrida haha Mas deixa elas lá né, fazer o que? Haha

Bora focar no que interessa: quem ganhará a corrida? O enunciado manda desprezar a fase acelerada do movimento, daí, consideramos que, desde o início, partículas caminham com velocidade terminal. Como vimos lá na teoria, a expressão pra velocidade terminal em fluido estagnado é:

v t = 2 * V * ρ S - ρ * b A * ρ * C D

Agora, temos duas partículas, então vamos ter que comparar as velocidades delas. A que tiver maior velocidade, ganhará a corrida.

Passo 2

Olhando, novamente, pra expressão da velocidade terminal:

v t = 2 * V * ρ S - ρ * b A * ρ * C D

Bora destacar, em vermelho, tudo que for igual nas duas partículas:

  • Partículas são idênticas, daí iguais V ,   A e ρ S
  • Enunciado fala pra considerar iguais coeficientes de arrasto, isto é, C D
  • Como o fluido é o mesmo, iguais ρ

Daí:

Ou seja, nessas condições, a diferença de velocidade depende apenas do campo. Quem tiver maior campo terá maior velocidade terminal e ganhará a corrida.

Resposta

Nessas condições, a diferença de velocidade depende apenas do campo. Quem tiver maior campo terá maior velocidade terminal e ganhará a corrida.

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Determine a razão entre os campos centrífugos 1 e 2 , isto é b 1 / b 2 , tal que as velocidades terminais das partículas 1 e 2 sejam as mesmas. Sabe-se que as partículas 1 e 2 são esféricas, de mesmo material e 2 possui o dobro do diâmetro de 1. Ambas estão imersas num mesmo fluido, estagnado, e cada uma está exposta, exclusivamente, aos campos centrífugos b 1 e b 2 , respectivamente. Considere o coeficiente de arraste, C D , igual para as duas partículas.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas partículas de mesmo material (daí igual ρ S ), mas de tamanhos diferentes; em termos de diâmetros, é dito que:

d 2 = 2 * d 1

As duas partículas estão imersas em um mesmo fluido (daí igual ρ ), mas expostas a campos centrífugos distintos, b 1 e b 2 .

O enunciado pede pra considerarmos igual C D para as duas partículas e, a partir disso, achar a razão b 1 / b 2 para que a velocidade terminal das duas partículas seja igual.

Sem dúvida, vamos ter que trabalhar com a expressão de v t para sedimentação em fluido estagnado, que vimos lá na teoria:

v t = 2 * V * ρ S - ρ * b A * ρ * C D

Como as partículas são esferas: V = π * d 3 6 e A = π * d 2 4 , lembrando que V é o volume e A é a área projetada. Daí, substituindo:

v t e s f e r a = 4 * ρ S - ρ * b * d 3 * ρ * C D

Passo 2

Agora que já sabemos com qual expressão vamos trabalhar, bora começar a escrever a expressão pra cada uma das esferas:

v t e s f e r a ,     1 = 4 * ρ S - ρ * b 1 * d 1 3 * ρ * C D

v t e s f e r a ,     2 = 4 * ρ S - ρ * b 2 * d 2 3 * ρ * C D

Usando d 2 = 2 * d 1 :

v t e s f e r a ,     1 = 4 * ρ S - ρ * b 1 * d 1 3 * ρ * C D

v t e s f e r a ,     2 = 4 * ρ S - ρ * b 2 * 2 * d 1 3 * ρ * C D

Passo 3

Temos que achar a razão b 1 / b 2 para que a velocidade terminal das duas partículas seja igual. Opa! Velocidades iguais... esse vai ser nosso ponto de partida, bora igualar essas duas velocidades.

v t e s f e r a ,     1 = v t e s f e r a ,     2

4 * ρ S - ρ * b 1 * d 1 3 * ρ * C D = 4 * ρ S - ρ * b 2 * 2 * d 1 3 * ρ * C D

Agora, vou colocar em evidência tudo que for igual para as duas:

4 * ρ S - ρ * d 1 3 * ρ * C D * b 1 = 4 * ρ S - ρ * d 1 3 * ρ * C D * 2 * b 2

E o que for igual podemos cortar dos dois lados, né? Daí:

b 1 = 2 * b 2

b 1 = 2 * b 2

Isolando os campos de um lado:

b 1 b 2 = 2

b 1 b 2 = 2

Como queremos b 1 / b 2 , basta elevar os dois lados ao quadrado:

b 1 b 2 = 2

Resposta

b 1 b 2 = 2

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