Eficiência de O’ Cornell e Murphree

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Teoria

Motivação

Nós vimos até agora como realizar o Método Mc-Cabe Thiele gráfico, isto é, traçando os estágios através da reta de operação de acordo com o equilíbrio líquido-vapor. Mas, agora, e quando o equilíbrio não for mais totalmente válido? Imagina que a gente tenha um desvio que faça a nossa eficiência ficar menor que 100%, o que fazemos?

Conceito de eficiência

Nem sempre o equilíbrio líquido-vapor segue o comportamento ideal. Esse desvio em relação ao estágio ideal é uma função complexa que depende de vários fatores. Os dois fatores principais são o tempo de contato entre as fases e a mistura deficiente.

A Eficiência pode ser calculada entre a razão do número de estágios teóricos necessários a separação e o número de estágios reais.

η = N T N R = N ú m e r o   d e   e s t á g i o s   t e ó r i c o s N ú m e r o   d e   e s t á g i o s   r e a i s

Esse número de estágios, geralmente, é o número de estágios da coluna sem contar com o refervedor parcial e o condensador parcial. A eficiência depende basicamente de três fatores:

Propriedades físico-químicas da mistura a ser separada, Variáveis geométricas, Variáveis de Operação.

As propriedades Físico-Químicas da mistura que podem afetar a eficiência são volatilidade relativa, Viscosidade da fase líquida e gasosa, densidade da fase líquida e gasosa, tensão superficial da fase líquida, coeficiente de difusividade dos componentes da mistura.

As variáveis geométricas que afetam são o tipo de dispositivo usado ( pratos borbulhadores, valvulados e perfurados) e parte lateral do prato por onde desce o líquido para pratos não perfurados.

Por fim, as variáveis de operação seriam aquelas que já estamos acostumados, como Temperatura, Pressão, vazão ( da fase líquida e vapor).

Existem dois principais modelos para calcular a eficiência de acordo com essas coisinhas que explicamos. Eles são modelo de Murphree e O’ Cornell. Vamos começar estudando o O’Cornell 😊

Modelo de O’ Cornell

Pelo Modelo de O’ Cornell, podemos calcular a eficiência global ( ε g ) através da seguinte fórmula:

l o g l o g   ε g = 1,67 + 0,3 l o g l o g     L V - 0,25 l o g l o g     μ α   + 0,092   h L    

Onde h L é a altura de líquido no prato, μ é a viscosidade, α é a volatilidade, L é a vazão da fase líquida, V é a vazão da fase vapor e h L é a altura de líquido no prato.

Esse modelo tem a vantagem de só precisarmos aplicar a fórmula, mas ele tem algumas desvantagens. As suas limitações são que ele só consegue medir a eficiência quando há semelhança entre a coluna existe na proposta da correlação e a atual. Ele possui maior validade quando o percurso líquido é maior que 5   f t . A outra limitação é trabalhar próximo a Razão de refluxo mínima.

Para quase todos os casos, podemos dizer que o erro dessa correlação fica em torno de 10%.

Modelo de Murphree

Por outro lado, o modelo de Murphree é um modelo que pode ser aplicado diretamente na hora de traçar os estágios do Método Mc-Cabe Thiele gráfico e também pode ser usado nas contas que veremos para o método analítico.

A eficiência de Murphree pode ser calculada tanto para a fase líquida quanto para a fase vapor e vai ser calculada pela seguinte fórmula:

ε M V = E n r i q u e c i m e n t o   r e a l E n r i q u e c i m e n t o   i d e a l = y n - y n + 1 y n * - y n + 1

ε M V = E m p o b r e c i m e n t o   r e a l E m p o b r e c i m e n t o   i d e a l = x n - 1 - x n x n - 1 - x n *

Onde x n e y n são as composições das fases líquida e vapor das correntes que deixam o estágio n (real). x n * e y n * são as composições das fases líquidas e vapor das correntes que deixam o estágio n em equilíbrio. Já x n - 1   e y n + 1 são as composições das correntes que chegam no estágio n .

Exemplo de Aplicação do Modelo de Murphree

Bora ver como vamos aplicar isso no método Mc-Cabe Thiele gráfico?

Vamos supor que temos esse gráfico de destilação para uma eficiência de 100 % ok?

Caso essa coluna tenha uma eficiência de 90 % para a fase vapor, a forma como estamos traçando o estágio vai ficar diferente. Pois, o estágio vai sofrer um encurtamento na sua altura ( já que estamos falando de fase vapor) e então podemos recalcular aonde ele vai passar:

ε M V = 0,90 = y n - y n + 1 y n * - y n + 1 = y 1 - y 2 y 1 * - y 2 = y 1 - 0,82 0,90 - 0,82

y 1 * = 0.892

Esse y 1 * será utilizado também no próximo estágio, pois ele é o valor real 😊

Então, se formos retraçar o nosso primeiro estágio, considerando essa eficiência, ele fica igual a linha em azul do gráfico abaixo. Então, o estágio fica menorzinho indicando que precisaremos de mais estágios por estarmos numa eficiência menor!

Caso a eficiência fosse em termos de líquido, o que vai mudar será o comprimento no eixo horizontal, beleza?

Corre lá para os exercícios para vermos aplicações de eficiência!

Modelo de O’ Cornell

Modelo de Murphree

Exemplo de Aplicação do Modelo de Murphree

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Indique os principais fatores que podem influenciar a eficiência de uma coluna de destilação.

Passo 1

A eficiência depende basicamente de três fatores:

Propriedades físico-químicas da mistura a ser separada, Variáveis geométricas, Variáveis de Operação.

As propriedades Físico-Químicas da mistura que podem afetar a eficiência são volatilidade relativa, Viscosidade da fase líquida e gasosa, densidade da fase líquida e gasosa, tensão superficial da fase líquida, coeficiente de difusividade dos componentes da mistura.

As variáveis geométricas que afetam são o tipo de dispositivo usado ( pratos borbulhadores, valvulados e perfurados) e parte lateral do prato por onde desce o líquido para pratos não perfurados.

Por fim, as variáveis de operação seriam aquelas que já estamos acostumados, como Temperatura, Pressão, vazão ( da fase líquida e vapor).

Resposta

Propriedades físico-químicas da mistura a ser separada, Variáveis geométricas, Variáveis de Operação.

Exercício Resolvido #2

Quais são as limitações encontradas no cálculo da eficiência pelo Modelo de O’ Cornell?

Passo 1

Na teoria nós vimos que apesar de termos a praticidade de aplicarmos uma fórmula para o cálculo da eficiência, temos algumas desvantagens.

O modelo se limita a só conseguir medir a eficiência quando há semelhança entre a coluna existe na proposta da correlação e a atual. Além disso, possui maior validade quando o percurso líquido é maior que 5 ft e trabalha próximo a Razão de refluxo mínima.

Resposta

- Só conseguir medir a eficiência quando há semelhança entre a coluna existe na proposta da correlação e a atual;

- Possui maior validade quando o percurso líquido é maior que 5 ft;

- Trabalha próximo a Razão de refluxo mínima.

Exercício Resolvido #3

A separação de água e ácido acético utilizando uma coluna de destilação, em determinadas condições, é especificada pela imagem a seguir:

Essa coluna de destilação considera uma eficiência de 100 % . Indique o número de estágios teóricos e reais, considerando que a coluna opera com uma eficiência de 75 % .

Passo 1

O número total de estágios teóricos da coluna pode ser obtido contando as vezes que os estágios do gráfico tocam a curva de equilíbrio.

Nesse caso, temos 12 estágios teóricos (contando as vezes que a “escadinha” toca a curva de equilíbrio).

Passo 2

Para o cálculo do número de estágios reais, precisamos usar a informação de eficiência dada. Vimos que temos 12 estágios téoricos. No entanto, considerando uma eficiência de apenas 75 % , o número de estágios reais precisa ser maior. Logo, podemos calcular esse número a partir da seguinte fórmula:

η = N T N R = N ú m e r o   d e   e s t á g i o s   t e ó r i c o s N ú m e r o   d e   e s t á g i o s   r e a i s

Substituindo os números na fórmula:

η = 0,75 = N T N R = 12 N R

N R = 12 0,75 = 16

Portanto, o número de estágios reais é 16.

Resposta

16 estágios reais.

12 estágios teóricos.

Exercício Resolvido #4

Considere o diagrama abaixo. Indique qual tipo de eficiência é esta, considerando o modelo de Murphree.

Passo 1

Para o modelo de Murphree vimos que podemos ter tanto a eficiência para fase líquida quanto para fase vapor. Além disso, também já vimos na teoria que o eixo vertical do gráfico representa a fase vapor e o eixo horizontal, a fase líquida.

Passo 2

Assim, vemos que a coluna tem uma menor eficiência em relação a sua fase vapor, pois está deslocado no sentido vertical.

Resposta

Eficiência de Murphree para a fase vapor ( ε M V )

Exercício Resolvido #5

A unidade de separação foi projetada para separar, a 1 atm, uma solução aquosa de etanol com 32 %   m o l a r de etanol. A vazão de carga é de 1000   k g m o l e s / h , líquida subresfriada condensando um mol de vapor para cada quatro moles no prato de alimentação. Esta coluna está equipada com condensador parcial e usa vapor de arraste. O produto de topo deve ter 75   %   m o l a r de etanol e o produto de fundo 10 %   m o l a r . Deve-se assumir vazões molares constantes e considerar a Razão de Refluxo Operacional igual a 3. O vapor é vapor d’água puro saturado.

Nessas condições e considerando 100 %   de eficiência, o diagrama de equilíbrio com os estágios operacionais possui o seguinte formato:

Considerando que a eficiência de Murphree na fase vapor é de apenas 60 % , determine o número de estágios necessários.

Passo 1

A questão pede para calcularmos o número de estágios necessários quando a eficiência de Murphree na fase vapor for 60 % .

Para isso, precisamos traçar novamente a nossa curva de equilíbrio, mas considerando que a altura da fase vapor é 60 % da altura original.

Como a fase vapor está representada pelo eixo y , vertical, então marcamos na figura a seguir 60 %   da altura original e vamos retraçar a curva com a linha pontilhada preta.

A linha pontilhada preta é, portanto, a nossa curva de equilíbrio considerando nossa nova eficiência.

Passo 2

Agora que temos uma nova curva de equilíbrio, precisaremos retraçar os estágios, seguindo as mesmas regrinhas de antes. Começaremos de x D , quando passar da reta de carga, trocaremos de curva de operação e seguiremos traçando estágios até chegar a x B .

Na figura acima, os novos estágios estão representados em rosa. Contando os estágios, vemos que são 10 estágios, o que é bem maior que o número de estágios considerando a eficiência de 100 % .

Resposta

10 estágios.

Exercício Resolvido #6

Considerando o diagrama abaixo. Calcule a diferença percentual entre o número de estágios teóricos e o número de estágios reais.

Passo 1

A questão já nos forneceu as duas curvas de equilíbrio e os estágios reais. Então primeiro nós vamos identificar quantos estágios reais temos no total para depois traçar os estágios teóricos.

Passo 2

Contando o número de estágios reais, que é o que nos foi fornecido. Temos um total de 7 estágios.

Passo 3

Para o cálculo dos estágios teóricos, nós precisamos traçar as retas até a curva de equilíbrio considerando uma eficiência de 100 % .

Fazendo isso, encontramos um valor de aproximadamente 3,5 estágios.

Passo 4

Assim, a diferença percentual dos estágios vai ser:

d i f e r e n ç a   % = n ú m e r o   e s t á g i o s   r e a i s - n ú m e r o   e s t á g i o s   t e ó r i c o s n ú m e r o   e s t á g i o s   r e a i s   × 100

d i f e r e n ç a   % = 7 - 3,5 7 × 100

d i f e r e n ç a   % = 50 %

Resposta

50 %

Exercício Resolvido #7

O gráfico abaixo representa uma simplificação da equação de O’connell, em que a eficiência global, E 0 , é dada por E o = 49,2 ∙ μ α - 0,245 . Isso é válido de 0,1 < μ < 10   c P , onde , μ é a viscosidade e α é a volatilidade.

Considerando o gráfico acima e a equação fornecida, explique como a viscosidade pode influenciar a eficiência global.

Passo 1

Pela equação, nós vemos que a viscosidade e a eficiência global são inversamente proporcionais:

E o = 49,2 ∙ μ α - 0,245 = 49,2 μ α 0,245

E isso também dá para vermos pelo próprio gráfico.

Dessa forma, quanto maior for a viscosidade, menor será a eficiência global. Isso já é esperado, pois maior densidade dificulta a transferência de massa.

Resposta

Quanto maior for a viscosidade, menor será a eficiência global.

Exercício Resolvido #8

O gráfico abaixo representa uma simplificação da equação de O’connell, em que a eficiência global, E 0 , é dada por E o = 49,2 ∙ μ α - 0,245 . Isso é válido de 0,1 < μ < 10   c P , onde , μ é a viscosidade e α é a volatilidade.

Sabendo que a eficiência global é de 40 % e a viscosidade é 5 c P . Calcule o valor de α .

Passo 1

A questão nos fornece o valor da eficiência global e da viscosidade e nos pede para calcular α . Para isso nós temos dois caminhos: analisar o gráfico e encontrar α a partir da relação μ α ou jogar na fórmula e encontrar diretamente o valor de α . Vamos ver aqui dos dois métodos, beleza?

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o valor de α   pelo gráfico. Para isso, precisamos marcar a eficiência global no gráfico traçando uma reta horizontal até a curva e rebater para o eixo vertical da seguinte maneira:

Assim, vemos que a relação μ α é igual a 2   c P . Repara que a unidade de μ α é a mesma da viscosidade, isso se dá pois α é um número adimensional 😉

Passo 3

Como a questão já nos disse que μ = 5 c P , podemos substituir na relação e encontrar o valor de α , uhuuuul!

μ α = 2 c P

5 c P × α = 2 c P    

α = 0,4

Passo 4

Outra forma de resolver essa questão seria substituindo na fórmula os valores fornecidos. Temos que a fórmula é:

E o = 49,2 ∙ μ α - 0,245

E os valores dados são:

E o = 0,4

μ = 5 c P

Substituindo,

0,4 = 49,2 ∙ 5 α - 0,245

α = 0,4

Resposta

α = 0,4