Método Mc-Cabe Thiele Analítico

Teoria Completa

Método Mc-Cabe Thiele Analítico

O Método Mc-Cabe Thiele Analítico, ao invés de utilizar o gráfico para traçar os estágios, utiliza equações para determinar as composições de equilíbrio dos estágios.

Equação do Método Mc-Cabe Thiele Analítico

A Equação do Método Mc-Cabe Thiele Analítico que resume todos os tipos de seções que podem aparecer na coluna é essa aqui:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Onde j são as seções da coluna e j = 0 é a seção de absorção. Já o termo - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j resume as variações que podem ocorrer em cada seção, tipo entradas e saídas. Então, para a gente poder calcular as composições de equilíbrio, vazões e todas as seções, podemos montar uma tabelinha para facilitar nossa vida:

E como calculamos as duas últimas colunas dessa tabela? Vamos utilizar as fórmulas abaixo que vieram das deduções de balanço de Massa.

y j - 1 , j = L j - 1 ∑ j = 0 j F l z l - L j ∑ j = 0 j - 1 F l z l   L j V j - 1 - V j L j - 1

x   j - 1 , j = V j - 1 ∑ j = 0 j F l z l - V j ∑ j = 0 j - 1 F l z l   L j V j - 1 - V j L j - 1

Sendo que assim se a carga/retirada daquela seção for líquido saturado, por exemplo, você só precisa calcular x   j - 1 , j . Por outro lado, para cargas/ retiradas vapor saturado, só precisamos calcular o y j - 1 , j .

Lembrando também que as relações que vimos entre x e y que deixam um mesmo estágio, ou seja, estão em equilíbrio continuam válidas.

∝ 12 = k 1 k 2 = y 1 x 1 y 2 x 2

Obs: Alguns professores deixam utilizar excel na prova, então levar a tabela com as equações já preenchidas ajuda muito a ganhar tempo 😊

Razão de Refluxo Mínima

No método Mc-Cabe Thiele analítico, a Razão de Refluxo Mínima vai ser dada por:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Análise do Sistema de Topo e de Fundo

No método Mc-Cabe Thiele analítico, quando informarem que o condensador é total, você já pode escrever de cara que x d = y 1 = x o . Aí, é só seguir aplicando as fórmulas da tabelinha que mostramos a partir desse y 1 que obtivemos. No entanto, se o condensador for parcial, a relação entre y o e x o dependerá do equilíbrio.

Já o sistema de fundo sempre vai ser o produto saindo como líquido saturado, ou seja, sempre teremos um x b saindo. No entanto, mesmo assim, ainda podemos ter um refervedor total ou parcial. No caso de um refervedor total, x b = y n + 1 = x n . Já para o refervedor parcial, precisaremos calcular o equilíbrio assim como comentamos para o condensador parcial, ok?

Eu super sei que isso tudo parece muito confuso. Então vamos para os exercícios que vamos ver como resolver isso tudo com exemplos, ok?

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere a seção de enriquecimento de uma coluna de destilação com condensador total. Sabendo que y 1 é 0,7, qual é a composição do produto de topo?

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Passo 1

No método Mc-Cabe Thiele analítico, quando é dito que o condensador é total, já podemos escrever de cara que x d = y 1 = x o . No entanto, se o condensador for parcial, a relação entre y o e x o dependerá do equilíbrio. 

Passo 2

Como na questão estamos trabalhando com um condensador total, então:

x d = y 1 = 0,7

Resposta

0,7

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Considere um problema de coluna de destilação com duas cargas em que foi resolvido através do Método Mc-Cabe Thiele Analítico. Através dele, encontrou-se uma Razão de Refluxo Mínima de 1,2 . Qual é a Razão de Refluxo Operacional adotada pela coluna?

  1. 1,2
  2. 3
  3. 2,5
  4. 2,4
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Passo 1

A questão nos pede para calcular a Razão de Refluxo Operacional adotada e nos fornece a Razão de Refluxo Mínima. Então, conseguimos calcular R R O p e r a c i o n a l sabendo que a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima.

Passo 2

 Como a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima e nos foi fornecido que: R R m í n i m a = 1,2

Temos,

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1,2 = 2,4

Repara que temos agora duas Razões de Refluxo. Mas afinal, qual vai ser a Razão de Refluxo Operacional adotada?

Passo 3

Quando temos uma coluna com duas cargas, a Razão de Refluxo que irá valer será a maior Razão de Refluxo encontrada entre as duas. Portanto, nesse caso, a nossa R R O p e r a c i o n a l será 2,4 .

Resposta

d. 2,4

Exercício Resolvido #3

Adaptado do Concurso da Petrobras Cesgranrio (2010)- Engenheiro de Processamento Júnior

Determine apenas através de fórmulas, ou seja, utilizando o método Mc-Cabe Thiele Analítico, a razão de refluxo mínima de uma coluna de destilação com as seguintes condições:

Destilar 200 mol/h de uma mistura binária, líquida saturada, formada por 60% de benzeno e 40% de tolueno em base molar. Deve-se produzir um destilado com 95% molar de benzeno e um produto de fundo com 5% molar de benzeno. A alimentação é líquido saturado. A volatilidade relativa é constante e igual a 5.

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Passo 1

Nós precisamos calcular a Razão de Refluxo Mínima. De acordo com as fórmulas que vimos para o método analítico, podemos utilizar as seguintes equações para fazer essas contas:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Passo 2

Portanto, a primeira coisa que vamos fazer é avaliar a nossa carga. Sabemos que ela é líquida saturada, então a composição de 60 % de benzeno ( que é o componente mais leve) se refere ao z f , mas também ao nosso x f .

Então, x f = z f = 0,60 . Já o y f , por sua vez, pode ser calculado pela seguinte fórmula:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Então, substituindo a volatilidade relativa dada no enunciado, temos que:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 5   ∙ 0,60 1 + 5 - 1   ∙ 0,60 = 0.88

Passo 3

O próximo passo será calcular a razão de refluxo mínima, utilizando também a composição do produto de topo x d = 0,95 . Então, bora substituir na nossa fórmula!

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,88 0,88 - 0,60 = 0,25

Portanto, achamos nossa razão de refluxoooooooo mínima!

Resposta

R R m í n i m a = 0,25

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcule o valor da volatilidade sabendo que uma coluna de destilação possui uma Razão de Refluxo Mínima de 1,5 , a composição de produto de topo de 0,8 e a fração líquida da alimentação é 0,2 .

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Passo 1

Na teoria do método de Mc-Cabe Thiele analítico vimos a seguinte equação para a Razão de Refluxo Mínima:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f (1)

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. E para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f (2)

Como nos foi fornecido os valores de R R m í n i m a , x d e x f , ficamos com apenas duas incógnitas e duas equações. E podemos resolver o problema.

Passo 2

Substituindo os valores fornecidos na equação (1), ficamos com:

      R R m í n i m a = 0,8 - y f y f - 0,2 = 1,5

Assim, podemos isolando o y f e encontrar seu valor da seguinte forma,

0,8 - y f = 1,5   y f - 0,3

2,5 y f = 1,1

y f = 0,44

Passo 3

Encontramos o valor de y f mas o que a questão nos pede é o valor da volatilidade, α . Então, vamos substituir os valores agora na equação (2):

y f = α   0,2 1 + α - 1   0,2 = 0,44

Então, ficamos com:

α   0,2 1 + α - 1   0,2 = 0,44

α   0,2 = 0,44 + α - 1 0,088

α   0,2 = 0,44 + 0,088   α - 0,088

0,112   α = 0,352

α = 3,14

Resposta

α = 3,14

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Considere a seguinte reta de operação da seção de enriquecimento de uma coluna de destilação com alimentação de 5 00 k m o l / h   e produto de fundo de   4 00 k m o l / h :

y = a   x + 0,5   x d

Sabendo que x d é a fração molar de destilado, calcule o coeficiente angular da reta através do Método Mc-Cabe Thiele Analítico dado V j = 200   k m o l / h .

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Passo 1

A questão nos pede para calcular o coeficiente angular da reta de operação da seção de esgotamento e nos fornece os valores da vazão de alimentação e do produto de fundo. Vimos na teoria que o formato geral da reta de operação é:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Então, precisamos calcular L j V j , que é o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Repara que o enunciado já nos forneceu a vazão de vapor, V j = 200   k m o l / h . Então, para encontramos o coeficiente angular da reta só precisamos encontrar L j .

Podemos achar vazão de líquido nessa seção, pois sabemos que todo o vapor V j virará líquido no condensador. Parte irá para fora da coluna, por ser o produto de topo e o restante é o líquido que irá descer na seção de absorção. Portanto:

V j = L j + D

Mas ainda não temos a vazão de destilado!

Passo 3

Assim, antes de encontra L j precisamos realizar o balanço molar global do sistema, sabendo que:

F = B + D

A questão nos forneceu F = 5 00 k m o l / h e B = 4 00 k m o l / h , então:

5 00 = 400 + D

D = 1 00 k m o l / h

Passo 4

Agora que já temos a vazão de vapor e vazão do destilado, podemos voltar para o cálculo da vazão de líquido na seção.

V j = L j + D

200 = L j + 100

L j = 100 k m o l / h

E por fim, calcular o coeficiente angular da reta.

a = L j V j ,   = 100 200 = 0,5

Então nossa reta vai ficar com o seguinte formato,

y = 0,5   x + 0,5   x d

Resposta

a = 0,5

Exercício Resolvido #6

Adaptado de Caderno Operações Unitárias II – UFRJ

Uma coluna de destilação alimentada com duas correntes de benzeno e tolueno nas seguintes condições:

A composição do produto de topo é 0,95 para benzeno e do produto de fundo é de 0,10 , a volatilidade relativa é de 2,5 . É utilizado um condensador parcial. A Razão de refluxo operacional é duas vezes a Razão de Refluxo Mínima. A pressão de operação é de 10   a t m . Calcule a Razão de Refluxo Mínima e Razão de Refluxo Operacional para as duas cargas e determine qual seria a Razão de Refluxo Operacional realmente adotada pela coluna em questão.

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Passo 1

Para fazer essa questão, precisamos relembrar a definição de Razão de Refluxo mínima.

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Passo 2

Vamos começar avaliando a carga 1. A carga 1 é bifásica β = 0,7   , ou seja, 70 % da carga é vaporizada. E a composição que foi dada dessa carga equivale ao z f e não ao x f e y f , que precisam ser aplicados na fórmula de Razão de Refluxo Mínima.

Se pensarmos no balanço de massa, podemos escrever essas duas equações que relacionam essas variáveis.

F   ∙ z f = L ∙   x f + V   ∙ y f

z f = 1 - β ∙ x f + β ∙ y f

Além disso, vamos precisar também dessa equação de relação entre y f e x f , que estamos usando desde o princípio das operações unitárias!!

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 2,5 ∙   x f 1 + 2,5 - 1   x f

Podemos combinar essas equações, fazendo a substituição do y f , pois aí conseguiremos uma única equação com apenas uma variável.

z f = 1 - β ∙ x f + β ∙   α   x f 1 + α - 1   x f

0,6 = 0,3 ∙ x f + 0,7 ∙ 2,5   ∙ x f 1 + 2,5 - 1 ∙ x f

Resolvendo essa equação de segundo grau, vamos achar duas raízes para x f . No entanto, vamos descartar a raiz negativa e considerar que x f = 0,44 . Com esse novo valor de x f , podemos calcular o y f .

y f = 2,5 ∙   0,44 1 + 2,5 - 1   0,44 = 0,66

Agora, que já conhecemos todos os valores, conseguimos calcular a Razão de Refluxo Mínima e operacional para a carga 1. Lembrando que a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima!

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,66 0,66 - 0,44 = 1,32

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1,32 = 2,64

Passo 3

Agora vamos avaliar a carga 2. A carga 2 possui β = 0   , ou seja, 0 % da carga é vaporizada, indicando que ela é líquida saturada. Então, nesse caso, x f = z f = 0,3 . Portanto, podemos partir direto para o cálculo do   y f em equilíbrio com o x f .

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 2,5 ∙ 0 , 3 1 + 2,5 - 1   ∙ 0,3 = 0,517

Assim, aplicando o mesmo procedimento do Passo 2, conseguimos realizar os cálculos da Razão de Refluxo mínima e operacional.

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,517 0,517 - 0,3 = 1,995

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1 , 995 = 4

Passo 4

Da mesma forma como vimos no método Mc-Cabe Thiele gráfico, quando temos uma coluna com duas cargas, a Razão de Refluxo irá valer será a maior Razão de Refluxo encontrada entre as duas. Portanto, nesse caso, a nossa R R O p e r a c i o n a l será 4.

Resposta

R R O p e r a c i o n a l = 4

Exercício Resolvido #7

Petrobras – Cesgranrio (2014)- Engenheiro de Processamento Júnior

Deseja-se separar 200 k m o l h de uma mistura que contém 40 % de benzeno e 60 %   de tolueno, produzindo um produto de topo contendo 95 %   de benzeno, e um produto de fundo contendo 90 %   de tolueno. A mistura está   25 % vaporizada, e o método Mc-Cabe Thiele foi usado para o projeto da coluna de destilação, apresentando a seguinte reta de operação da seção de enriquecimento:

y = 0,73   x + 0,27   x d

Sendo x d   a fração molar de destilado. A vazão de líquido na seção de esgotamento, em kmol/h, é aproximadamente igual a :

  1. 70
  2. 130
  3. 213
  4. 284
  5. 340
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Passo 1

Essa questão está falando para a gente sobre o Método Mc-Cabe Thiele e fornece também uma equação, logo precisamos utilizar o método Analítico para tentar encontrar a vazão de líquido na seção de esgotamento.

A equação fornecida por essa questão é para a seção de enriquecimento, que é está aqui:

y = 0,73   x + 0,27   x d

E lá na teoria vimos que o formato geral dessa equação é dado por:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Logo, considerando j a nossa seção de enriquecimento ( ou absorção), temos que:

L j V j = 0,73

- 1 V j ∑ j = 0 j F j z j = 0,27   x d

Substituindo e calculando tudo que temos, conseguiremos achar as vazões para a seção de absorção. Depois vamos usar essas equações para fazer o balanço de massa e achar a vazão na outra seção, beleza?

Passo 2

Nosso Passo 2 será então substituir e calcular tudo que conseguirmos em relação a seção de absorção, ok?

Pelo enunciado, o produto de topo possui 0,95 de benzeno, portanto esse é o valor de x d . Além disso, para a seção de absorção, a variação, em termos de massa, que ocorre nela é a saída (sinal negativo) do produto de topo, portanto podemos dizer que ∑ j = 0 j F j z j = - D ∙ x d = - D ∙ 0,95

- 1 V j ∑ j = 0 j F j z j = - 0,27   ∙ 0,95

- D V j ∙ 0,95 = - 0,27   ∙ 0,95

D V j = 0,27

No entanto, a vazão de D pode ser calculada por balanço de massa, pois sabemos que:

F = B + D

F   z f = B   x b + D   x d

Então, substituindo em função da composição de benzeno obtemos que:

200 k m o l h = B + D

200   ∙ 0,40 = B   ∙ 0,10 + D   ∙ 0,95

Portanto:

B = 129,41   k m o l / h

D = 70,59   k m o l / h

Logo, V j , vazão na seção de absorção, pode ser calculado:

D V j = 70,59 V j = 0,27

V j = 261,44 k m o l h

Para fechar, podemos achar vazão de líquido nessa seção, pois sabemos que todo o vapor V j virará líquido no condensador. E parte irá para fora da coluna, por ser o produto de topo D = 70,59   k m o l / h e o restante é o líquido que irá descer na seção de absorção. Portanto:

V j = L j + D

261,44 = 70,59 + L j

Logo, L j = 190,85   k m o l / h .

Passo 3

Agora precisamos achar a vazão de líquido na seção de esgotamento ( L i ). A vazão de líquido na seção de esgotamento será todo o líquido que desceu da seção de absorção ( L j ) mais o líquido que foi adicionado na carga, que corresponde a parte não vaporizada da carga ( 1 - β ) .

L i = L j + ( 1 - β ) ∙ F

Logo, substituindo os valor que temos:

L i = 190,85 + 0,75 ∙ 200 = 340,85   k m o l / h

Resposta

340,85   k m o l / h , portanto letra e).

Exercício Resolvido #8

Adaptado – Prova 1, Operações Unitárias 2017/1 - Professor J. Luiz, UFRJ

Na figura abaixo, temos uma coluna de pratos perfeitos, sem condensador ou refervedor, para separar carga F 1 Líquido Saturado com vazão F   m o l / s e composição 50 %   m o l   1"+50% mol  " 2 "   ( z 1 = 0,5 ) . A carga F o tem vazão W   m o l / s , líquida com 100 %   m o l   "1"  +0% mol "2"  ( z o = 1 ) . A carga F 2 tem vazão G   m o l / s , vapor com 0 %   m o l   " 1 "   + 10 0 %   m o l   " 2 "   ( z 2 = 0 ) .   O topo é D com fração molar x d = 0,99 em " 1 " . O fundo é B com fração molar x B = 0,01 em " 1 " .

Com balanços materiais e relações Mc-CabeThiele, escreva B F , D F , G F   e as vazões de líquido e vapor das seções (divididas por F ) em termos de W / F .

Dados: β o = - 0,1   e   β 2 = 1,1

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Passo 1

Essa questão vai exigir da gente muita manipulação algébrica, e para relacionar as várias relações que ela nos pede vamos precisar começar fazendo um balanço molar.

Como nossa coluna tem três diferentes cargas entrando, vamos adotar a nomenclatura que o enunciado nos forneceu, em que:

F o = W

F 1 = F

F 2 = G

Passo 2

O primeiro balanço que vamos fazer vai ser o balanço mássico global. Então, para essa coluna temos:

F + G + W = B + D

Dividindo tudo por F ,

B F + D F - G F = 1 + W F (1)

0,5 F + W = 0,01 B + 0,99 D

0,01 B F + 0,099   D F = 0,5 + W F

Multiplicando por 100 ficamos com:

B F + 99   D F = 50 + 100 W F