Método Mc-Cabe Thiele Analítico

Teoria Completa

Método Mc-Cabe Thiele Analítico

O Método Mc-Cabe Thiele Analítico, ao invés de utilizar o gráfico para traçar os estágios, utiliza equações para determinar as composições de equilíbrio dos estágios.

Equação do Método Mc-Cabe Thiele Analítico

A Equação do Método Mc-Cabe Thiele Analítico que resume todos os tipos de seções que podem aparecer na coluna é essa aqui:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Onde j são as seções da coluna e j = 0 é a seção de absorção. Já o termo - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j resume as variações que podem ocorrer em cada seção, tipo entradas e saídas. Então, para a gente poder calcular as composições de equilíbrio, vazões e todas as seções, podemos montar uma tabelinha para facilitar nossa vida:

E como calculamos as duas últimas colunas dessa tabela? Vamos utilizar as fórmulas abaixo que vieram das deduções de balanço de Massa.

y j - 1 , j = L j - 1 ∑ j = 0 j F l z l - L j ∑ j = 0 j - 1 F l z l   L j V j - 1 - V j L j - 1

x   j - 1 , j = V j - 1 ∑ j = 0 j F l z l - V j ∑ j = 0 j - 1 F l z l   L j V j - 1 - V j L j - 1

Sendo que assim se a carga/retirada daquela seção for líquido saturado, por exemplo, você só precisa calcular x   j - 1 , j . Por outro lado, para cargas/ retiradas vapor saturado, só precisamos calcular o y j - 1 , j .

Lembrando também que as relações que vimos entre x e y que deixam um mesmo estágio, ou seja, estão em equilíbrio continuam válidas.

∝ 12 = k 1 k 2 = y 1 x 1 y 2 x 2

Obs: Alguns professores deixam utilizar excel na prova, então levar a tabela com as equações já preenchidas ajuda muito a ganhar tempo 😊

Razão de Refluxo Mínima

No método Mc-Cabe Thiele analítico, a Razão de Refluxo Mínima vai ser dada por:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Análise do Sistema de Topo e de Fundo

No método Mc-Cabe Thiele analítico, quando informarem que o condensador é total, você já pode escrever de cara que x d = y 1 = x o . Aí, é só seguir aplicando as fórmulas da tabelinha que mostramos a partir desse y 1 que obtivemos. No entanto, se o condensador for parcial, a relação entre y o e x o dependerá do equilíbrio.

Já o sistema de fundo sempre vai ser o produto saindo como líquido saturado, ou seja, sempre teremos um x b saindo. No entanto, mesmo assim, ainda podemos ter um refervedor total ou parcial. No caso de um refervedor total, x b = y n + 1 = x n . Já para o refervedor parcial, precisaremos calcular o equilíbrio assim como comentamos para o condensador parcial, ok?

Eu super sei que isso tudo parece muito confuso. Então vamos para os exercícios que vamos ver como resolver isso tudo com exemplos, ok?

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere a seção de enriquecimento de uma coluna de destilação com condensador total. Sabendo que y 1 é 0,7, qual é a composição do produto de topo?

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Passo 1

No método Mc-Cabe Thiele analítico, quando é dito que o condensador é total, já podemos escrever de cara que x d = y 1 = x o . No entanto, se o condensador for parcial, a relação entre y o e x o dependerá do equilíbrio. 

Passo 2

Como na questão estamos trabalhando com um condensador total, então:

x d = y 1 = 0,7

Resposta

0,7

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Considere um problema de coluna de destilação com duas cargas em que foi resolvido através do Método Mc-Cabe Thiele Analítico. Através dele, encontrou-se uma Razão de Refluxo Mínima de 1,2 . Qual é a Razão de Refluxo Operacional adotada pela coluna?

  1. 1,2
  2. 3
  3. 2,5
  4. 2,4
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Passo 1

A questão nos pede para calcular a Razão de Refluxo Operacional adotada e nos fornece a Razão de Refluxo Mínima. Então, conseguimos calcular R R O p e r a c i o n a l sabendo que a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima.

Passo 2

 Como a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima e nos foi fornecido que: R R m í n i m a = 1,2

Temos,

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1,2 = 2,4

Repara que temos agora duas Razões de Refluxo. Mas afinal, qual vai ser a Razão de Refluxo Operacional adotada?

Passo 3

Quando temos uma coluna com duas cargas, a Razão de Refluxo que irá valer será a maior Razão de Refluxo encontrada entre as duas. Portanto, nesse caso, a nossa R R O p e r a c i o n a l será 2,4 .

Resposta

d. 2,4

Exercício Resolvido #3

Adaptado do Concurso da Petrobras Cesgranrio (2010)- Engenheiro de Processamento Júnior

Determine apenas através de fórmulas, ou seja, utilizando o método Mc-Cabe Thiele Analítico, a razão de refluxo mínima de uma coluna de destilação com as seguintes condições:

Destilar 200 mol/h de uma mistura binária, líquida saturada, formada por 60% de benzeno e 40% de tolueno em base molar. Deve-se produzir um destilado com 95% molar de benzeno e um produto de fundo com 5% molar de benzeno. A alimentação é líquido saturado. A volatilidade relativa é constante e igual a 5.

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Passo 1

Nós precisamos calcular a Razão de Refluxo Mínima. De acordo com as fórmulas que vimos para o método analítico, podemos utilizar as seguintes equações para fazer essas contas:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Passo 2

Portanto, a primeira coisa que vamos fazer é avaliar a nossa carga. Sabemos que ela é líquida saturada, então a composição de 60 % de benzeno ( que é o componente mais leve) se refere ao z f , mas também ao nosso x f .

Então, x f = z f = 0,60 . Já o y f , por sua vez, pode ser calculado pela seguinte fórmula:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Então, substituindo a volatilidade relativa dada no enunciado, temos que:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 5   ∙ 0,60 1 + 5 - 1   ∙ 0,60 = 0.88

Passo 3

O próximo passo será calcular a razão de refluxo mínima, utilizando também a composição do produto de topo x d = 0,95 . Então, bora substituir na nossa fórmula!

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,88 0,88 - 0,60 = 0,25

Portanto, achamos nossa razão de refluxoooooooo mínima!

Resposta

R R m í n i m a = 0,25

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Calcule o valor da volatilidade sabendo que uma coluna de destilação possui uma Razão de Refluxo Mínima de 1,5 , a composição de produto de topo de 0,8 e a fração líquida da alimentação é 0,2 .

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Passo 1

Na teoria do método de Mc-Cabe Thiele analítico vimos a seguinte equação para a Razão de Refluxo Mínima:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f (1)

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. E para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f (2)

Como nos foi fornecido os valores de R R m í n i m a , x d e x f , ficamos com apenas duas incógnitas e duas equações. E podemos resolver o problema.

Passo 2

Substituindo os valores fornecidos na equação (1), ficamos com:

      R R m í n i m a = 0,8 - y f y f - 0,2 = 1,5

Assim, podemos isolando o y f e encontrar seu valor da seguinte forma,

0,8 - y f = 1,5   y f - 0,3

2,5 y f = 1,1

y f = 0,44

Passo 3

Encontramos o valor de y f mas o que a questão nos pede é o valor da volatilidade, α . Então, vamos substituir os valores agora na equação (2):

y f = α   0,2 1 + α - 1   0,2 = 0,44

Então, ficamos com:

α   0,2 1 + α - 1   0,2 = 0,44

α   0,2 = 0,44 + α - 1 0,088

α   0,2 = 0,44 + 0,088   α - 0,088

0,112   α = 0,352

α = 3,14

Resposta

α = 3,14

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Considere a seguinte reta de operação da seção de enriquecimento de uma coluna de destilação com alimentação de 5 00 k m o l / h   e produto de fundo de   4 00 k m o l / h :

y = a   x + 0,5   x d

Sabendo que x d é a fração molar de destilado, calcule o coeficiente angular da reta através do Método Mc-Cabe Thiele Analítico dado V j = 200   k m o l / h .

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Passo 1

A questão nos pede para calcular o coeficiente angular da reta de operação da seção de esgotamento e nos fornece os valores da vazão de alimentação e do produto de fundo. Vimos na teoria que o formato geral da reta de operação é:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Então, precisamos calcular L j V j , que é o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Repara que o enunciado já nos forneceu a vazão de vapor, V j = 200   k m o l / h . Então, para encontramos o coeficiente angular da reta só precisamos encontrar L j .

Podemos achar vazão de líquido nessa seção, pois sabemos que todo o vapor V j virará líquido no condensador. Parte irá para fora da coluna, por ser o produto de topo e o restante é o líquido que irá descer na seção de absorção. Portanto:

V j = L j + D

Mas ainda não temos a vazão de destilado!

Passo 3

Assim, antes de encontra L j precisamos realizar o balanço molar global do sistema, sabendo que:

F = B + D

A questão nos forneceu F = 5 00 k m o l / h e B = 4 00 k m o l / h , então:

5 00 = 400 + D

D = 1 00 k m o l / h

Passo 4

Agora que já temos a vazão de vapor e vazão do destilado, podemos voltar para o cálculo da vazão de líquido na seção.

V j = L j + D

200 = L j + 100