Método Mc-Cabe Thiele Analítico

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Teoria

Método Mc-Cabe Thiele Analítico

O Método Mc-Cabe Thiele Analítico, ao invés de utilizar o gráfico para traçar os estágios, utiliza equações para determinar as composições de equilíbrio dos estágios.

Equação do Método Mc-Cabe Thiele Analítico

A Equação do Método Mc-Cabe Thiele Analítico que resume todos os tipos de seções que podem aparecer na coluna é essa aqui:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Onde j são as seções da coluna e j = 0 é a seção de absorção. Já o termo - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j resume as variações que podem ocorrer em cada seção, tipo entradas e saídas. Então, para a gente poder calcular as composições de equilíbrio, vazões e todas as seções, podemos montar uma tabelinha para facilitar nossa vida:

E como calculamos as duas últimas colunas dessa tabela? Vamos utilizar as fórmulas abaixo que vieram das deduções de balanço de Massa.

y j - 1 , j = L j - 1 ∑ j = 0 j F l z l - L j ∑ j = 0 j - 1 F l z l   L j V j - 1 - V j L j - 1

x   j - 1 , j = V j - 1 ∑ j = 0 j F l z l - V j ∑ j = 0 j - 1 F l z l   L j V j - 1 - V j L j - 1

Sendo que assim se a carga/retirada daquela seção for líquido saturado, por exemplo, você só precisa calcular x   j - 1 , j . Por outro lado, para cargas/ retiradas vapor saturado, só precisamos calcular o y j - 1 , j .

Lembrando também que as relações que vimos entre x e y que deixam um mesmo estágio, ou seja, estão em equilíbrio continuam válidas.

∝ 12 = k 1 k 2 = y 1 x 1 y 2 x 2

Obs: Alguns professores deixam utilizar excel na prova, então levar a tabela com as equações já preenchidas ajuda muito a ganhar tempo 😊

Razão de Refluxo Mínima

No método Mc-Cabe Thiele analítico, a Razão de Refluxo Mínima vai ser dada por:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Análise do Sistema de Topo e de Fundo

No método Mc-Cabe Thiele analítico, quando informarem que o condensador é total, você já pode escrever de cara que x d = y 1 = x o . Aí, é só seguir aplicando as fórmulas da tabelinha que mostramos a partir desse y 1 que obtivemos. No entanto, se o condensador for parcial, a relação entre y o e x o dependerá do equilíbrio.

Já o sistema de fundo sempre vai ser o produto saindo como líquido saturado, ou seja, sempre teremos um x b saindo. No entanto, mesmo assim, ainda podemos ter um refervedor total ou parcial. No caso de um refervedor total, x b = y n + 1 = x n . Já para o refervedor parcial, precisaremos calcular o equilíbrio assim como comentamos para o condensador parcial, ok?

Eu super sei que isso tudo parece muito confuso. Então vamos para os exercícios que vamos ver como resolver isso tudo com exemplos, ok?

Razão de Refluxo Mínima

Análise do Sistema de Topo e de Fundo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere a seção de enriquecimento de uma coluna de destilação com condensador total. Sabendo que y 1 é 0,7, qual é a composição do produto de topo?

Passo 1

No método Mc-Cabe Thiele analítico, quando é dito que o condensador é total, já podemos escrever de cara que x d = y 1 = x o . No entanto, se o condensador for parcial, a relação entre y o e x o dependerá do equilíbrio. 

Passo 2

Como na questão estamos trabalhando com um condensador total, então:

x d = y 1 = 0,7

Resposta

0,7

Exercício Resolvido #2

Considere um problema de coluna de destilação com duas cargas em que foi resolvido através do Método Mc-Cabe Thiele Analítico. Através dele, encontrou-se uma Razão de Refluxo Mínima de 1,2 . Qual é a Razão de Refluxo Operacional adotada pela coluna?

  1. 1,2
  2. 3
  3. 2,5
  4. 2,4

Passo 1

A questão nos pede para calcular a Razão de Refluxo Operacional adotada e nos fornece a Razão de Refluxo Mínima. Então, conseguimos calcular R R O p e r a c i o n a l sabendo que a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima.

Passo 2

 Como a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima e nos foi fornecido que: R R m í n i m a = 1,2

Temos,

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1,2 = 2,4

Repara que temos agora duas Razões de Refluxo. Mas afinal, qual vai ser a Razão de Refluxo Operacional adotada?

Passo 3

Quando temos uma coluna com duas cargas, a Razão de Refluxo que irá valer será a maior Razão de Refluxo encontrada entre as duas. Portanto, nesse caso, a nossa R R O p e r a c i o n a l será 2,4 .

Resposta

d. 2,4

Exercício Resolvido #3

Determine apenas através de fórmulas, ou seja, utilizando o método Mc-Cabe Thiele Analítico, a razão de refluxo mínima de uma coluna de destilação com as seguintes condições:

Destilar 200 mol/h de uma mistura binária, líquida saturada, formada por 60% de benzeno e 40% de tolueno em base molar. Deve-se produzir um destilado com 95% molar de benzeno e um produto de fundo com 5% molar de benzeno. A alimentação é líquido saturado. A volatilidade relativa é constante e igual a 5.

Passo 1

Nós precisamos calcular a Razão de Refluxo Mínima. De acordo com as fórmulas que vimos para o método analítico, podemos utilizar as seguintes equações para fazer essas contas:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Passo 2

Portanto, a primeira coisa que vamos fazer é avaliar a nossa carga. Sabemos que ela é líquida saturada, então a composição de 60 % de benzeno ( que é o componente mais leve) se refere ao z f , mas também ao nosso x f .

Então, x f = z f = 0,60 . Já o y f , por sua vez, pode ser calculado pela seguinte fórmula:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Então, substituindo a volatilidade relativa dada no enunciado, temos que:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 5   ∙ 0,60 1 + 5 - 1   ∙ 0,60 = 0.88

Passo 3

O próximo passo será calcular a razão de refluxo mínima, utilizando também a composição do produto de topo x d = 0,95 . Então, bora substituir na nossa fórmula!

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,88 0,88 - 0,60 = 0,25

Portanto, achamos nossa razão de refluxoooooooo mínima!

Resposta

R R m í n i m a = 0,25

Exercício Resolvido #4

Calcule o valor da volatilidade sabendo que uma coluna de destilação possui uma Razão de Refluxo Mínima de 1,5 , a composição de produto de topo de 0,8 e a fração líquida da alimentação é 0,2 .

Passo 1

Na teoria do método de Mc-Cabe Thiele analítico vimos a seguinte equação para a Razão de Refluxo Mínima:

R R m í n i m a = L m í n i m a   D = x d - y f y f - x f (1)

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. E para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f (2)

Como nos foi fornecido os valores de R R m í n i m a , x d e x f , ficamos com apenas duas incógnitas e duas equações. E podemos resolver o problema.

Passo 2

Substituindo os valores fornecidos na equação (1), ficamos com:

      R R m í n i m a = 0,8 - y f y f - 0,2 = 1,5

Assim, podemos isolando o y f e encontrar seu valor da seguinte forma,

0,8 - y f = 1,5   y f - 0,3

2,5 y f = 1,1

y f = 0,44

Passo 3

Encontramos o valor de y f mas o que a questão nos pede é o valor da volatilidade, α . Então, vamos substituir os valores agora na equação (2):

y f = α   0,2 1 + α - 1   0,2 = 0,44

Então, ficamos com:

α   0,2 1 + α - 1   0,2 = 0,44

α   0,2 = 0,44 + α - 1 0,088

α   0,2 = 0,44 + 0,088   α - 0,088

0,112   α = 0,352

α = 3,14

Resposta

α = 3,14

Exercício Resolvido #5

Considere a seguinte reta de operação da seção de enriquecimento de uma coluna de destilação com alimentação de 5 00 k m o l / h   e produto de fundo de   4 00 k m o l / h :

y = a   x + 0,5   x d

Sabendo que x d é a fração molar de destilado, calcule o coeficiente angular da reta através do Método Mc-Cabe Thiele Analítico dado V j = 200   k m o l / h .

Passo 1

A questão nos pede para calcular o coeficiente angular da reta de operação da seção de esgotamento e nos fornece os valores da vazão de alimentação e do produto de fundo. Vimos na teoria que o formato geral da reta de operação é:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Então, precisamos calcular L j V j , que é o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Repara que o enunciado já nos forneceu a vazão de vapor, V j = 200   k m o l / h . Então, para encontramos o coeficiente angular da reta só precisamos encontrar L j .

Podemos achar vazão de líquido nessa seção, pois sabemos que todo o vapor V j virará líquido no condensador. Parte irá para fora da coluna, por ser o produto de topo e o restante é o líquido que irá descer na seção de absorção. Portanto:

V j = L j + D

Mas ainda não temos a vazão de destilado!

Passo 3

Assim, antes de encontra L j precisamos realizar o balanço molar global do sistema, sabendo que:

F = B + D

A questão nos forneceu F = 5 00 k m o l / h e B = 4 00 k m o l / h , então:

5 00 = 400 + D

D = 1 00 k m o l / h

Passo 4

Agora que já temos a vazão de vapor e vazão do destilado, podemos voltar para o cálculo da vazão de líquido na seção.

V j = L j + D

200 = L j + 100

L j = 100 k m o l / h

E por fim, calcular o coeficiente angular da reta.

a = L j V j ,   = 100 200 = 0,5

Então nossa reta vai ficar com o seguinte formato,

y = 0,5   x + 0,5   x d

Resposta

a = 0,5

Exercício Resolvido #6

Uma coluna de destilação alimentada com duas correntes de benzeno e tolueno nas seguintes condições:

A composição do produto de topo é 0,95 para benzeno e do produto de fundo é de 0,10 , a volatilidade relativa é de 2,5 . É utilizado um condensador parcial. A Razão de refluxo operacional é duas vezes a Razão de Refluxo Mínima. A pressão de operação é de 10   a t m . Calcule a Razão de Refluxo Mínima e Razão de Refluxo Operacional para as duas cargas e determine qual seria a Razão de Refluxo Operacional realmente adotada pela coluna em questão.

Passo 1

Para fazer essa questão, precisamos relembrar a definição de Razão de Refluxo mínima.

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f

Onde x d é a composição do produto de topo e y f e x f são as composições de vapor e líquido da carga. Lembrando que para cargas bifásicas, a relação das composições fica:

y f = α   x f 1 + α - 1   x f

Passo 2

Vamos começar avaliando a carga 1. A carga 1 é bifásica β = 0,7   , ou seja, 70 % da carga é vaporizada. E a composição que foi dada dessa carga equivale ao z f e não ao x f e y f , que precisam ser aplicados na fórmula de Razão de Refluxo Mínima.

Se pensarmos no balanço de massa, podemos escrever essas duas equações que relacionam essas variáveis.

F   ∙ z f = L ∙   x f + V   ∙ y f

z f = 1 - β ∙ x f + β ∙ y f

Além disso, vamos precisar também dessa equação de relação entre y f e x f , que estamos usando desde o princípio das operações unitárias!!

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 2,5 ∙   x f 1 + 2,5 - 1   x f

Podemos combinar essas equações, fazendo a substituição do y f , pois aí conseguiremos uma única equação com apenas uma variável.

z f = 1 - β ∙ x f + β ∙   α   x f 1 + α - 1   x f

0,6 = 0,3 ∙ x f + 0,7 ∙ 2,5   ∙ x f 1 + 2,5 - 1 ∙ x f

Resolvendo essa equação de segundo grau, vamos achar duas raízes para x f . No entanto, vamos descartar a raiz negativa e considerar que x f = 0,44 . Com esse novo valor de x f , podemos calcular o y f .

y f = 2,5 ∙   0,44 1 + 2,5 - 1   0,44 = 0,66

Agora, que já conhecemos todos os valores, conseguimos calcular a Razão de Refluxo Mínima e operacional para a carga 1. Lembrando que a Razão de Refluxo Operacional é o dobro da Razão de Refluxo mínima!

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,66 0,66 - 0,44 = 1,32

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1,32 = 2,64

Passo 3

Agora vamos avaliar a carga 2. A carga 2 possui β = 0   , ou seja, 0 % da carga é vaporizada, indicando que ela é líquida saturada. Então, nesse caso, x f = z f = 0,3 . Portanto, podemos partir direto para o cálculo do   y f em equilíbrio com o x f .

y f = α   x f 1 + α - 1   x f = 2,5 ∙ 0 , 3 1 + 2,5 - 1   ∙ 0,3 = 0,517

Assim, aplicando o mesmo procedimento do Passo 2, conseguimos realizar os cálculos da Razão de Refluxo mínima e operacional.

R R m í n i m a = x d - y f y f - x f = 0,95 - 0,517 0,517 - 0,3 = 1,995

R R O p e r a c i o n a l = R R m í n i m a ∙ 2 = 2 ∙ 1 , 995 = 4

Passo 4

Da mesma forma como vimos no método Mc-Cabe Thiele gráfico, quando temos uma coluna com duas cargas, a Razão de Refluxo irá valer será a maior Razão de Refluxo encontrada entre as duas. Portanto, nesse caso, a nossa R R O p e r a c i o n a l será 4.

Resposta

R R O p e r a c i o n a l = 4

Exercício Resolvido #7

Deseja-se separar 200 k m o l h de uma mistura que contém 40 % de benzeno e 60 %   de tolueno, produzindo um produto de topo contendo 95 %   de benzeno, e um produto de fundo contendo 90 %   de tolueno. A mistura está   25 % vaporizada, e o método Mc-Cabe Thiele foi usado para o projeto da coluna de destilação, apresentando a seguinte reta de operação da seção de enriquecimento:

y = 0,73   x + 0,27   x d

Sendo x d   a fração molar de destilado. A vazão de líquido na seção de esgotamento, em kmol/h, é aproximadamente igual a :

  1. 70
  2. 130
  3. 213
  4. 284
  5. 340

Passo 1

Essa questão está falando para a gente sobre o Método Mc-Cabe Thiele e fornece também uma equação, logo precisamos utilizar o método Analítico para tentar encontrar a vazão de líquido na seção de esgotamento.

A equação fornecida por essa questão é para a seção de enriquecimento, que é está aqui:

y = 0,73   x + 0,27   x d

E lá na teoria vimos que o formato geral dessa equação é dado por:

y n = L j V j x n - 1 - 1 V j ∑ j = 0 j F j z j  

Logo, considerando j a nossa seção de enriquecimento ( ou absorção), temos que:

L j V j = 0,73

- 1 V j ∑ j = 0 j F j z j = 0,27   x d

Substituindo e calculando tudo que temos, conseguiremos achar as vazões para a seção de absorção. Depois vamos usar essas equações para fazer o balanço de massa e achar a vazão na outra seção, beleza?

Passo 2

Nosso Passo 2 será então substituir e calcular tudo que conseguirmos em relação a seção de absorção, ok?

Pelo enunciado, o produto de topo possui 0,95 de benzeno, portanto esse é o valor de x d . Além disso, para a seção de absorção, a variação, em termos de massa, que ocorre nela é a saída (sinal negativo) do produto de topo, portanto podemos dizer que ∑ j = 0 j F j z j = - D ∙ x d = - D ∙ 0,95

- 1 V j ∑ j = 0 j F j z j = - 0,27   ∙ 0,95

- D V j ∙ 0,95 = - 0,27   ∙ 0,95

D V j = 0,27

No entanto, a vazão de D pode ser calculada por balanço de massa, pois sabemos que:

F = B + D

F   z f = B   x b + D   x d

Então, substituindo em função da composição de benzeno obtemos que:

200 k m o l h = B + D

200   ∙ 0,40 = B   ∙ 0,10 + D   ∙ 0,95

Portanto:

B = 129,41   k m o l / h

D = 70,59   k m o l / h

Logo, V j , vazão na seção de absorção, pode ser calculado:

D V j = 70,59 V j = 0,27

V j = 261,44 k m o l h

Para fechar, podemos achar vazão de líquido nessa seção, pois sabemos que todo o vapor V j virará líquido no condensador. E parte irá para fora da coluna, por ser o produto de topo D = 70,59   k m o l / h e o restante é o líquido que irá descer na seção de absorção. Portanto:

V j = L j + D

261,44 = 70,59 + L j

Logo, L j = 190,85   k m o l / h .

Passo 3

Agora precisamos achar a vazão de líquido na seção de esgotamento ( L i ). A vazão de líquido na seção de esgotamento será todo o líquido que desceu da seção de absorção ( L j ) mais o líquido que foi adicionado na carga, que corresponde a parte não vaporizada da carga ( 1 - β ) .

L i = L j + ( 1 - β ) ∙ F

Logo, substituindo os valor que temos:

L i = 190,85 + 0,75 ∙ 200 = 340,85   k m o l / h

Resposta

340,85   k m o l / h , portanto letra e).

Exercício Resolvido #8

Na figura abaixo, temos uma coluna de pratos perfeitos, sem condensador ou refervedor, para separar carga F 1 Líquido Saturado com vazão F   m o l / s e composição 50 %   m o l   1"+50% mol  " 2 "   ( z 1 = 0,5 ) . A carga F o tem vazão W   m o l / s , líquida com 100 %   m o l   "1"  +0% mol "2"  ( z o = 1 ) . A carga F 2 tem vazão G   m o l / s , vapor com 0 %   m o l   " 1 "   + 10 0 %   m o l   " 2 "   ( z 2 = 0 ) .   O topo é D com fração molar x d = 0,99 em " 1 " . O fundo é B com fração molar x B = 0,01 em " 1 " .

Com balanços materiais e relações Mc-CabeThiele, escreva B F , D F , G F   e as vazões de líquido e vapor das seções (divididas por F ) em termos de W / F .

Dados: β o = - 0,1   e   β 2 = 1,1

Passo 1

Essa questão vai exigir da gente muita manipulação algébrica, e para relacionar as várias relações que ela nos pede vamos precisar começar fazendo um balanço molar.

Como nossa coluna tem três diferentes cargas entrando, vamos adotar a nomenclatura que o enunciado nos forneceu, em que:

F o = W

F 1 = F

F 2 = G

Passo 2

O primeiro balanço que vamos fazer vai ser o balanço mássico global. Então, para essa coluna temos:

F + G + W = B + D

Dividindo tudo por F ,

B F + D F - G F = 1 + W F (1)

0,5 F + W = 0,01 B + 0,99 D

0,01 B F + 0,099   D F = 0,5 + W F

Multiplicando por 100 ficamos com:

B F + 99   D F = 50 + 100 W F   (2)

Passo 3

Podemos separar a coluna em duas seções, seção de topo em que temos L o ,   V o e seção de esgotamento em que temos L 1 ,   V 1 .

A partir disso, podemos relacionar os valores de β fornecido com nossas vazões de líquido e vapor da seguinte forma:

  L o =   β 2   W = 1,1 W (3)

L 1 =   β 2   W + F = 1,1   W + F                                                                                           (4)

V o = D - β o W = D - 0,1 W = V 1 (5)

0 = V 1 - 1,1 G (6)

Passo 4

Agora que temos cinco equações podemos manipular elas. Primeiro, vamos juntas as equações (5) com (6) e dividir por F :

D F + 0,1 W F = 1,1 G F

G F = 1 1,1 D F + 0,1 1,1 W F (7)

Unindo essa expressão com a expressão (1), ficamos com:

B F + 1 - 1 1,1 D F = 1 + 1 - 1 1,1 W F

1,1 B F + 0,1 D F = 1 , 1 + 1,2 W F

Subtraindo a expressão de cima com 1,1 × e q u a ç ã o   ( 2 ) , ficamos com:

0,1 - 99 × 1,1 D F = - 1,1 × 49 + 1,2 - 100 × 1,1 W F    

A partir dessa expressão conseguimos achar D F a partir de W F , que é uma das coisas que o enunciado nos pediu.

D F = 53,9 + 108,8 W F 108,8 W F = W F + 53,9 108,8

Passo 5

Já com a expressão de D F em mãos, conseguimos usar a equação (2) para encontrar B F :

B F = 50 + 100 W F - 99 W F - 99 × 53,9 108,8

B F = W F + 103,9 108,8

Com D F e a equação (7), podemos encontrar também G F :

G F = 1 1,1 W F + 53,9 108,8 + 0,1 1,1 W F

G F = W F + 49 108,8

Passo 6

E por último, precisamos encontrar L o F , L 1 F , V o F e V 1 F . Essa parte já não vamos recorrer tanto ao algebrismo pois basta dividir as equações (3), (4) e (5) por F , obtendo:

L o F = 1,1 W F

L 1 F = 1,1 W F + 1

V o F = 1,1 W F + 53,9 108,8 = V 1 F

Repara que na última além de dividir por F eu precisei, também, substituir D F à expressão.

Resposta

D F = W F + 53,9 108,8

B F = W F + 103,9 108,8

G F = W F + 49 108,8

L o F = 1,1 W F

L 1 F = 1,1 W F + 1

V o F = 1,1 W F + 53,9 108,8 = V 1 F