Diagrama de Equilíbrio

Teoria Completa

Diagrama de Equilíbrio

Até agora vimos diagramas de fases, normalmente com composição no eixo x e temperatura no eixo y. Agora chegou a hora de aprender a, usando os diagramas vistos até agora, construir um tipo diferente de diagrama: o diagrama de equilíbrio.

O diagrama de equilíbrio é diferente porque, embora não seja fixa, a temperatura não aparece explicitamente nele. E ele é suuuuper importante na disciplina de operações unitárias, principalmente pra quando falamos de destilação. Então, é beeem importante entender como construímos ele, certo?

Pra chegarmos nesse diagrama, precisamos seguir algumas etapas, que estão representadas nas figuras a seguir, beleza?

  1. Construir um quadro logo abaixo do diagrama que possuímos. O novo quadro deve ter a mesma largura que o quadro superior e precisamos traçar sua diagonal.
  2. O eixo horizontal do gráfico que já possuímos representará a fração molar na fase líquida no novo gráfico. Portanto, todos os pontos da curva de líquidos deve ser marcado no novo gráfico construído, tipo como estamos mostrando com as linhas em verde, ok?
  3. Para os pontos da curva de vapor, que vão representar nosso y , eles estarão no eixo vertical do gráfico de baixo. E para colocar esses pontos lá, vamos fazer o seguinte. Vamos descer eles até a diagonal (pois nesse ponto x = y ), e aí vamos rebater ele para o eixo vertical, beleza? É o procedimento que estamos marcando em vermelho!
  4. Vamos fazer isso para todos os pontos da curva de vapor. Só que, repara que, nesse primeiro ponto, a linha do x e y (primeira linha horizontal e primeira linha vertical) em equilíbrio se encontraram. E é justamente esse ponto que vamos precisar marcar!
  5. Aí no nosso exemplo marquei com uma estrela o encontro da primeira linha vertical com a primeira linha horizontal, e fiz mais um pontinho como exemplo, beleza? E aí temos que repetir isso para todos os pontos e marcar os encontros.

  6. Para fechar, quanto terminamos de fazer isso em todos os pontos e ligarmos as estrelas, vamos obter o seguinte Diagrama de Equilíbrio.

Lembrete: é o Diagrama que vamos usar na destilação!

Cálculo do Diagrama de Equilíbrio

Vamos supor que a gente não tenha o outro diagrama, será que é possível calcular esses pontos?

SIMMMMMM e dá para fazer isso a partir de um conceito que já conhecemos: a volatilidade relativa.

α i , j = y i x i . x j y j  

Como só temos dois componentes em cada fase, podemos dizer que x i + x j = 1 e y i + y j = 1 também. Então, substituindo, na equação da volatilidade relativa, obtemos que:

α i , j = y i x i . ( 1 - x i ) ( 1 - y i )  

α i , j . x i . 1 - y i = y i - y i   . x i

Que podemos reorganizar da seguinte forma:

α i , j . x i - α i , j . x i . y i = y i - y i   . x i

y i 1 - x i + α i , j . x i = α i , j . x i

y i 1 + x i ( α i , j - 1 ) = α i , j . x i

y i = α i , j . x i 1 + x i ( α i , j - 1 )

Então, se a gente conhecer a volatilidade relativa, é so chutar vários valores de x i , que vamos obter y i . E aí conseguimos traçar a curva.

Bora ver um exemplo em que a volatilidade relativa seja constante e igual a 2,5. Então, nossa fórmula fica: y i = 2,5   . x i 1 + x i 2,5 - 1 = 2,5   . x i 1 + x i ( 1,5 )

Agora podemos variar o valor de x i de 0 até 1, de 0,1 em 0,1 e calcular o y i .

E, a partir daí, podemos plotar esses dados e obter o nosso sonhado diagrama:

LEMBRETE IMPORTANTE: Tem que traçar a diagonal x , y (linha laranja).

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Determine o diagrama de equilíbrio y   v e r s u s   x de um sistema contendo dois compostos, sabendo que a volatilidade relativa ( α ) é constante e igual a 2.

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Passo 1

Vamos relembrar o que é volatilidade relativa?

α i , j = y i x i . x j y j  

E sabemos também que a soma dos dois componentes em cada fase tem que somar um! Logo, x i + x j = 1 e y i + y j = 1 . Então, bora escrever tudo em função de um componente só:

α i , j = y i x i . x j y j =   y i x i . ( 1 - x i ) ( 1 - y i )

Podemos simplificar e escrever y i em função de x i .

y i = α i , j . x i 1 + x i ( α i , j - 1 )

Passo 2

Já temos a volatilidade relativa e vamos escolher vários valores de x i variando de 0 até 1 . Esses valores são arbitrários, mas só para facilitar vamos fazer variando de 0,1   em 0,1 .

Passo 3

Agora, vamos substituir todos os valores de x i na fórmula para acharmos os respectivos y i .

y i = 2 . x i 1 + x i 2 - 1 = 2 .   x i 1 + x i

E aí bora ver os resultados:

Vou colocar a conta para o x i = 0,1 como exemplo, beleza?

y i = 2 . x i 1 + x i 2 - 1 = 2 .   x i 1 + x i = 2 .   0,1 1 + 0,1 = 0,18

E aí, se repetimos isso para todos os pontos, chegamos naquela tabela.

Passo 4

A próxima etapa é colocarmos esses pontos no gráfico!

Mas para finalizar o diagrama de equilíbrio, precisamos colocar a diagonal marcando os pontos x i = y i . No gráfico abaixo, marquei a diagonal de laranja. Então ele agora tá completinho, beleza?

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

A partir do diagrama de equilíbrio apresentado a seguir, determine a volatilidade relativa ( α ) entre os compostos envolvidos, sabendo que a volatilidade é constante.