Exercícios Resolvidos de Potência Elétrica e Expansão Não Resistida

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Enunciado

Uma câmara de 6   m 3 possui uma bexiga cheia de gás perfeito a 300   K e 100   k P a . Essa bexiga possui uma resistência elétrica de 150   Ω em seu interior. Ao ligar essa resistência a uma fonte com 110   V de tensão por 30   m i n , o gás no interior da bexiga é aquecido até uma temperatura de 400   K . Por causa desse aquecimento, o gás se expande isobaricamente até estourar a bexiga e ocupar toda a câmara. Determine:

  1. a diferença entre o volume da câmara e o volume que a bexiga tinha logo antes de estourar;
  2. o trabalho total W realizado pelo gás ao expandir dentro da bexiga e ao expandir por toda a câmara.

Passo 1

Como estão, chuchus?! Essa é uma questão que mistura dois temas: expansão não resistida e potência elétrica. Vamos resolver e ficar fera nesses assuntos?

Vamos sim, larga essa preguiça!

Primeiro, a questão quer saber quanto vale a diferença Δ V entre o volume da câmara V e o volume V 2 que a bexiga tinha logo antes de estourar.

Δ V = V - V 2

V já foi informado pelo enunciado e vale 6   m 3 . Logo, só resta encontrar V 2 pra calcular a resposta da letra (a) da questão. V 2 é encontrado, se a gente supor que toda a energia W e l e t r dissipada pela resistência elétrica é usada pelo gás para realizar o trabalho W 12 a pressão constante sobre a bexiga, fazendo ela crescer até estourar. A figura abaixo mostra isso.

ε é a diferença de potencial elétrico da bateria, i é a corrente elétrica que passa pelo circuito e r é a resistência da lâmpada. P 1 e T 1 são a pressão e a temperatura do gás antes de expandir. P 2 e T 2 são a pressão e a temperatura do gás depois de expandir na bexiga.

Depois de tanta informação, vamos partir pra prática e resolver a letra (a)!

Passo 2

Como dito no passo 1, pra achar V 2 e calcular Δ V , temos que supor que a energia W e l e t r dissipada pela resistência é toda usada pra realizar um trabalho de movimento de fronteira W 12 sobre a bexiga. Logo, W e l e t r deve ser igual a W 12 .

W 12 = W e l e t r

Como W 12 é trabalho de movimento de fronteira a pressão constante, podemos calcular W 12 multiplicando a pressão P 1 pela variação de volume da bexiga V 2 - V 1 . Além disso, o trabalho elétrico W e l e t r pode ser calculado multiplicando a potência elétrica W ˙ e l e t r pelo intervalo de tempo Δ t em que ela foi usada.

P 1 V 2 - V 1 = W ˙ e l e t r Δ t

Para calcular V 2 , precisamos achar V 1 através da fórmula Pevetê Povotó de gases perfeitos.

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Como P 1 = P 2 , cortamos essas pressões e reorganizamos a equação pra achar V 1 .

V 1 = V 2 T 1 T 2

Além disso, W ˙ e l e t r é igual a ε vezes i W ˙ e l e t r = ε i . i é encontrado através da lei de Ohm abaixo.

ε = r i

i = ε r

i = 110 150

i = 0,733   A

Vamos substituir todos esses dados na próxima etapa para achar V 2 e Δ V .

Passo 3

Substituindo as informações na segunda equação do passo 2:

P 1 V 2 - V 1 = W ˙ e l e t r Δ t

P 1 V 2 - V 2 T 1 T 2 = ε i Δ t

Colocando V 2 em evidência:

P 1 V 2 1 - T 1 T 2 = ε i Δ t

V 2 = ε i Δ t P 1 1 - T 1 T 2

Antes de substituir os valores, temos que converter a pressão P 1 de k P a pra P a , multiplicando ela por 1000 e temos que converter Δ t de m i n pra s e g , multiplicando ele por 60

V 2 = 110 × 0,733 × 1800 100000 × 1 - 300 400

V 2 = 5,805   m 3

Substiuindo esse valor na equação de Δ V :

Δ V = V - V 2

Δ V = 6 - 5,805

Δ V = 0,195   m 3

Essa é a resposta da letra (a). Então bora partir pra letra (b) e encerrar a questão!

Passo 4

O trabalho total W é a soma do trabalho W 12 de expansão da bexiga e o trabalho W 23 de expansão do gás ao ocupar toda a câmara!

W = W 12 + W 23

W 12 já pode ser encontrado pela fórmula abaixo.

W 12 = P 1 V 2 - V 1

W 12 = P 1 V 2 - V 2 T 1 T 2

W 12 = 100000 × 5,805 - 5,805 × 300 400

W 12 = 145125   J

Como o gás aumenta de volume e sua fronteira se expande, quando ele se difunde pela câmara, tendemos a achar que podemos calular o trabalho W 23 pela fórmula que calcula o trabalho de fronteira abaixo.

W = ∫ P   d V

No entanto, usar essa fórmula é um erro, porque essa expansão devida ao rompimento da bexiga é uma expansão não resistida. Nesse caso, o gás não precisa vencer uma resistência para se expandir e ocupar o volume que estava em vácuo! Logo, o gás não precisa gastar energia e realizar trabalho para se mover. Ou seja, o trabalho W 23 que ele realiza vale 0 !

W 23 = 0   J

Por isso, W vale:

W = W 12 + W 23

W = 145125 + 0

W = 145125   J

Ebaaaaaaa! Terminamos a questão! Encontramos a resposta da letra (b)!

Resposta

a   Δ V = 0,195   m 3

b   W = 145125   J

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