Exercícios Resolvidos de Potência em Circuito CA

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Enunciado

Para o circuito abaixo, determine a impedância Z L da carga para a transferência de potência máxima (para Z ). Calcule a potência máxima absorvida pela carga.

Passo 1

Quando falamos em máxima transferência de potência temos que ter em mente o teorema de Thévenin. Para começar, precisamos encontrar o circuito equivalente de Thevenin conectado a carga Z L . Para analisarmos um circuito como o abaixo:

Passo 2

Para encontrar a impedância de Thevenin, desligamos a fonte de tensão, retiramos a carga Z L e calculamos a impedância equivalente vista por seus terminais. Sempre lembrando que desligar uma fonte de tensão é o mesmo que substituí-la por um curto-circuito.

Vamos redesenhar o circuito para facilitar:

Primeiro, vamos calcular a impedância equivalente correspondente ao paralelo do resistor de 5   Ω com o indutor:

Z 1 = 5 × j 2 5 + j 2

Z 1 = 5 × 2 ∠ 90 ° 5,385 ∠ 21,8 °

Z 1 = 10 ∠ 90 ° 5,385 ∠ 21,8 °

Z 1 = 1,857 ∠ 68,2 °     Ω

Z 1 = 0,689 + j 1,724     Ω

Então, agora temos o seguinte circuito:

Como podemos ver, a impedância Z 1 está em série com o capacitor. Portanto:

Z 2 = 0,689 + j 1,724 - j 3

Z 2 = 0,689 - j 1,276   Ω

E o circuito fica assim:

Agora temos que calcular paralelo de Z 2 e o resistor, que será a impedância de Thevenin.

Z T h = 0,689 - j 1,276 × 4 0,689 - j 1,276 + 4

Z T h = 1,45 ∠ - 61,63 ° × 4 4,689 - j 1,276

Z T h = 5,8 ∠ - 61,63 ° 4,86 ∠ - 15,22 °

Z T h = 1,19 ∠ - 46,41 °   Ω

Passando para forma retangular:

Z T h = 0,82 - j 0,86   Ω

Passo 3

Como vimos na teoria, a máxima transferência de potência ocorre quando a impedância da carga é o conjugado da impedância de Thevenin, ou seja:

Z L = Z T h *

Então, lembrando que para obter o conjugado temos que inverter o sinal na parte imaginária, a impedância da carga será:

Z L = 0,82 + j 0,86   Ω

Passo 4

Agora falta calcularmos a potência máxima transferida, que tem a seguinte fórmula:

P m a x = V T h 2 8 R T h

Para a gente poder usá-la precisamos encontrar o valor da tensão de Thevenin. Vamos fazer isso agora. Lembrando que V T h é a tensão de circuito aberto nos terminais a - b , vamos analisar o circuito abaixo:

Vamos preparar o circuito para usar análise nodal:

Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ao nó da tensão nodal V 2 :

I 1 + I 3 = I 2

Escrevendo em função das tensões nodais:

165 - V 2 4 - j 3 + 165 - V 2 j 2 = V 2 5

165 4 - j 3 - V 2 4 - j 3 - j 82,5 + j 0,5 V 2 = 0,2 V 2

165 5 ∠ - 36,87 ° - V 2 5 ∠ - 36,87 ° - j 82,5 + j 0,5 V 2 = 0,2 V 2

33 ∠ 36,87 ° - ( 0,2 ∠ 36,87 ° ) V 2 - j 82,5 + j 0,5 V 2 = 0,2 V 2

26,4 + j 19,8 - ( 0,2 ∠ 36,87 ° ) V 2 + j 0,5 V 2 -   0,2 V 2 = j 82,5

- ( 0,16 + j 0,12 ) V 2 + j 0,5 V 2 -   0,2 V 2 = j 82,5 - 26,4 - j 19,8

( - 0,36 + j 0,38 ) V 2 = - 26,4 + j 62,7

V 2 = - 26,4 + j 62,7 - 0,36 + j 0,38

V 2 = 68,03 ∠ 112,83 ° 0,523 ∠ 133,45 °

V 2 = 130,07 ∠ - 20,62 °   V

Passo 5

Agora que encontramos o valor de V 2 , podemos substituí-lo na equação abaixo para encontrarmos I 1 :

I 1 = 165 - V 2 4 - j 3

I 1 = 165 - ( 130,07 ∠ - 20,62 °   ) 5 ∠ - 36,87 °

I 1 = 165 - ( 121,74 - j 45,81   ) 5 ∠ - 36,87 °

I 1 = 43,26 + j 45,81 5 ∠ - 36,87 °

I 1 = 63 ∠ 46,64 ° 5 ∠ - 36,87 °

I 1 = 12,6 ∠ 83,51 °   A

Estamos quase lá! Para finalmente encontrarmos V T h , vamos aplicar a lei das tensões de Kirchhoff na malha abaixo:

- 165 + 4 I 1 + V T h = 0

V T h = 165 - 4 12,6 ∠ 83,51 °

V T h = 165 - 50,4 ∠ 83,51 °

V T h = 165 - 5,696 - j 50,07

V T h = 159,304 - j 50,07   Ω

V T h = 166,98   ∠ - 17,44 °   V

Passo 6

Agora é só lembrar que Z T h = R T h + j X T h e da fórmula:

P m a x = V T h 2 8 R T h

Sendo,

V T h 2 = V T h × V T h *

V T h 2 = 166,98 ∠ - 17,44 °   × 166,98 ∠ 17,44 °  

V T h 2 = 166,98 2

Ou seja, é só pegar o módulo do fasor e elevar ao quadrado.

Como, Z T h = 0,82 - j 0,86   Ω

Substituindo os valores:

P m a x = 166,98 2 8 ( 0,82 ) = 4250,35   W

Resposta

Z L = 0,82 + j 0,86   Ω

P m a x = 4250,35   W

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