Teorema da Probabilidade Total

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Teoria

O Teorema da Probabilidade Total é um teorema fundamental dentro do Cálculo de Probabilidades, que relaciona probabilidades condicionais com probabilidades marginais.

Vem comigo aprender sobre esse teorema!

A definição formal do teorema da probabilidade total é a seguinte.

Seja um evento do espaço amostral , e um conjunto de eventos distintos cuja união é todo o espaço amostral, ou seja é uma partição do espaço amostral . A probabilidade do evento pode ser calculada como segue:

Seja sincero, você entendeu alguma coisa? hahaha

Calma, vou te explicar de onde veio isso aí.

Vamos supor que temos um espaço amostral , que é formado pela união dos eventos: , , e , todos mutuamente exclusivos (interseção vazia), como mostra a figura:

Espaço amostral e suas partições
Espaço amostral e suas partições

Agora considere um evento qualquer desse :

Espaço amostral e evento B
Espaço amostral e evento B

Presta atenção nesses eventos aqui: , , e .

Note que eles também são mutuamente exclusivos, e assim sendo, podemos escrever o evento como a uni dessas interseções:

Escrito dessa forma, a probabilidade de será calculada da seguinte maneira:

Podemos substituir cada uma dessas probabilidades da interseção pela probabilidade condicional:

Sendo assim:

E isso, podemos escrever como um somatório:

E é daí que tiramos o Teorema da Probabilidade Total. Fez mais sentido agora né?

Vamos fazer um exemplo pra ficar ainda mais claro.

Um velejador experiente tem 50% de chance de vencer uma regata sob vento forte, porém sem a presença de vento forte, suas chances caem para 25%. As autoridades do serviço de meteorologia da cidade que sediará a próxima regata estimam em 30% a probabilidade de que ocorra vento forte durante a competição. Sabendo disso, qual a probabilidade do velejador ser o vencedor ?

Vamos fazer um passo a passo para resolver essa questão.

PASSO 1

Definir os eventos:

ã

IMPORTANTE: Note que os eventos e são uma partição do espaço amostral.

PASSO 2

Anotar as probabilidades dadas no enunciado:

ã
ã

PASSO 3

Temos e eventos que formam uma partição do espaço amostral, temos as probabilidade desses eventos ocorrerem e temos também a probabilidade condicional do velejador ganhar dado que esses eventos ocorreram, então podemos aplicar o teorema da probabilidade total:

E aí? Acha que foi?

Vamos treinar mais um pouco com os exercícios, beleza?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de 1 4     para A, de 1 5     para B e de 1 3     para C . Calcule a probabilidade:

  1. de que o problema seja resolvido;
  2. de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
  3. condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.

Passo 1

Inicialmente, vamos nomear os nossos eventos.

A : p e s q u i s a d o r   A   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

B : p e s q u i s a d o r   B   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

C : p e s q u i s a d o r   C   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

R : p r o b l e m a   s e r   r e s o l v i d o

D : p e l o   m e n o s   2   r e s o l v e r e m   o   p r o b l e m a

Anotamos também os dados do enunciado:

P A = 1 4   ,     P B = 1 5     ,     P C = 1 3

Passo 2

(a)

Vamos ter que calcular a prob. do problema ser resolvido,

P R =   ?

Com as informações que temos no enunciado iremos utilizar o caminho do complementar para resolver essa questão. Como assim? Vou te explicar agora!!

A gente sabe que a prob. do problema ser resolvido é 1 menos a prob. de ele não ser resolvido.

P R = 1 - P R c

Concorda?!

Fazemos dessa forma porque conseguimos calcular a probabilidade de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão... Vamos ver como vai funcionar?!

Passo 3

A prob. P ( R c ) é a prob. de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão;

Temos que

P A c = 3 4

P B c = 4 5

e

P C c = 2 3

Assim, vamos ter que P ( R c ) será a interseção desses três:

P R c = P ( A c ∩ B c ∩ C c )

= 3 4 × 4 5 × 2 3

= 24 60                          

Beleza?!

Passo 4

Com isso podemos substituir e encontrar o que queremos.

P R = 1 - P R c

P R = 1 - 24 60 = 36 60

P R = 0,6

Então a probabilidade do problema ser resolvido é de 60%.

Passo 5

(b)

Bom, vamos calcular agora P ( D ) .

Teremos os seguintes casos de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão:

A ∩ B ∩ C

A c ∩ B ∩ C    

A ∩ B c ∩ C    

A ∩ B ∩ C c

Logo, A prob. de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão será:

P D = P A ∩ B ∩ C     ∪   A c ∩ B ∩ C     ∪     A ∩ B c ∩ C     ∪     A ∩ B ∩ C c

Como os eventos A ∩ B ∩ C ,   ( A c ∩ B ∩ C ) ,     ( A ∩ B c ∩ C )     e     ( A ∩ B ∩ C c ) são mutuamente exclusivos (não haverá interseção entre eles pois as pesquisas são independentes) é só calcular cada interseção e somar.

P D = P A ∩ B ∩ C )   +   P ( A c ∩ B ∩ C )   + P ( A ∩ B c ∩ C )   +     P ( A ∩ B ∩ C c

Passo 6

Calculando cada parcela:

P A ∩ B ∩ C = 1 4 × 1 5 × 1 3 = 1 60

P A c ∩ B ∩ C = 3 4 × 1 5 × 1 3 = 3 60

P A ∩ B c ∩ C = 1 4 × 4 5 × 1 3 = 4 60

P A ∩ B ∩ C c = 1 4 × 1 5 × 2 3 = 2 60

Então:

P D = 1 60 + 3 60 + 4 60 + 2 60 = 10 60

P D = 1 6

Passo 7

(c)

Aqui queremos calcular a condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores. Ou seja, vamos utilizar a probabilidade condicional rs.

Queremos P B D .

P B D = P B ∩ D P D

O valor de P ( D ) nós já temos.

P D = 1 6

Beleza?!

Passo 8

Basta calcularmos P ( B ∩ D ) .

Vimos há alguns passos atrás que

P D = P A ∩ B ∩ C )   +   P ( A c ∩ B ∩ C )   + P ( A ∩ B c ∩ C )   +     P ( A ∩ B ∩ C c

Aqui só vamos pegar aqueles que contenham B, beleza?!

Então,

P B ∩ D = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C c + P ( A c ∩ B ∩ C )

Concorda? A probabilidade de B ser um dos que resolveu o problema é isso aí mesmo num é? Beleza então.

Usando os valores que a gente já calculou no passo 6.

P B ∩ D = 1 60 + 2 60 + 3 60 = 6 60

Passo 9

Agora é só substituir na fórmula da prob. Condicional:

P B     D ) = 6 60 1 6 = 0,6

Resposta

a   0,6

b 1 6

c   0,6

Exercício Resolvido #2

Cada uma de 3 caixas possui 2 gavetas. A primeira caixa contém uma moeda de ouro em cada gaveta, a segunda caixa contém 2 moedas de prata em cada gaveta, e a terceira caixa, uma moeda de ouro em uma gaveta, e uma de prata na outra. Uma caixa é escolhida ao acaso; uma de suas gavetas é escolhida ao acaso e aberta, encontrando-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade que a moeda da outra gaveta seja também de ouro?

Passo 1

Vamos chamar de:

A → p r i m e i r a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

B → s e g u n d a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

Passo 2

Usando probabilidade condicional a gente sabe que a probabilidade da segunda moeda ser de ouro sabendo que a primeira já foi de ouro é dada pela fórmula:

P B A = P A ∩ B P A

E é exatamente isso que a gente precisa calcular.

Passo 3

Vamos por partes.

P ( A ∩ B ) é a probabilidade da primeira e da segunda moeda serem de ouro, certo?

Só que isso só acontece se escolherem a caixa I, concorda?

Então:

P A ∩ B = P c a i x a   1 = 1 / 3

Passo 4

Agora temos que calcular a probabilidade da primeira moeda ser de ouro.

Pra isso, vamos usar o teorema da probabilidade total.

P A = P A c a i x a   I . P c a i x a   I + P A c a i x a   I I . P c a i x a   I I + P A c a i x a   I I I . P c a i x a   I I I

Probabilidade da primeira moeda ser de ouro é a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa I vezes a probabilidade de escolhermos a caixa I, mais a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa II vezes a prob. de escolhermos a caixa II e a mesma coisa pra III.

Como todas as moedas da caixa I são de ouro → P A c a i x a   I = 1

Como na II não temos moedas de ouro → P A c a i x a   I I = 0

E na III temos uma de ouro → P A c a i x a   I I I = 0,5

E a probabilidade de ser escolher qualquer caixa é:

P c a i x a   I = P c a i x a   I I = P c a i x a   I I I = 1 / 3

Passo 5

Agora só substituir na fórmula:

P A = 1 × 1 3 + 0 × 1 3 + 0,5 × 1 3

E:

P B A = 1 3 1 × 1 3 + 0 × 1 3 + 0,5 × 1 3 = 2 3

Que era exatamente o que a gente queria.

Resposta

2 3

Exercício Resolvido #3

Os colégios A, B e C têm as seguintes porcentagens de rapazes, respectivamente: 40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos, com reposição. Se o resultado for RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça), qual é a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C?

Passo 1

Primeira coisa que iremos fazer é anotar os dados do enunciado

Colégios

- A : 40% rapazes →   60% moças (Utilizamos o complementar)

- B: 20% rapazes →   80% moças

- C: 10% rapazes →   90% moças.

Evento D: Oito alunos são escolhidos ao acaso com reposição, sendo o resultado:

RRRMMMMM

Quero saber: Qual a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C, dado esse resultado o sorteio?

Ou seja, quero saber P C D .

Passo 2

Sabemos que:

P C D = P C ∩ D P D

Precisamos então calcular:

P C ∩ D e P ( D )

Passo 3

Cálculo de P C ∩ D

Queremos saber a probabilidade de ter retirado três rapazes e cinco moças na escola C.

8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 0.90 5 = 0,033

Cálculo de P(D)

Vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total:

P D = P D A P A + P D B . P B + P D C . P ( C )

P D = P A ∩ D + P B ∩ D + P C ∩ D

E quem será P A ∩ D ?

É a probabilidade de ter sorteado três rapazes e cinco moças na escola A.

8 ! 3 ! 5 ! 0,40 3 0,60 5

E P B ∩ D ?

8 ! 3 ! 5 ! 0,20 3 0,80 5

Assim:

P D = 8 ! 3 ! 5 ! 0,40 3 0,60 5 +   8 ! 3 ! 5 ! 0,20 3 0,80 5 +   8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 0.90 5

P D = 0,458

Substituindo teremos:

P C D = 0,033 0,458 = 0,072

Resposta

0,072

Exercício Resolvido #4

Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

  1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
  2. a embarcação Chez Moi vença a regata;
  3. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, tenham comparecido à regata condicionado ao fato de que a embarcação Chez Moi venceu a regata. Compare suas respostas dadas nos itens (b) e (c). A probabilidade aumentou ou diminuiu? Por que?

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

A :   Alberto participar da regata

B :   Bernardo participar da regata

A gente sabe que:

P A = 0,5

P B = 0,7

A probabilidade de pelo menos um deles comparecer é dada por:

P A ∩ B + P A C ∩ B + P A ∩ B C = 0,5   .   0,7 + 0,5   .   0,7 + 0,5   .   0,3 = 0,85

Passo 2

(b)

Chamando de:

V :   vencer a regata

A gente precisa calcular P ( V ) .

Existem 4 situações pra participação da regata.

A   e   B   participarem → A ∩ B

A   participar e   B   não → A ∩ B c

A   não participar e   B   sim → A c ∩ B

A   e   B   não participarem → A c ∩ B c

Passo 3

Pra calcular P ( V ) vamos usar o teorema da probabilidade total, levando em consideração as 4 situações discritas.

P V = P A ∩ B × P V A ∩ B + P A ∩ B c × P V A ∩ B c +

P A c ∩ B × P V A c ∩ B + P ( A c ∩ B c ) × P ( V | A c ∩ B c )

Se você ler com atenção o enunciado vai perceber que temos todos esses valores, lembrando que A e B são independentes e que P A c = 0,5 e P B c = 0,3 .

Passo 4

Do enunciado, a gente tira que:

P V A ∩ B = 0,80

P V A ∩ B c = P V A c ∩ B = 0,50

P V A c ∩ B c = 0,20

Substituindo os valores:

P V = 0,5 × 0,7 × 0,8 + 0,5 × 0,3 × 0,5 + 0,5 × 0,7 × 0,5 + 0,5 × 0,3 × 0,2

P V = 0,28 + 0,075 + 0,175 + 0,03

P V = 0,56

Passo 5

(c)

Agora a gente tem que calcular P ( A ∪ B | V ) .

Vamos usar prob. Condicional aqui.

P A ∪ B V = P ( [ A ∪ B ] ∩ V ) P V

Sendo que:

P V = 0,56

E:

P A ∪ B ∩ V = 0,28 + 0,075 + 0,175 = 0,53

É a probabilidade do barco vencer a regata e Bernardo ou Alberto estarem presentes, que foram calculadas como parcelas na hora que a gente calculou a probabilidade total do barco vencer a regata.

Substituindo os valores:

P A ∪ B V = 0,53 0,56 ≅ 0,95

Resposta

a   0 , 85

b   0,56

c   0,95

Exercício Resolvido #5

Um modelo de motor é fabricado por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de motores que B e que B e C produzem o mesmo número de motores. Sabe-se ainda que 2% das dos motores produzidos por A e por B são defeituosos, enquanto que 4% dos produzidos por C são defeituosos. Todos os motores produzidos são misturados e colocados em um depósito. Se do depósito for retirada um motor ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja defeituoso?

Passo 1

Vamos começar nomeando alguns eventos para nos organizarmos melhor:

D → m o t o r   s e r   d e f e i t u o s o

A → m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   A

B → m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   B

C → m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   C

É falado que A produz o dobro de motores que B produz, e B por outro lado produz o mesmo número de motores que C. Então podemos afirmar que A também possui o dobro de C. Então proporcionalmente podemos dizer:

P A = 0,5

P B = P C = 0,25

Também é dado pra gente as probabilidades de defeito para cada empresa, que nada mais são que probabilidades condicionais, certo? Afinal, estão dando uma probabilidade de defeito “dado que o motor veio de tal empresa...”. Elas são:

P D A = P D B = 0,02

P D C = 0,04

Passo 2

Ok! Mas a questão quer saber a probabilidade da amostra sorteada ser defeituosa. Pelo teorema da probabilidade total calculamos essa probabilidade fazendo:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

Aqui também podemos lembrar dos significados da multiplicação e da adição de probabilidades! Quando multiplicamos estamos falando de um evento E outro acontecerem, e quando somamos estamos falando de um evento OU outro acontecerem. E para ter a probabilidade do motor ser defeituoso é isso aí que escrevemos né?

“A probabilidade do motor vir de A E ser defeituoso (sabendo que veio de A), OU a probabilidade do motor vir de B E ser defeituoso (sabendo que veio de B), OU a probabilidade de vir de C E ser defeituoso (sabendo que veio de C).”

Dessa forma estamos incluindo todas as possíveis origens de um motor defeituoso!

Agora voltando a nossa equação, vamos substuitir com os valores achados no Passo 1:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

P D = 0,5 × 0,02 + 0,25 × 0,02 + 0,25 × 0,04 = 0,025 = 2,5 %

Resposta

2,5 %

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