Teorema da Probabilidade Total

Teoria Completa

Bom galera, agora vamos aprender teoremas muito importantes no cálculo de probabilidades.

Vamos supor que temos um espaço amostral Ω e que ele é formado por vários eventos: A 1 , A 2 , A 3 , todos mutuamente exclusivos (interseção vazia). Veja na imagem:

Ω

Agora digamos que temos um evento qualquer B desse Ω , que depende dos eventos anteriores.

Ω

A 1 B ,   A 2 B ,   A 3 B   e   A 4 B são todos mutuamente exclusivos também, percebeu? Dizemos então que:

B = ( A 1 B ) A 2 B A 3 B A 4 B

E logo:

P B = P A 1 B + P A 2 B + P A 3 B + P A 4 B

Usando agora probabilidade condicional, lembra? P A i B = P B A i P ( A i )

i = 1 4 P B A i P ( A i )

Se generalizarmos teremos a definição formal do teorema da probabilidade total:

P B = i = 1 n P B A i P ( A i )

Esse teorema vai nos permitir calcular a probabilidade de um evento a partir do conjunto de probabilidades condicionais que envolvam esse evento.

Ficou confuso né ? Tudo bem, calma. Vamos aquele exemplo show que vai deixar tudo mais claro.

Exemplo: Um velejador experiente tem 50% de chance de vencer uma regata sob vento forte, porém sem a presença de vento forte, suas chances caem para 25%. As autoridades do serviço de meteorologia da cidade que sediará a próxima regata estimam em 30% a probabilidade de que ocorra vento forte durante a competição. Sabendo disso, qual a probabilidade do velejador ser o vencedor ?

Solução:

Passo 1) Definir os eventos

V : vencer a regata         W : ventar forte         N W : não ventar forte

Anotar as probabilidades dadas no enunciado

P V W = prob. de vencer dado que ventou forte = 0,50

P V N W = prob. de vencer dado que não ventou forte = 0,25

P W = prob. de ventar forte =   0,30

P N W = prob. de não ventar forte = 1 - 0,30 = 0,70

O que queremos? P V =   ? a probabilidade total do velejador vencer a regata, com ou sem vento forte.

Passo 2) Como vimos, sabendo as probabilidades condicionais que envolvem o evento V que são as prob. do velejador vencer a regata tendo vento forte ou não tendo vento forte, temos como saber também a sua probabilidade total P ( V ) .

P V = P V W P W + P V N W P ( N W )

P V = 0,50 × 0,30 + 0,25 × 0,70

P V = 0,325

Eai, acha que foi? Vamos treinar mais um pouco nos exercícios, beleza?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, ProbEst, P1/2014.1, 1

Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de 1 4     para A, de 1 5     para B e de 1 3     para C . Calcule a probabilidade:

  1. de que o problema seja resolvido;
  2. de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
  3. condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.
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Passo 1

Inicialmente, vamos nomear os nossos eventos.

A : p e s q u i s a d o r   A   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

B : p e s q u i s a d o r   B   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

C : p e s q u i s a d o r   C   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

R : p r o b l e m a   s e r   r e s o l v i d o

D : p e l o   m e n o s   2   r e s o l v e r e m   o   p r o b l e m a

Anotamos também os dados do enunciado:

P A = 1 4   ,     P B = 1 5     ,     P C = 1 3

Passo 2

(a)

Vamos ter que calcular a prob. do problema ser resolvido,

P R =   ?

A gente sabe que a prob. do problema ser resolvido é 1 menos a prob. de ele não ser resolvido.

P R = 1 - P R c

Passo 3

A prob. P ( R c ) é a prob. de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão;

P R c = P ( A c B c C c )

= 3 4 × 4 5 × 2 3

= 24 60                          

Passo 4

Com isso podemos substituir e encontrar o que queremos.

P R = 1 - P R c

P R = 1 - 24 60 = 36 60

P R = 0,6

Passo 5

(b)

Bom, vamos calcular agora P ( D ) .

A prob. de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão será:

P D = P A B C       A c B C         A B c C         A B C c

Como os eventos A B C ,   ( A c B C ) ,     ( A B c C )     e     ( A B C c ) são mutuamente exclusivos, é só calcular cada interseção e somar.

P D = P A B C )   +   P ( A c B C )   + P ( A B c C )   +     P ( A B C c

Passo 6

Calcular cada parcela.

P A B C = 1 4 × 1 5 × 1 3 = 1 60

P A c B C = 3 4 × 1 5 × 1 3 = 3 60

P A B c C = 1 4 × 4 5 × 1 3 = 4 60

P A B C c = 1 4 × 1 5 × 2 3 = 2 60

Então:

P D = 1 60 + 3 60 + 4 60 + 2 60 = 10 60

P D = 1 6

Passo 7

(c)

Ah, já tá ligado né?

Agora uma prob. condicional pra fazer.

Queremos P B     D ) .

P B     D ) = P B D P D

O valor de P ( D ) nós já temos.

P D = 1 6

Passo 8

Basta calcularmos P ( B D ) .

P B D = P A B C + P A B C c + P ( A c B C )

Concorda ? probabilidade de B ser um dos que resolveu o problema é isso aí mesmo num é? Beleza então.

Usando os valores que a gente já calculou no passo 6.

P B D = 1 60 + 2 60 + 3 60 = 6 60

Passo 9

Terminando, só substituir na fórmula da prob. condicional.

P B     D ) = 6 60 1 6 = 0,6

Resposta

a   0,6

b 1 6

c   0,6

Exercício Resolvido #2

UERJ-L1-PROF FABIANO-14

Cada uma de 3 caixas possui 2 gavetas. A primeira caixa contém uma moeda de ouro em cada gaveta, a segunda caixa contém 2 moedas de prata em cada gaveta, e a terceira caixa, uma moeda de ouro em uma gaveta, e uma de prata na outra. Uma caixa é escolhida ao acaso; uma de suas gavetas é escolhida ao acaso e aberta, encontrando-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade que a moeda da outra gaveta seja também de ouro?

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Passo 1

Vamos chamar de:

A p r i m e i r a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

B s e g u n d a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

Passo 2

Usando probabilidade condicional a gente sabe que a probabilidade da segunda moeda ser de ouro sabendo que a primeira já foi de ouro é dada pela fórmula:

P B A = P A B P A

E é exatamente isso que a gente precisa calcular.

Passo 3

Vamos por partes.

P ( A B ) é a probabilidade da primeira e da segunda moeda serem de ouro, certo?

Só que isso só acontece se escolherem a caixa I, concorda?

Então:

P A B = P c a i x a   1 = 1 / 3

Passo 4

Agora temos que calcular a probabilidade da primeira moeda ser de ouro.

Pra isso, vamos usar o teorema da probabilidade total.

P A = P A c a i x a   I . P c a i x a   I + P A c a i x a   I I . P c a i x a   I I + P A c a i x a   I I I . P c a i x a   I I I

Probabilidade da primeira moeda ser de ouro é a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa I vezes a probabilidade de escolhermos a caixa I, mais a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa II vezes a prob. de escolhermos a caixa II e a mesma coisa pra III.

Como todas as moedas da caixa I são de ouro P A c a i x a   I = 1

Como na II não temos moedas de ouro P A c a i x a   I I = 0

E na III temos uma de ouro P A c a i x a   I I I = 0,5

E a probabilidade de ser escolher qualquer caixa é:

P c a i x a   I = P c a i x a   I I = P c a i x a   I I I = 1 / 3

Passo 5

Agora só substituir na fórmula:

P A = 1 × 1 3 + 0 × 1 3 + 0,5 × 1 3

E:

P B A = 1 3 1 × 1 3 + 0 × 1 3 + 0,5 × 1 3 = 2 3

Que era exatamente o que a gente queria.

Resposta

2 3

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,44-125

Os colégios A, B e C têm as seguintes porcentagens de rapazes, respectivamente: 40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos, com reposição. Se o resultado for RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça), qual é a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C?

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Passo 1

Primeira coisa que iremos fazer é anotar os dados do enunciado

Colégios

- A : 40% rapazes   60% moças (Utilizamos o complementar)

- B: 20% rapazes   80% moças

- C: 10% rapazes   90% moças.

Evento D: Oito alunos são escolhidos ao acaso com reposição, sendo o resultado:

RRRMMMMM

Quero saber: Qual a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C, dado esse resultado o sorteio?

Ou seja, quero saber P C D .

Passo 2

Sabemos que:

P C D = P C D P D

Precisamos então calcular:

P C D e P ( D )

Passo 3

Cálculo de P C D

Queremos saber a probabilidade de ter retirado três rapazes e cinco moças na escola C.

8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 0.90 5 = 0,033

Cálculo de P(D)

Vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total:

P D = P D A P A + P D B . P B + P D C . P ( C )

P D = P A D + P B D + P C D

E quem será P A D ?

É a probabilidade de ter sorteado três rapazes e cinco moças na escola A.

8 ! 3 ! 5 ! 0,40 3 0,60 5

E P B D ?

8 ! 3 ! 5 ! 0,20 3 0,80 5

Assim:

P D = 8 ! 3 ! 5 ! 0,40 3 0,60 5 +   8 ! 3 ! 5 ! 0,20 3 0,80 5 +   8 ! 3 ! 5 ! . 0,10 3 0.90 5

P D = 0,458

Substituindo teremos:

P C D = 0,033 0,458 = 0,072

Resposta

0,072

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P1-2012.2.-1(b)(c)

Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

  1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
  2. a embarcação Chez Moi vença a regata;
  3. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, tenham comparecido à regata condicionado ao fato de que a embarcação Chez Moi venceu a regata. Compare suas respostas dadas nos itens (b) e (c). A probabilidade aumentou ou diminuiu? Por que?
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Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

A :   Alberto participar da regata

B :   Bernardo participar da regata

A gente sabe que:

P A = 0,5

P B = 0,7

A probabilidade de pelo menos um deles comparecer é dada por:

P A B + P A C B + P A B C = 0,5   .   0,7 + 0,5   .   0,7 + 0,5   .   0,3 = 0,85

Passo 2

(b)

Chamando de:

V :   vencer a regata

A gente precisa calcular P ( V ) .

Existem 4 situações pra participação da regata.

A   e   B   participarem A B

A   participar e   B   não A B c

A   não participar e   B   sim A c B

A   e   B   não participarem A c B c

Passo 3

Pra calcular P ( V ) vamos usar o teorema da probabilidade total, levando em consideração as 4 situações discritas.

P V = P A B × P V A B + P A B c × P V A B c +

P A c B × P V A c B + P ( A c B c ) × P ( V | A c B c )

Se você ler com atenção o enunciado vai perceber que temos todos esses valores, lembrando que A e B são independentes e que P A c = 0,5 e P B c = 0,3 .

Passo 4

Do enunciado, a gente tira que:

P V A B = 0,80

P V A B c = P V A c B = 0,50

P V A c B c = 0,20

Substituindo os valores:

P V = 0,5 × 0,7 × 0,8 + 0,5 × 0,3 × 0,5 + 0,5 × 0,7 × 0,5 + 0,5 × 0,3 × 0,2

P V = 0,28 + 0,075 + 0,175 + 0,03

P V = 0,56

Passo 5

(c)

Agora a gente tem que calcular P ( A B | V ) .

Vamos usar prob. Condicional aqui.

P A B V = P ( [ A B ] V ) P V

Sendo que:

P V = 0,56

E:

P A B V = 0,28 + 0,075 + 0,175 = 0,53

É a probabilidade do barco vencer a regata e Bernardo ou Alberto estarem presentes, que foram calculadas como parcelas na hora que a gente calculou a probabilidade total do barco vencer a regata.

Substituindo os valores:

P A B V = 0,53 0,56 0,95

Resposta

a   0 , 85

b   0,56

c   0,95

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Um modelo de motor é fabricado por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de motores que B e que B e C produzem o mesmo número de motores. Sabe-se ainda que 2% das dos motores produzidos por A e por B são defeituosos, enquanto que 4% dos produzidos por C são defeituosos. Todos os motores produzidos são misturados e colocados em um depósito. Se do depósito for retirada um motor ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja defeituoso?

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Passo 1

Vamos começar nomeando alguns eventos para nos organizarmos melhor:

D m o t o r   s e r   d e f e i t u o s o

A m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   A

B m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   B

C m o t o r   v i r   d a   e m p r e s a   C

É falado que A produz o dobro de motores que B produz, e B por outro lado produz o mesmo número de motores que C. Então podemos afirmar que A também possui o dobro de C. Então proporcionalmente podemos dizer:

P A = 0,5

P B = P C = 0,25

Também é dado pra gente as probabilidades de defeito para cada empresa, que nada mais são que probabilidades condicionais, certo? Afinal, estão dando uma probabilidade de defeito “dado que o motor veio de tal empresa...”. Elas são:

P D A = P D B = 0,02

P D C = 0,04

Passo 2

Ok! Mas a questão quer saber a probabilidade da amostra sorteada ser defeituosa. Pelo teorema da probabilidade total calculamos essa probabilidade fazendo:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

Aqui também podemos lembrar dos significados da multiplicação e da adição de probabilidades! Quando multiplicamos estamos falando de um evento E outro acontecerem, e quando somamos estamos falando de um evento OU outro acontecerem. E para ter a probabilidade do motor ser defeituoso é isso aí que escrevemos né?

“A probabilidade do motor vir de A E ser defeituoso (sabendo que veio de A), OU a probabilidade do motor vir de B E ser defeituoso (sabendo que veio de B), OU a probabilidade de vir de C E ser defeituoso (sabendo que veio de C).”

Dessa forma estamos incluindo todas as possíveis origens de um motor defeituoso!

Agora voltando a nossa equação, vamos substuitir com os valores achados no Passo 1:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

P D = 0,5 × 0,02 + 0,25 × 0,02 + 0,25 × 0,04 = 0,025 = 2,5 %

Resposta

2,5 %

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