Teorema da Probabilidade Total

Teoria Completa

Bom galera, agora vamos aprender teoremas muito importantes no cálculo de probabilidades.

Vamos supor que temos um espaço amostral Ω e que ele é formado por vários eventos: A 1 , A 2 , A 3 , … todos mutuamente exclusivos (interseção vazia). Veja na imagem:

Ω

Agora digamos que temos um evento qualquer B desse Ω , que depende dos eventos anteriores.

Ω

A 1 ∩ B ,   A 2 ∩ B ,   A 3 ∩ B   e   A 4 ∩ B são todos mutuamente exclusivos também, percebeu? Dizemos então que:

B = ( A 1 ∩ B ) ∪ A 2 ∩ B ∪ A 3 ∩ B ∪ A 4 ∩ B

E logo:

P B = P A 1 ∩ B + P A 2 ∩ B + P A 3 ∩ B + P A 4 ∩ B

Usando agora probabilidade condicional, lembra? P A i ∩ B = P B A i ⋅ P ( A i )

∑ i = 1 4 P B A i ⋅ P ( A i )

Se generalizarmos teremos a definição formal do teorema da probabilidade total:

P B = ∑ i = 1 n P B A i ⋅ P ( A i )

Esse teorema vai nos permitir calcular a probabilidade de um evento a partir do conjunto de probabilidades condicionais que envolvam esse evento.

Ficou confuso né ? Tudo bem, calma. Vamos aquele exemplo show que vai deixar tudo mais claro.

Exemplo: Um velejador experiente tem 50% de chance de vencer uma regata sob vento forte, porém sem a presença de vento forte, suas chances caem para 25%. As autoridades do serviço de meteorologia da cidade que sediará a próxima regata estimam em 30% a probabilidade de que ocorra vento forte durante a competição. Sabendo disso, qual a probabilidade do velejador ser o vencedor ?

Solução:

Passo 1) Definir os eventos

V : vencer a regata         W : ventar forte         N W : não ventar forte

Anotar as probabilidades dadas no enunciado

P V W = prob. de vencer dado que ventou forte = 0,50

P V N W = prob. de vencer dado que não ventou forte = 0,25

P W = prob. de ventar forte =   0,30

P N W = prob. de não ventar forte = 1 - 0,30 = 0,70

O que queremos? P V =   ? a probabilidade total do velejador vencer a regata, com ou sem vento forte.

Passo 2) Como vimos, sabendo as probabilidades condicionais que envolvem o evento V que são as prob. do velejador vencer a regata tendo vento forte ou não tendo vento forte, temos como saber também a sua probabilidade total P ( V ) .

P V = P V W ⋅ P W + P V N W ⋅ P ( N W )

P V = 0,50 × 0,30 + 0,25 × 0,70

P V = 0,325

Eai, acha que foi? Vamos treinar mais um pouco nos exercícios, beleza?

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Exercício Resolvido #1

UFRJ, ProbEst, P1/2014.1, 1

Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de 1 4     para A, de 1 5     para B e de 1 3     para C . Calcule a probabilidade:

  1. de que o problema seja resolvido;
  2. de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
  3. condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.
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Passo 1

Inicialmente, vamos nomear os nossos eventos.

A : p e s q u i s a d o r   A   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

B : p e s q u i s a d o r   B   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

C : p e s q u i s a d o r   C   r e s o l v e r   o   p r o b l e m a

R : p r o b l e m a   s e r   r e s o l v i d o

D : p e l o   m e n o s   2   r e s o l v e r e m   o   p r o b l e m a

Anotamos também os dados do enunciado:

P A = 1 4   ,     P B = 1 5     ,     P C = 1 3

Passo 2

(a)

Vamos ter que calcular a prob. do problema ser resolvido,

P R =   ?

A gente sabe que a prob. do problema ser resolvido é 1 menos a prob. de ele não ser resolvido.

P R = 1 - P R c

Passo 3

A prob. P ( R c ) é a prob. de nem o A , nem o B e nem o C resolverem a questão;

P R c = P ( A c ∩ B c ∩ C c )

= 3 4 × 4 5 × 2 3

= 24 60                          

Passo 4

Com isso podemos substituir e encontrar o que queremos.

P R = 1 - P R c

P R = 1 - 24 60 = 36 60

P R = 0,6

Passo 5

(b)

Bom, vamos calcular agora P ( D ) .

A prob. de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão será:

P D = P A ∩ B ∩ C     ∪   A c ∩ B ∩ C     ∪     A ∩ B c ∩ C     ∪     A ∩ B ∩ C c

Como os eventos A ∩ B ∩ C ,   ( A c ∩ B ∩ C ) ,     ( A ∩ B c ∩ C )     e     ( A ∩ B ∩ C c ) são mutuamente exclusivos, é só calcular cada interseção e somar.

P D = P A ∩ B ∩ C )   +   P ( A c ∩ B ∩ C )   + P ( A ∩ B c ∩ C )   +     P ( A ∩ B ∩ C c

Passo 6

Calcular cada parcela.

P A ∩ B ∩ C = 1 4 × 1 5 × 1 3 = 1 60

P A c ∩ B ∩ C = 3 4 × 1 5 × 1 3 = 3 60

P A ∩ B c ∩ C = 1 4 × 4 5 × 1 3 = 4 60

P A ∩ B ∩ C c = 1 4 × 1 5 × 2 3 = 2 60

Então:

P D = 1 60 + 3 60 + 4 60 + 2 60 = 10 60

P D = 1 6

Passo 7

(c)

Ah, já tá ligado né?

Agora uma prob. condicional pra fazer.

Queremos P B     D ) .

P B     D ) = P B ∩ D P D

O valor de P ( D ) nós já temos.

P D = 1 6

Passo 8

Basta calcularmos P ( B ∩ D ) .

P B ∩ D = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C c + P ( A c ∩ B ∩ C )

Concorda ? probabilidade de B ser um dos que resolveu o problema é isso aí mesmo num é? Beleza então.

Usando os valores que a gente já calculou no passo 6.

P B ∩ D = 1 60 + 2 60 + 3 60 = 6 60

Passo 9

Terminando, só substituir na fórmula da prob. condicional.

P B     D ) = 6 60 1 6 = 0,6

Resposta

a   0,6

b 1 6

c   0,6

Exercício Resolvido #2

UERJ-L1-PROF FABIANO-14

Cada uma de 3 caixas possui 2 gavetas. A primeira caixa contém uma moeda de ouro em cada gaveta, a segunda caixa contém 2 moedas de prata em cada gaveta, e a terceira caixa, uma moeda de ouro em uma gaveta, e uma de prata na outra. Uma caixa é escolhida ao acaso; uma de suas gavetas é escolhida ao acaso e aberta, encontrando-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade que a moeda da outra gaveta seja também de ouro?

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Passo 1

Vamos chamar de:

A → p r i m e i r a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

B → s e g u n d a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

Passo 2

Usando probabilidade condicional a gente sabe que a probabilidade da segunda moeda ser de ouro sabendo que a primeira já foi de ouro é dada pela fórmula:

P B A = P A ∩ B P A

E é exatamente isso que a gente precisa calcular.

Passo 3

Vamos por partes.

P ( A ∩ B ) é a probabilidade da primeira e da segunda moeda serem de ouro, certo?

Só que isso só acontece se escolherem a caixa I, concorda?

Então:

P A ∩ B = P c a i x a   1 = 1 / 3

Passo 4

Agora temos que calcular a probabilidade da primeira moeda ser de ouro.

Pra isso, vamos usar o teorema da probabilidade total.

P A = P A c a i x a   I . P c a i x a   I + P A c a i x a   I I . P c a i x a   I I + P A c a i x a   I I I . P c a i x a   I I I