Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

Teoria Completa

Eventos Independentes

Cara, imagina que você tem uma moeda aí nas suas mãos. Vamos supor que você lance essa moeda uma vez, e tenha como resultado coroa. Se você lançar essa moeda novamente, após esse primeiro lançamento, essa coroa vai ter alguma influência sobre o próximo resultado? Não!

Como o nome já diz, eventos independentes são aqueles que não dependem um do outro, ou seja, o fato de um deles acontecer não altera a probabilidade do outro ocorrer.

Humm.. mas como vamos saber se dois eventos são independentes ou não? É exatamente isso que vamos descobrir agora. Vem comigo!

Se dois eventos são independentes, então:

P A B = P A P ( B )

Atenção!

Quando falamos de mais de dois eventos, três eventos (A, B e C) por exemplo, para eles serem completamente independentes, precisamos que:

P A B = P A . P B

P A C = P A . P C

P B C = P B . P C

P A B C = P A . P B . P C

Se essas quatro equações não forem verdadeiras, não podemos falar que esses três eventos são completamente independentes. Contudo, se as três primeiras forem verdades, podemos falar que eles são mutualmente independentes.

Eventos Mutuamente Exclusivos

E tudo volta à Teoria dos Conjuntos...

Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando eles são disjuntos, ou seja, quando não possuem interseção.

Isso quer dizer que

A B =

Isso ocorre, por exemplo, se pensarmos nos seguintes eventos no lançamento de um dado:

A : s a i r   n ú m e r o   p a r

B : s a i r   n ú m e r o   í m p a r

Esses eventos são mutuamente exclusivos, já que não tem como um número ser par e ímpar ao mesmo tempo!

Com isso podemos concluir outras coisas como:

P A B = P A + P B - P A B

Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, logo P A B = 0 , portanto:

P A B = P A + P B

Além disso, quando dois eventos não tiverem interseção a probabilidade condicional também irá mudar. Vamos dar uma olhada na fórmula:

P A B = P A B P B

Como P A B = 0   teremos:

P A B = 0 P B = 0

Ou seja, quando falamos de eventos mutualmente exclusivos podemos afirmar que a probabilidade condicional deles, um em relação ao outro é ZERO.

Importante!

Não podemos confundir eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS com eventos INDEPENDENTES.

Eventos independentes são aqueles que:

P A B = P A . P ( B )

Nada podemos afirmar sobre eles serem mutualmente exclusivos ou não. E vice versa!

Partiu exercício pra fixar melhor esses paranauês todos aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,115-21

Na tabela abaixo, os números que aparecem são as probabilidades relacionadas com a ocorrência de A ,   B   e   A B etc. Assim P A = 0,10 , enquanto P A B = 0,04 .

Verifique se A e B são independentes.

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Passo 1

Sabemos que dois eventos para serem considerados independentes

P A B = P A P ( B )

Tem que valer.

Analisando a tabela, notamos que a primeira linha resulta em P(A), a segunda linha em P ( A c ) , a primeira coluna em P(B) e a segunda coluna em P ( B c ) .

Verificando então:

P(A) = 0,10

P(B) = 0,12

P A B = P A . P B = 0,10.0,12 = 0,012

Contudo na tabela temos que P A B = 0,04 . Ou seja, A e B não são independentes.

Resposta

Não.

Exercício Resolvido #2

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, 48-02

Se P A B = 0,8 ; P A = 0,5 e P B = r , determine o valor de r no caso de:

(a) A e B serem mutuamente exclusivos.

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Passo 1

(a)

Para eventos mutuamente exclusivos, a gente sabe que:

P A B = P A + P ( B )

Então, substituindo os valores do problema:

0,8 = 0,5 + r

r = 0,3

Resposta

a   0,3

Exercício Resolvido #3

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 49-03

Verifique se é válida a afirmação abaixo

Se P A = 1 3 e   P B A = 3 5 então A e B não podem ser disjuntos.

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Passo 1

Eventos disjuntos? O que é isso mesmo?

Disjuntos   Interseção igual a zero Mutualmente Exclusivos

Se eles fossem disjuntos, teríamos que: P A B = 0

E assim

P B A = P B A P A = 0

Certo?

Dessa forma se P B A 0   não podem ser disjuntos!

Resposta

Exercício Resolvido #4

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 48 - 01

Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B) =0,5. Calcule:

a) P ( A B )

b) P ( A B )

c) P ( A c )

d) P ( A B c )

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Passo 1

Mutuamente exclusivos   Interseção igual a zero!

Assim, P A B = 0

Passo 2

b) P ( A B )

Sabemos que podemos escrever

P A B = P A + P B - P A B

Como P A B = 0

P A B = P A + P B = 0,3 + 0,5 = 0,8

Passo 3

c) P ( A c )

Opa, o que significa A c mesmo? É o complementar de A, ou seja, tudo que pertence ao meu espaço amostral mas NÃO pertence a A.

P A c = 1 - P A = 1 - 0,3 = 0,7

Passo 4

d) P ( A B c )

Seguindo a mesma linha de raciocínio da letra (c)

P A B c = 1 - P A B = 1 - 0,8 = 0,2

Resposta

a) 0

b) 0,8

c) 0,7

d) 0,2

Exercício Resolvido #5

UFRJ, ProbEst, P1/2012.2, 1

Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

  1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

A :   Alberto participar da regata

B :   Bernardo participar da regata

No exercício ele quer a probabilidade de A ou B P ( A B ) .

A gente sabe que:

P A B = P A + P B - P ( A B )

E que:

P A = 0,5

P B = 0,7

Passo 2

O exercício nos indica também que A e B são eventos independentes, então:

P A B = P A . P ( B )

Com isso:

P A B = P A + P B - P A . P ( B )

Substituindo os valores:

P A B = 0,5 + 0,7 - 0,5 × 0,7

= 0,85                        

Resposta

a   0,85

Exercício Resolvido #6

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 115-19

As probabilidades de que dois eventos independentes ocorra são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade:

a) de que nenhum desses eventos ocorra?

b) de que pelo menos um desses eventos ocorra?

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Passo 1

Vamos começar dando nome aos bois...

Seja A o evento cujo P(A) = p e B o evento cujo P(B) = q.

Se o enunciado afirma que ele são independentes, concluímos que:

P A B = P A . P B = p . q

Passo 2

a) Qual a probabilidade de que nenhum desses eventos ocorra?

Vamos interpretar isso: A probabilidade de que nenhum ocorra é 1 – (probabilidade de pelo menos um ocorrer) certo?

E teremos por sua vez, a probabilidade de pelo menos um ocorrer é P ( A B ) .

Mas quem é A B ?

Sabemos que: A B = A + B - A B ou seja P A B = P ( A ) + P ( B ) - P A B .

Substituindo teremos:

P A B = p + q - p q

Então a probabilidade de que nenhum evento ocorra será: 1 - p - q + p q

Passo 3

b) Qual a probabilidade de que pelo menos um desses eventos ocorra

Essa probabilidade nós já calculamos na letra (a). É P A B = p + q - p q

Resposta

a) 1 - p - q + p q

b) p + q - p q

Exercício Resolvido #7

PUCRIO-P1-2015.1-1B

b) Considere a seguinte afirmação: Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então P A B = P ( A ) , indicando que a ocorrência do evento B não traz informação sobre a probabilidade de ocorrência do evento A . Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então, a gente até usou essa ideia no conteúdo pra simplificar. Mas isso confunde muito, dizer que dois eventos são mutuamente exclusivos não significa que eles são independentes, só significa que a interseção deles é vazia.

De acordo com o enunciado, usando a fórmula a probabilidade condicional, a gente teria:

P A B = P A B P B P A B = P A B × P B

Usando P A B = P ( A ) ...

P A B = P ( A ) × P ( B )

Que é a ideia de eventos independentes. Ou seja, a afirmação está erraaada. Porque uma coisa não implica na outra.

Passo 2

Na realidade, ao dizer que os eventos são mutuamente exclusivos, a gente diz que a interseção deles é zero. Então:

P A B = P A B P B = 0 P B

P A B = 0

Resposta

Exercício Resolvido #8

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 126-55

(a) Se A, B e C são independentes, prove que A   e   B C são independentes.

(b) Nas mesmas condições, prove que A B   e   C   são independentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! O que significa dizer que A, B e C são independentes?

Quer dizer que P A B C = P A . P B . P ( C )

Pelas propriedades de conjuntos posso dizer que:

A B C = ( A B C )

Assim,

P A B C = P A B C

Como B e C são independentes podemos falar que

P B . P C = P ( B C )

Assim do lado esquerdo da igualdade teremos:

P A B C

E do lado direito da igualdade teremos:

P A . P ( B C )

Assim concluímos que

P A B C = P A . P ( B C )

Passo 2

Agora queremos mostrar que A B e C são independentes. Ou seja, queremos mostrar que:

P A B C = P A B . P ( C )

Essa é a nossa hipótese

A ideia agora é desenvolver cada lado da igualdade separadamente e comparar as respostas. Se forem iguais nossa hipótese é verdadeira, se não é falsa. Ok?

Lado esquerdo:

1º passo: Vamos chamar A B = D ok?

P A B C = P ( D C )

2º passo: Sabemos que:

P D C = P D + P C - P D C P D C = P D + P C - P ( D C )

Substituindo teremos:

P D C = P D + P C - P ( D C )

3º passo: Voltando com A e B na expressão teremos:

P A B C = P A B + P C - P ( A B C )

4º passo: Sabemos pelo 2º passo que podemos escrever P ( A B ) de outra forma, assim

P A B C = P A + P B - P ( A B ) + P C - P ( A B C )

5º passo: Agora vamos olhar para o P ( A B C ) ... Lembra que podemos “abrir” ele?

P A B C = P A + P B + P C - P ( A B ) - P ( A C ) - P ( B C ) + P ( A B C )

6º passo: Substituindo tudo na expressão e fazendo as contas

P A B C = P A + P B - P ( A B ) + P C -   [ P A + P B + P C - P ( A B ) - P ( A C ) - P ( B C ) + P A B C ]

P A B C =   P A C + P B C - P A B C ]

Agora guarda esse resultado e vamos olhar pro lado direito da nossa igualdade!

Lado direito:

1º passo: Podemos “abrir” o P A B né?

P A B . P C = P A + P B - P A . P B . P ( C )

2º passo: Fazendo a distribuitiva teremos

P A B . P C = P A . P C + P B P C - P A . P B . P C

P A B . P C = P ( A C ) + P B C - P ( A B C )

Opa! Percebe que chegamos a um resultado igual ao anterior? Ou seja, o resultado o lado direito é IGUAL ao resultado do lado esquerdo, o que significa que a nossa hipótese é verdadeira!

Resposta

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