Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos

Teoria Completa

Eventos Independentes

Fala Aíí!! Pensa comigo na seguinte situação: Imagine que uma moeda é lançada duas vezes. Aí eu vou e te pergunto qual a probabilidade de cair coroa no segundo lançamento? Você piraria??? Calmaaaa!!!!

Vamos tentar entender melhor a situação:

Vamos supor que você lance essa moeda uma vez, e tenha como resultado coroa. Se você lançar essa moeda novamente, após esse primeiro lançamento, essa coroa que você tirou no primeiro lançamento vai ter alguma influência sobre o próximo resultado? Não! É aqui que vai entrar os eventos independentes!!

Como o nome já diz, eventos independentes são aqueles que não dependem um do outro, ou seja, o fato de um deles acontecer não altera a probabilidade do outro ocorrer. Mas como calcular?

Voltando ao exemplo:

Vamos chamar nosso evento de evento A:

A :   o b t e r   c o r o a   n o   s e g u n d o   l a n ç a m e n t o

Temos as seguintes possibilidades:

Ou seja, nosso espaço amostral é 4.

Queremos as possibilidades do segundo laçamento ser coroa, certo? Então, temos as seguintes opções:

Ou seja, temos dois casos possíveis.

Vamos calcular P(A):

P ( A ) = 2 4 = 0,5

Essa foi fácil, né?

Humm.. mas como vamos saber se dois eventos são independentes ou não?

É exatamente isso que vamos descobrir agora. Vem comigo!

Se dois eventos são independentes, então:

P A ∩ B = P A ⋅ P ( B )

Ou seja, a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer é exatamente a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B.

Por exemplo, vamos acrescentar um evento B no nosso primeiro exemplo:

A :   o b t e r   c o r o a   n o   s e g u n d o   l a n ç a m e n t o

B :   o b t e r   c a r a   n o   p r i m e i r o   l a n ç a m e n t o

Qual a probabilidade dos dois eventos ocorrerem?

Sabemos que o fato de um evento ocorrer não tem ligação com o outro, certo? Então, são eventos independentes e queremos calcular P A ∩ B .

Vamos começar calculando P A :

P A = 1 2

Calculando P B :

P B = 1 2

Então:

P A ∩ B = P A ⋅ P ( B )

P A ∩ B = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4

Prontinho! Vamos verificar na tabela se isso é verdade?

Show de bola?!

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando eles são disjuntos, ou seja, quando não possuem interseção.

E tudo volta à Teoria dos Conjuntos...

Exemplo

Em um único lançamento de dado, qual a probabilidade de obter um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo?

Deu ruim, né? Calma que já vai fazer sentido.

Vamos chamar os dois eventos do exemplo de A e B:

A :   O   n ú m e r o   s e r   p a r

B :   O   n ú m e r o   s e r   í m p a r

Queremos calcular a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, ou seja, P A ∩ B

Mas ao lançar um dado é IMPOSSÍVEL obter um número par e ímpar ao mesmo tempo, certo?

Isso porque não existe interseção entre esses dois eventos, ou seja:

A ∩ B = ∅

Quando isso acontece, dizemos que os eventos são mutuamente exclusivos!

Tá, mas o que isso quer dizer na prática?

Com isso podemos concluir outras coisas. Por exemplo, se queremos calcular a união de probabilidades temos a seguinte fórmula:

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, logo P A ∩ B = 0 , portanto:

P A ∪ B = P A + P B

Ou seja, a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades de cada evento!

Além disso, quando dois eventos não tiverem interseção a probabilidade condicional também irá mudar. Vamos dar uma olhada na fórmula:

P B / A = P A ∩ B P B

Como P A ∩ B = 0   teremos:

P B / A = 0 P B = 0

Ou seja, quando falamos de eventos mutuamente exclusivos podemos afirmar que a probabilidade de B ocorrer tal que A ocorreu é ZERO.

Isso faz sentido no nosso exemplo, certo? Se quiséssemos calcular P B / A , estamos calculando a probabilidade do número do dado ser ímpar dado que o número do dado é par, e isso é impossível de acontecer, logo:

P B / A = 0

Importante!

Não podemos confundir eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS com eventos INDEPENDENTES.

Eventos independentes são aqueles que:

P A ∩ B = P A . P ( B )

Nada podemos afirmar sobre eles serem mutuamente exclusivos ou não. E vice versa!

Partiu exercício para fixar melhor esses paranauês todos aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,115-21

Na tabela abaixo, os números que aparecem são as probabilidades relacionadas com a ocorrência de A ,   B   e   A ∩ B etc. Assim P A = 0,10 , enquanto P A ∩ B = 0,04 .

Verifique se A e B são independentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! O que significa dois eventos serem independentes? Te digo agora: Para serem considerados independentes, deve valer a seguinte igualdade:

P A ∩ B = P A ⋅ P ( B )

Beleza?!

Precisamos encontrar então quem é P A e P B .

Passo 2

Vamos analisar a tabela para encontrar os valores de P A e P B :

P A . A segunda linha será o complementar P ( A c ) , com 0,12.

Da mesma forma, a primeira coluna em P(B) e a segunda coluna em P ( B c ) .

Temos então que

P ( A )   =   0,10

P ( B )   =   0,12

Se fizermos as continhas, teremos

P A ∩ B = P A . P B = 0,10.0,12 = 0,012

Tá... mas eles serão independentes ou não?

Se você reparar, na tabela temos que P A ∩ B = 0,04 . Ou seja, A e B não são independentes.

Beleza?!

Resposta

Não são independentes.

Exercício Resolvido #2

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, 48-02

Se P A ∪ B = 0,8 ; P A = 0,5 e P B = r , determine o valor de r no caso de:

(a) A e B serem mutuamente exclusivos.

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Passo 1

(a)

Para eventos mutuamente exclusivos, a gente sabe que:

P A ∪ B = P A + P ( B )

Então, substituindo os valores do problema:

0,8 = 0,5 + r

r = 0,3

Resposta

a   0,3

Exercício Resolvido #3

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 49-03

Verifique se é válida a afirmação abaixo

Se P A = 1 3 e   P B A = 3 5 então A e B não podem ser disjuntos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Eventos disjuntos? O que é isso mesmo?

Disjuntos →   Interseção igual a zero Mutualmente Exclusivos

Se eles fossem disjuntos, teríamos que: P A ∩ B = 0

E assim

P B A = P B ∩ A P A = 0

Certo?

Dessa forma se P B A ≠ 0 →   não podem ser disjuntos!

Resposta

Exercício Resolvido #4

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 48 - 01

Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B) =0,5. Calcule:

a) P ( A ∩ B )

b) P ( A ∪ B )

c) P ( A c )

d) P ( A ∪ B c )

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Passo 1

Mutuamente exclusivos →   Interseção igual a zero!

Assim, P A ∩ B = 0

Passo 2

b) P ( A ∪ B )

Sabemos que podemos escrever

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

Como P A ∩ B = 0

P A ∪ B = P A + P B = 0,3 + 0,5 = 0,8

Passo 3

c) P ( A c )

Opa, o que significa A c mesmo? É o complementar de A, ou seja, tudo que pertence ao meu espaço amostral mas NÃO pertence a A.

P A c = 1 - P A = 1 - 0,3 = 0,7

Passo 4

d) P ( A ∪ B c )

Seguindo a mesma linha de raciocínio da letra (c)

P A ∪ B c = 1 - P A ∪ B = 1 - 0,8 = 0,2

Resposta

a) 0

b) 0,8

c) 0,7

d) 0,2

Exercício Resolvido #5

UFRJ, ProbEst, P1/2012.2, 1

Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

  1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Vamos chamar de:

A :   Alberto participar da regata

B :   Bernardo participar da regata

No exercício ele quer a probabilidade de A ou B → P ( A ∪ B ) .

A gente sabe que:

P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

E que:

P A = 0,5

P B = 0,7

Passo 2

O exercício nos indica também que A e B são eventos independentes, então:

P A ∩ B = P A . P ( B )

Com isso:

P A ∪ B = P A + P B - P A . P ( B )

Substituindo os valores:

P A ∪ B = 0,5 + 0,7 - 0,5 × 0,7

= 0,85                        

Resposta

a   0,85

Exercício Resolvido #6

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 115-19

As probabilidades de que dois eventos independentes ocorra são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade:

a) de que nenhum desses eventos ocorra?

b) de que pelo menos um desses eventos ocorra?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar dando nome aos bois...

Seja A o evento cujo P(A) = p e B o evento cujo P(B) = q.

Se o enunciado afirma que ele são independentes, concluímos que:

P A ∩ B = P A . P B = p . q

Passo 2

a) Qual a probabilidade de que nenhum desses eventos ocorra?

Vamos interpretar isso: A probabilidade de que nenhum ocorra é 1 – (probabilidade de pelo menos um ocorrer) certo?

E teremos por sua vez, a probabilidade de pelo menos um ocorrer é P ( A ∪ B ) .

Mas quem é A ∪ B ?

Sabemos que: A ∪ B = A + B - A ∩ B ou seja P A ∪ B = P ( A ) + P ( B ) - P A ∩ B .

Substituindo teremos:

P A ∪ B = p + q - p q

Então a probabilidade de que nenhum evento ocorra será: 1 - p - q + p q

Passo 3

b) Qual a probabilidade de que pelo menos um desses eventos ocorra

Essa probabilidade nós já calculamos na letra (a). É P A ∪ B = p + q - p q

Resposta

a) 1 - p - q + p q

b) p + q - p q

Exercício Resolvido #7

PUCRIO-P1-2015.1-1B

b) Considere a seguinte afirmação: Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então P A B = P ( A ) , indicando que a ocorrência do evento B não traz informação sobre a probabilidade de ocorrência do evento A . Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então, a gente até usou essa ideia no conteúdo pra simplificar. Mas isso confunde muito, dizer que dois eventos são mutuamente exclusivos não significa que eles são independentes, só significa que a interseção deles é vazia.

De acordo com o enunciado, usando a fórmula a probabilidade condicional, a gente teria:

P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B × P B

Usando P A B = P ( A ) ...

P A ∩ B = P ( A ) × P ( B )

Que é a ideia de eventos independentes. Ou seja, a afirmação está erraaada. Porque uma coisa não implica na outra.

Passo 2

Na realidade, ao dizer que os eventos são mutuamente exclusivos, a gente diz que a interseção deles é zero. Então:

P A B = P A ∩ B P B = 0 P B

P A B = 0

Resposta

Exercício Resolvido #8

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 126-55

(a) Se A, B e C são independentes, prove que A   e   B ∩ C são independentes.

(b) Nas mesmas condições, prove que A ∪ B   e   C   são independentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! O que significa dizer que A, B e C são independentes?

Quer dizer que P A ∩ B ∩ C = P A . P B . P ( C )

Pelas propriedades de conjuntos posso dizer que:

A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ∩ C )

Assim,

P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C

Como B e C são independentes podemos falar que

P B . P C = P ( B ∩ C )

Assim do lado esquerdo da igualdade teremos:

P A ∩ B ∩ C

E do lado direito da igualdade teremos:

P A . P ( B ∩ C )

Assim concluímos que

P A ∩ B ∩ C = P A . P ( B ∩ C )

Passo 2

Agora queremos mostrar que A ∪ B e C são independentes. Ou seja, queremos mostrar que:

P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B . P ( C )

Essa é a nossa hipótese

A ideia agora é desenvolver cada lado da igualdade separadamente e comparar as respostas. Se forem iguais nossa hipótese é verdadeira, se não é falsa. Ok?

Lado esquerdo:

1º passo: Vamos chamar A ∪ B = D ok?

P A ∪ B ∩ C = P ( D ∩ C )

2º passo: Sabemos que:

P D ∪ C = P D + P C - P D ∩ C → P D ∩ C = P D + P C - P ( D ∪ C )

Substituindo teremos:

P D ∩ C = P D + P C - P ( D ∪ C )

3º passo: Voltando com A e B na expressão teremos:

P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B + P C - P ( A ∪ B ∪ C )

4º passo: Sabemos pelo 2º passo que podemos escrever P ( A ∪ B ) de outra forma, assim

P A ∪ B ∩ C = P A + P B - P ( A ∩ B ) + P C - P ( A ∪ B ∪ C )

5º passo: Agora vamos olhar para o P ( A ∪ B ∪ C ) ... Lembra que podemos “abrir” ele?

P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )

6º passo: Substituindo tudo na expressão e fazendo as contas

P A ∪ B ∩ C = P A + P B - P ( A ∩ B ) + P C -   [ P A + P B + P C - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P A ∩ B ∩ C ]

P A ∪ B ∩ C =   P A ∩ C + P B ∩ C - P A ∩ B ∩ C ]

Agora guarda esse resultado e vamos olhar pro lado direito da nossa igualdade!

Lado direito:

1º passo: Podemos “abrir” o P A ∪ B né?

P A ∪ B . P C = P A + P B - P A . P B . P ( C )

2º passo: Fazendo a distribuitiva teremos

P A ∪ B . P C = P A . P C + P B P C - P A . P B . P C

P A ∪ B . P C = P ( A ∩ C ) + P B ∩ C - P ( A ∩ B ∩ C )

Opa! Percebe que chegamos a um resultado igual ao anterior? Ou seja, o resultado o lado direito é IGUAL ao resultado do lado esquerdo, o que significa que a nossa hipótese é verdadeira!

Resposta

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