Probabilidade Condicional

Teoria Completa

Quando temos dois eventos, A e B , que dependem um do outro, ou seja, que o fato de um deles acontecer interfere na probabilidade do outro acontecer também, precisamos falar do conceito de probabilidade condicional.

Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer sabendo que um outro evento já aconteceu.

Ou seja, podemos ter:

P A B probabilidade de   A ,   dado   B

P B A probabilidade de   B ,   dado   A

Vamos trabalhar agora com exemplos que vão facilitar as coisas pra você.

Exemplo1: Imagine que temos um saco com 2 bolas laranjas e 3 vermelhas. Qual seria a probabilidade de retirarmos 2 bolas vermelhas em sequência ?

Temos os seguintes eventos possíveis:

A :   primeira bola ser vermelha

B :   primeira bola ser laranja

C :   segunda bola ser vermelha

D :   segunda bola ser laranja

Podemos organizar todas as nossas possibilidades dentro do que chamamos de árvore de probabilidades, que será muito útil em muitas situações:

Nela, a seta do início até L , mostra a probabilidade da primeira bola ser laranja, ou seja, P B . Seguindo de L até o próximo V , temos a probabilidade da segunda bola ser vermelha sabendo que a primeira foi laranja, ou seja, P ( C | B ) .

A situação que queremos, que é ocorrer A e C , ou seja, A C , pode também ser ilustrada assim:

Entendeu mesmo ? P ( C | A ) é a probabilidade da segunda bola ser vermelha sabendo que a primeira já foi uma bola vermelha.

Logo a probabilidade do evento A e do evento C ocorrerem, que nada mais é do que P ( A C ) , é igual a P A P C A = 3 5 × 1 2 = 3 10

Bom, parece então que chegamos a uma fórmula pra probabilidade condicional, certo?

Se,

P A C = P A P ( C | A )

Então:

P C A = P A C P A

Que também tem a variação:

P ( A | C ) = P A C P C

Exemplo2: Carlos tirou uma carta do baralho, sabendo que a carta é uma figura de copas, qual a probabilidade de ser uma dama ?

Aqui temos:

A = a carta é uma figura de copas

B = a carta é uma dama

Para calcularmos P B A podemos considerar que A é o novo espaço amostral, que chamaremos de espaço amostral reduzido.

Antes, o Ω eram todas cartas do baralho, mas depois de sabermos de A , o Ω se reduziu a apenas à todas as outras opções possíveis que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei, ou seja, temos 13 opções!

Agora basta considerar no numerador apenas o número de elemento de B que satisfazem A , a interseção.

Teremos que:

P B A = 1 1 3

Viu? Nem precisamos da fórmula.

Ficou em dúvida? Tente dar mais uma lida com calma, esse conceito de probabilidade condicional é muito importante pro que ainda vamos aprender.

Manuseio de Expressões com Prob. Condicional

Agora que já entendemos probabilidade condicional vamos falar de como podemos manusear sua fórmula e desenvolver outras expressões a partir dela.

Pra manusear temos que lembrar de conjuntos, não tem jeito! Na realidade essa fórmula entra como mais uma ferramenta pra nos ajudar, pois se antigamente tínhamos que:

P A B = P A + P B - P A B

P A B = P A + P B - P A B

Agora temos que:

P A B = P A B P B P A B = P A B . P ( B )

A ideia então é sempre que aparecer ou uma condicional ou uma interseção utilizarmos essa substituição marota.

Pra esse tipo de questão, de “mostre que”, não tem muito jeito: só treinando muito!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,124-40

A empresa M&B tem 15.800 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo.

Se um empregado é selecionado ao acaso, calcular a probabilidade de ser uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O enunciado dá uma tabela cheia de número (=dados) e pede: a probabilidade de ao selecionar um empregado ao acaso ela ser mulher, SABENDO que é um empregado com menos de 25 anos. Podendo ser escrito como

P F A = P F A P A

Passo 2

Vamos olhar pra essa tabela?

Então:

P F A = 800 2800 0,29

Resposta

0,29

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,115-18

Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa: Interpretar o enunciado e escrever as informações retiradas dele

Estamos falando de um dado, portanto Ω = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

O enunciado diz: a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor

Então se:

P 1 = n P 2 = 2 n

P 1 = n P 3 = 3 n

P 1 = 1 n P 4 = 4 n

P 1 = n P 5 = 5 n

P 1 = n P 6 = 6 n

Sabendo que a soma das probabilidades deve ser igual a 1, faremos:

n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n + 6 n = 21 n = 1

n = 1 21

Passo 2

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

Seja

- “5”: Evento de sair o número 5

- A : Evento sair ímpar

Queremos: P ( 5 | A )

Estamos falando de probabilidade condicional certo? Então vamos para a fórmula!

P B C = P B C P C

Substituindo teremos

P 5 A = P 5 A P ( A )

Então precisamos calcular essas duas probabilidade né? Vamos lá!

- P 5 A : Probabilidade de ser 5 e ímpar

Bom, sempre que temos o número 5 ele é ímpar né? Então falaremos que:

P 5 A = P 5 = 5 n = 5 21

- P A : Probabilidade de ser ímpar

Temos que

A = 1,3 , 5

P A = P 1 + P 3 + P 5 = n + 3 n + 5 n = 9 n = 9 21

Assim

P 5 A = P 5 A P ( A ) = 5 21 9 21 = 5 9 = 0,56

Passo 3

- b) ) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

Novamente probabilidade condicional certo? Agora com os eventos:

- B: Evento retirar um número par

- D: Evento retirar números maiores que 3.

Queremos P B D , que será:

P B D = P B D P D

Agora é só calcular essas probabilidades né?

- P B D :   Probabilidade de retirar um número par MAIOR do que 3

B D = 4,6

P B D = P 4 + P 6 = 4 n + 6 n = 10 n = 10 21

- P(D): Probabilidade de retirar um número maior do que 3

D = 4,5 , 6

P D = P 4 + P 5 + P 6 = 4 n + 5 n + 6 n = 15 n = 15 21

Entãão teremos:

P B D = 10 21 15 21 = 10 15 = 2 3 = 0,67

Resposta

a) 0,56

b)0,67

Exercício Resolvido #3

UFRJ, ProbEst, P1/2013.1, 1

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

(b) Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.

Quais os resultados possíveis ?

e 1 :   eliminação na primeira partida

e 2 :   eliminação na segunda partida

e 3 :  eliminação na semifinal

e 4 :  eliminação na final

v :  vencer o torneio

Então:

Ω e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , v

Passo 2

Agora vamos determinar a probabilidade de cada resultado desse.

Probabilidade de ele perder de primeira é 1 menos a prob. de ele ganhar a primeira partida.

p e 1 = 1 - 0,80 = 0,2

Prob. de ele perder na segunda é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ele perder a segunda.

p e 2 = 0,8 × 1 - 0,7 = 0,24

Prob. de ele perder na terceira é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira.

p e 3 = 0,8 × 0,7 × 1 - 0,6 = 0,224

Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.

p e 4 = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 1 - 0,5 = 0,168

E a prob. de vencer o torneio é:

p v = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 0,5 = 0,168

Passo 3

(b)

Chamando de:

S :  chegar a semifinal

C :  ser campeão

O exercício agora pede P S     C c ) . Probabilidade de chegar a semifinal, dado que não foi campeão.

Pela fórmula da probabilidade condicional:

P S C c = P S C c P ( C c )

Passo 4

A gente sabe que:

C v

Único caso em que José é campeão.

P C = p v = 0,168

Com isso:

P C c = 1 - P C

P C c = 0,832

No mesmo raciocínio.

S C c e 3 , e 4

Porque nesses dois casos José chega pelo menos a semifinal, mas não é campeão.

P S C c = p e 3 + p e 4

      = 0,392

Passo 5

Agora é substituir na fórmula.

P S C c = 0,392 0,832

P S C c 0,471

Resposta

b   0,471

Exercício Resolvido #4

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,123-34

Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de ½. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de ¾ ; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele:

a) ganhar os dois contratos?

b) ganhar apenas um?

c) não ganhar nada?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Eeepa! Muuuita informação certo? Muita confusão então. Vamos tentar escrever o enunciado através de um diagrama?

Passo 2

Agora vamos completar esse diagrama?

Passo 3

Agora temos a probabilidade de cada etapa. Mas pera aí, você sabe o que cada parte significa?

Passo 4

Agora que já entendemos direitinho o diagrama vamos olhar para o que ele pede:

a) Probabilidade de ganhar os dois contratos

O que ele pede é: P ( E G C G )

Bom, nós sabemos que

P E G = 0,5

P C G E G = 3 4

Lembrando da fórmula da condicional teremos:

P C G E G = P E G C G P E G     P E G C G = P C G E G . P E G

Substituindo

P E G C G = 3 4 . 1 2 = 3 8 = 0,375

Passo 5

b)Probabilidade de ganhar apenas um?

Bom, ganhar apenas um significa:

i- Ganhar a parte elétrica e perder a parte do encanamento

ii- Perder a parte elétrica e ganhar a parte do encanamento

Vamos calcular a probabilidade de cada um e somar ok?

Passo 6

i) Ganhar a parte elétrica e perder a parte do encanamento P ( E G C P )

Vamos usar a mesma ideia da letra (a)!

Sabemos

P E G = 0,5

P C P E G = 1 4

Pela fórmula da probabilidade condicional temos

P C P E G = P E G C P P E G �� P E G C P = P C P E G . P E G

P E G C P = 1 4 . 1 2 = 1 8

Passo 7

ii) Perder a parte elétrica e ganhar a parte do encanamento P ( E P C G )

Sabendo que

P E P = 0,5

P C g E P = 1 3

Utilizando a fórmula de probabilidade condicional....

P C g E P = P E P C G P E P   P E P C G =   P C g E P . P ( E p )

P E P C G = 1 3 . 1 2 = 1 6

Passo 8

Somando (i) e (ii):

1 8 + 1 6 = 7 24 0,292

Passo 9

c) Probabilidade de não ganhar nada?   Não ganhar a parte elétrica E não ganhar a parte de encanamento P ( E P C P )

Sabemos que

P E P = 0,5

P C P E P = 2 3

Usando de novo a fórmula da probabilidade condicional

P C P E P = P E P C P P E P   P E P C P =   P C P E P . P ( E p )

P E P C P = 2 3 . 1 2 = 1 3 0,333

Resposta

a) 0,375

b)   0,292

c) 0,333

Exercício Resolvido #5

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,

60. Como fica a relação abaixo para n eventos quaisquer A 1 , A 2 , A 3 A n ?

P A B C = P A . P B A P ( C | A B )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa é: Não pira!

O enunciado pede a relação para n eventos quaisquer, mas vamos olhar primeiro essa relação? Tá, vamos lá...

Essa relação é verdadeira? Bom, pelo enunciado parece que sim, mas vamos entender ela.

P A B C = P A . P B A P ( C | A B )

Vamos olhar para o lado direito primeiro e ver como podemos “abrir” essa equação:

P B A = P A B P A

P C A B = P A B C P A B

Então:

P A B C = P A . P A B P A       P A B C P A B

Cancelando cada lado teremos que:

P A B C = P A B C

Passo 2

Agora que entendemos melhor o mecanismo, vamos olhar para o caso com quatro eventos... A ideia de olhar para quatro é ver o que muda e como muda para conseguir fazer uma analogia com o caso com n eventos ok?

Bom, podemos falar que:

P A B C D = P ( A B C D )

A partir da probabilidade condicional temos que:

P A B = P A B P B P A B = P A B . P ( B )

Então

P A B C D = P D A B C . P ( A B C )

Substituindo P ( A B C ) :

P A B C D = P D A B C P A . P B A P ( C | A B )

Reorganizando

P A B C D = P A . P B A P C A B . P D A B C

Notamos então que ao fazermos para quatro eventos, acrescentamos uma parcela. E essa parcela é algo do tipo:

P ( A n | A 1 A 2 A n - 1 )

Percebe-se que se fizermos para cinco eventos iremos acrescentar um termo análogo a esse na expressão e assim por diante. Veja só o esquema abaixo:

Notamos que esse é o termo que é acrescentado a nossa expressão. Assim podemos pensar no caso geral né?

Passo 3

Pro caso geral então teremos:

P A 1 A 2 A 3 A n - 2 A n - 1 A n = P A 1 . P A 2 A 1 . P A 3 A 1 A 2 P A n - 1 A 1 A 2 A n - 2 . P ( A n | A 1 A 2 A n - 1  

Resposta

Exercício Resolvido #6

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004

Sejam A,B e C pertencentes a um mesmo espaço amostral. Mostre que:

a) P A c B = 1 - P A B

b) P A B C = P A C + P B C - P A B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá! Uma coisa de cada vez

a) P A c B = 1 - P A B

Vamos desenvolver cada lado separadamente?

L.E: P A c B = P A c B P B

L.D.: P A B = P A B P B

P A c B = 1 - P A B   P A c B P B = 1 - P A B P B

Bom, vamos supor que essa equação é verdadeira. Se for podemos passar tudo que for letra pra um lado e tudo o que for número (no caso só o 1 mesmo hehe) pro outro certo?

  P A c B P B + P A B P B = 1

Passo 2

Agora vamos mexer nessa equação!

Como tem o mesmo denominador, vamos juntar o numerador:

  P A c B + P A B P B = 1

Epa! Essa soma aí.. Podemos escrever como:

P ( A c B A B ) P B = 1  

Agora se liga no diagrama:

Esses são os nossos eventos. Como não sabemos se eles são disjuntos ou não, colocamos o caso mais abrangente, ou seja, quando ele possuem interseção.

Vamos mostrar agora: A c B

E A B :

Com o diagrama conseguimos notar que :

A c B A B = B

Assim temos que:

P ( B ) P B = 1 = 1

Passo 3

b) P A B C = P A C + P B C - P A B C

Vamos olhar para cada lado separadamente:

Lado esquerdo:

P A B C = P A B C P C

Lado direito:

P A C + P B C - P A B C

Olhando para cada termo:

P A C = P A C P C

P B C = P B C P C

P A B C = P A B C P C  

Teremos assim no lado direito:

P A C P C + P B C P C - P A B C P C

Reescrevendo a expressão:

P A B C P C = P A C P C + P B C P C - P A B C P C

Supondo ser verdadeira essa expressão, vamos mudar de lado o termo negativo, lembrando de trocar o sinal:

P A B C P C +   P A B C P C = P A C P C + P B C P C

A B C [ A B C ) ] = ( A C ) ( B C )

Vamos olhar para o diagrama para ver se é verdade:

Logo é verdadeiro!

Resposta

a) Verdadeira

b) Verdadeira

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