Probabilidade Condicional

Teoria Completa

Quando temos dois eventos, A e B , que dependem um do outro, ou seja, que o fato de um deles acontecer interfere na probabilidade do outro acontecer também, precisamos falar do conceito de probabilidade condicional.

Probabilidade condicional é a probabilidade de um evento acontecer sabendo que um outro evento já aconteceu.

Ou seja, podemos ter:

P A B → probabilidade de   A ,   dado   B

P B A → probabilidade de   B ,   dado   A

Vamos trabalhar agora com exemplos que vão facilitar as coisas pra você.

Exemplo1: Imagine que temos um saco com 2 bolas laranjas e 3 vermelhas. Qual seria a probabilidade de retirarmos 2 bolas vermelhas em sequência ?

Temos os seguintes eventos possíveis:

A :   primeira bola ser vermelha

B :   primeira bola ser laranja

C :   segunda bola ser vermelha

D :   segunda bola ser laranja

Podemos organizar todas as nossas possibilidades dentro do que chamamos de árvore de probabilidades, que será muito útil em muitas situações:

Nela, a seta do início até L , mostra a probabilidade da primeira bola ser laranja, ou seja, P B . Seguindo de L até o próximo V , temos a probabilidade da segunda bola ser vermelha sabendo que a primeira foi laranja, ou seja, P ( C | B ) .

A situação que queremos, que é ocorrer A e C , ou seja, A ∩ C , pode também ser ilustrada assim:

Entendeu mesmo ? P ( C | A ) é a probabilidade da segunda bola ser vermelha sabendo que a primeira já foi uma bola vermelha.

Logo a probabilidade do evento A e do evento C ocorrerem, que nada mais é do que P ( A ∩ C ) , é igual a P A ⋅ P C A = 3 5 × 1 2 = 3 10

Bom, parece então que chegamos a uma fórmula pra probabilidade condicional, certo?

Se,

P A ∩ C = P A ⋅ P ( C | A )

Então:

P C A = P A ∩ C P A

Que também tem a variação:

P ( A | C ) = P A ∩ C P C

Exemplo2: Carlos tirou uma carta do baralho, sabendo que a carta é uma figura de copas, qual a probabilidade de ser uma dama ?

Aqui temos:

A = a carta é uma figura de copas

B = a carta é uma dama

Para calcularmos P B A podemos considerar que A é o novo espaço amostral, que chamaremos de espaço amostral reduzido.

Antes, o Ω eram todas cartas do baralho, mas depois de sabermos de A , o Ω se reduziu a apenas à todas as outras opções possíveis que são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei, ou seja, temos 13 opções!

Agora basta considerar no numerador apenas o número de elemento de B que satisfazem A , a interseção.

Teremos que:

P B A = 1 1 3

Viu? Nem precisamos da fórmula.

Ficou em dúvida? Tente dar mais uma lida com calma, esse conceito de probabilidade condicional é muito importante pro que ainda vamos aprender.

Manuseio de Expressões com Prob. Condicional

Agora que já entendemos probabilidade condicional vamos falar de como podemos manusear sua fórmula e desenvolver outras expressões a partir dela.

Pra manusear temos que lembrar de conjuntos, não tem jeito! Na realidade essa fórmula entra como mais uma ferramenta pra nos ajudar, pois se antigamente tínhamos que:

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B

P A ∩ B = P A + P B - P A ∪ B

Agora temos que:

P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B . P ( B )

A ideia então é sempre que aparecer ou uma condicional ou uma interseção utilizarmos essa substituição marota.

Pra esse tipo de questão, de “mostre que”, não tem muito jeito: só treinando muito!

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Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,124-40

A empresa M&B tem 15.800 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo.

Se um empregado é selecionado ao acaso, calcular a probabilidade de ser uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos.

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Passo 1

O enunciado dá uma tabela cheia de número (=dados) e pede: a probabilidade de ao selecionar um empregado ao acaso ela ser mulher, SABENDO que é um empregado com menos de 25 anos. Podendo ser escrito como

P F A = P F ∩ A P A

Passo 2

Vamos olhar pra essa tabela?

Então:

P F A = 800 2800 ≅ 0,29

Resposta

0,29

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,115-18

Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

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Passo 1

Primeira coisa: Interpretar o enunciado e escrever as informações retiradas dele

Estamos falando de um dado, portanto Ω = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

O enunciado diz: a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor

Então se:

P 1 = n → P 2 = 2 n

P 1 = n → P 3 = 3 n

P 1 = 1 n → P 4 = 4 n

P 1 = n → P 5 = 5 n

P 1 = n → P 6 = 6 n

Sabendo que a soma das probabilidades deve ser igual a 1, faremos:

n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n + 6 n = 21 n = 1

n = 1 21

Passo 2

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

Seja

- “5”: Evento de sair o número 5

- A : Evento sair ímpar

Queremos: P ( 5 | A )

Estamos falando de probabilidade condicional certo? Então vamos para a fórmula!

P B C = P B ∩ C P C

Substituindo teremos

P 5 A = P 5 ∩ A P ( A )

Então precisamos calcular essas duas probabilidade né? Vamos lá!

- P 5 ∩ A : Probabilidade de ser 5 e ímpar

Bom, sempre que temos o número 5 ele é ímpar né? Então falaremos que:

P 5 ∩ A = P 5 = 5 n = 5 21

- P A : Probabilidade de ser ímpar

Temos que

A = 1,3 , 5

P A = P 1 + P 3 + P 5 = n + 3 n + 5 n = 9 n = 9 21

Assim

P 5 A = P 5 ∩ A P ( A ) = 5 21 9 21 = 5 9 = 0,56

Passo 3

- b) ) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

Novamente probabilidade condicional certo? Agora com os eventos:

- B: Evento retirar um número par

- D: Evento retirar números maiores que 3.

Queremos P B D , que será:

P B D = P B ∩ D P D

Agora é só calcular essas probabilidades né?

- P B ∩ D :   Probabilidade de retirar um número par MAIOR do que 3

B ∩ D = 4,6

P B ∩ D = P 4 + P 6 = 4 n + 6 n = 10 n = 10 21

- P(D): Probabilidade de retirar um número maior do que 3

D = 4,5 , 6

P D = P 4 + P 5 + P 6 = 4 n + 5 n + 6 n = 15 n = 15 21

Entãão teremos:

P B D = 10 21 15 21 = 10 15 = 2 3 = 0,67

Resposta

a) 0,56

b)0,67

Exercício Resolvido #3

UFRJ, ProbEst, P1/2013.1, 1

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

(b) Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.

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Passo 1

Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.

Quais os resultados possíveis ?

e 1 :   eliminação na primeira partida

e 2 :   eliminação na segunda partida

e 3 :  eliminação na semifinal

e 4 :  eliminação na final

v :  vencer o torneio

Então:

Ω → e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , v

Passo 2

Agora vamos determinar a probabilidade de cada resultado desse.

Probabilidade de ele perder de primeira é 1 menos a prob. de ele ganhar a primeira partida.

p e 1 = 1 - 0,80 = 0,2

Prob. de ele perder na segunda é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ele perder a segunda.

p e 2 = 0,8 × 1 - 0,7 = 0,24

Prob. de ele perder na terceira é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira.

p e 3 = 0,8 × 0,7 × 1 - 0,6 = 0,224

Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.

p e 4 = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 1 - 0,5 = 0,168

E a prob. de vencer o torneio é:

p v = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 0,5 = 0,168