Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Teoria

Introdução

Imagina que temos a seguinte situação:

Em uma empresa, um grupo de 5 funcionários se candidataram para as vagas de Diretor, Gerente Geral e Secretário Executivo. De quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas?

Para resolver esse problema utilizaremos a ideia de Arranjo!! Vamos ver com calma como funciona, beleza?!

Arranjo

Vamos ver então como funciona essa parada de Arranjo!

Para resolver o problema acima vamos representar as vagas desse modo:

Temos 5 pessoas que se candidataram a todas as três vagas. Para começar a ocupar as vagas, temos que começar escolhendo um dos funcionários para ocupar algum dos cargos, nesse caso vamos começar pelo cargo de diretor:

Restaram então 4 pessoas para ocupar os cargos restantes, logo temos 4 opções para a vaga de Gerente real, visto que uma pessoa já foi escolhida para ser o diretor:

Sobram então tres opções de funcionários que concorrem pela vaga de Secretário:

Cada escolha que fazemos gera várias possibilidades de ordens diferentes. Para contabilizar todos precisamos multiplicar cada escolha pelo número de possibilidades, ou seja PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO!

Então temos

5   x   4   x   3 = 60   p o s s i b i l i d a d e s  

Ao pensarmos desse jeito já estamos considerando a permutação desses funcionários nos diferentes casos. Por exemplo:

Imagina que Joana, Laura e Bruna são três das 5 funcionárias que estão se candidatando para a empresa. Note que:

Isso acontece porque nesse caso, estamos levando em consideração a ordem das vagas oferecidas. Quando realizamos esse tipo de raciocínio, estamos fazendo um ARRANJO.

Mas como escrever isso para um caso geral?

Note que o método para calcular arranjos é muito parecido com o método para calcular permutações. A diferença que ao invés de permutar n elementos completamente, só precisamos fazer as contas de acordo com o número k de escolhas.

Logo precisamos dividir a permutação de n elementos por n - k !

A n k = n ! n - k !

Essa é a fórmula geral para calcular arranjos, porém se preferir resolver seguindo os passos do exemplo não há problema, vai dar o mesmo resultado!

Vamos ver outro exemplo?

Exemplo

Em uma corrida há 10 atletas. De quantas maneiras diferentes podemos montar o pódio?

Nesse caso precisamos levar em consideração a ordem do 1°, 2° e 3° lugar, concorda?! Digamos que Pedro, Maria e João tenham sido os 3 primeiros colocados, respectivamente:

1 °   L u g a r → P e d r o

2 °   L u g a r → M a r i a

3 °   L u g a r → J o ã o

Isso é diferente se a ordem de chegada fosse:

1 °   L u g a r → J o ã o

2 °   L u g a r → P e d r o

3 °   L u g a r → M a r i a

Beleza?! Nesse cenário a ordem importa!!!

Então, temos que aplicar a fórmula do arranjo:

A 10 3 = 10 ! 10 - 3 ! = 10 × 9 × 8 × 7 ! 7 ! = 10 × 9 × 8 = 720   p o s s i b i l i d a d e s

Tudo bem até aqui?

Combinação

Vamos estudar outra situação:

Em uma empresa, um grupo de 5 funcionários se candidataram para as 3 vagas de Diretor. De quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas?

A princípio pode parecer o mesmo problema anterior, certo? Mas veremos que existem algumas diferenças bem importantes! Temos 3 vagas, e 5 funcionários se candidatando porém, nesse caso, todas as vagas têm o mesmo cargo.

Para resolver esse problema precisamos simplesmente escolher 3 pessoas de um grupo de 5 para preencher as vagas. Para entender melhor a diferença imagina se Joana, Laura e Bruna são escolhidas novamente:

Isso acontece porque a ordem de escolhas não faz diferença! Se a Joana for escolhida primeiro e a Laura e Bruna em seguida, no final as três ainda serão diretoras.

Quando aplicamos esse tipo de raciocínio, estamos fazendo uma COMBINAÇÃO.

Ok, mas como calculamos isso?

Ao compararmos com o arranjo, percebemos que se quisermos escolher três pessoas para preencher essas vagas temos que tirar essas repetições que acontecem por conta da ordem não importar. No caso da Joana, Laura e Bruna, se permutarmos as três funcionárias teremos o número de repetições!

Logo, para descobrir de quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas, precisamos dividir a fórmula do arranjo por 3 !

Para descobrir a combinação C 5 3 (Combinação de 3 elementos de 5) precisamos:

C 5 3 = 5 ! 3 ! × 5 - 3 !

Lembre-se: Em combinação não importa a ordem!

Vamos para mais um exemplo rápido?

Para calcular de quantas maneiras podemos escolher cinco livros de um total de dez, faremos?

Nesse caso a ordem não importa! Então:

C 10 5 = 10 ! 5 ! 10 - 5 ! = 10 ! 5 ! 5 ! = 10.9 . 8.7 . 6 5.4 . 3.2 . 1 = 2.3 . 2.7 . 3 = 252

Tudo bem?

E como juntamos tudo isso que estamos vendo com o Cálculo de Probabilidades?

O cálculo dos Arranjos e Combinações que estamos vendo aqui são para saber a quantidade de eventos possíveis de um espaço amostral. Dessa forma, se tivermos algum caso de Cálculo de Probabilidades com Arranjo ou Combinação, basta utilizar a fórmula abaixo:

P A = # A # Ω

Onde o numerador é a quantidade de eventos possíveis (arranjos ou combinações calculadas) e o denominador o espaço amostral. Show de bola?!

Agora vamos praticar!

Exemplo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

De um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente.

a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

Passo 1

Em um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente, ou seja, a ordem não importa! Quando a ordem nãi importa em geral usamos Combinação.

Passo 2

a) Ele quer saber quantas são as POSSIBILIDADES e não as PROBABILIDADES. Olharemos apenas para o evento.

Evento A: Sorteio de 4 cartas de um baralho de um total de 52.

De quantas formas podemos retirar 4 cartas de um baralho de 52? Essa é exatamente a pergunta respondida pela fórmula da combinação! Nesse caso, C 52 4 :

C 52 4 = 52 4 = 52 ! 4 ! 52 - 4 ! = 52 ! 4 ! 48 ! = 52.51.50.49.48 ! 4.3 . 2.1 . 48 ! = 52.51.50.49 4.3 . 2.1 . = 270.725

Passo 3

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

Olhando novamente para o nosso evento:

Evento B: Entre as quatro cartas sorteadas queremos ter o Rei de Espadas.

Neste caso temos que uma das quatro cartas já está definida (Rei de Espadas), enquanto as outras 3 não estão. Temos que sortear essas outras 3, de um total agora de 51 cartas!. Então o resultado será

C 51 3 = 51 3 = 51 ! 3 ! 48 ! = 51.50.49 3.2 . 1 = 20.825

Ou seja, temos 20.825 possíveis resultados, onde ao retiramos 4 cartas do baralho, uma delas seja um Rei de Espadas.

Passo 4

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

Em um baralho temos 4 ases. Nesse caso queremos resultados com exatamente dois ases. Ou seja, a primeira coisa que devemos fazer é escolher dentre os quatro quais dois irão aparecer. Precisamos saber de quantas formas isso pode acontecer, que é exatamente a combinação C 4 2 :

C 4 2 = 4 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6

Agora que já escolhemos quais as irão compor nossa retirada vamos pensar nas outras cartas.

O nosso baralho não tem agora 52 cartas. Temos que descontar os ases, portanto teremos 48 cartas. Ué, mas por que estamos descontando 4 ases?!

Descontamos os 4 ases pois queremos APENAS dois na nossa retirada, então temos 2 já sendo utilizados e os dois restantes NÃO PODEM SER possibilidades de retirada, senão, poderíamos vir a ter mais de exatamente dois ases, e não é isso que a questão quer!

Teremos assim, uma combinação de 2 cartas, entre 48 cartas totais (que com certeza não são ases, pois descontamos todos eles):

48 2 = 48 ! 2 ! 46 ! = 1.128

Finalmente, multiplicamos os resultados para ter o total (porque estamos primeiro selecionando os ases, e depois de selecionados, a gente selecionou o resto das cartas princípio multiplicativo)

C = 6 × 1.128 = 6.768

Resposta

a )   270.725

b )   20.825

c )   6.768

Exercício Resolvido #2

Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito diferentes inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca permite que 10 inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação, ou seja, a tranca abrirá se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade de que um ladrão abra a porta na primeira tentativa.

Passo 1

Vamos láá!! Queremos encontrar a probabilidade de que um ladrão abra a porta na primeira tentiva, beleza?!

Para saber a probabilidade de abrir de primeira o cofre faremos:

P A = # A # Ω

Concorda?!

Então vamos achar o nosso espaço amostral e nosso evento!

Passo 2

A questão diz que pra montar a senha desse cofre podemos escolher números de 1 até 90 (90 possibilidades) e que temos que escolher 8 números.

Então de 90 escolhemos 8, certo?

90 8

Essas são todas as possibilidades, ou seja, nosso espaço amostral :)

Passo 3

O enunciado diz também que se digitarmos 10 números e 8 desses forem a chave do cofre, conseguimos acessa-lo. Então de 10 números precisamos acertar apenas 8, ou seja, escolher 8.

10 8

Esse é o nosso evento, certo?!

Passo 4

Agora, para saber a probabilidade de abrir de primeira o cofre faremos:

P A = # A # Ω = 10 8 90 8

Beleza, agora vamos calcular esse valor lembrando da fórmula para a combinação!

10 8 = 10 ! 8 ! 10 - 8 ! = 10 * 9 * 8 ! 8 ! 2 ! = 10 * 9 2 = 5 * 9 = 45

90 8 = 90 ! 8 ! 90 - 8 ! = 90 * 89 * 88 * 87 * 86 * 85 * 84 * 83 * 82 ! 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 82 ! = 77515521435

Por fim, agora é só fazer a probabilidade.

P A = 45 77515521435 = 5,8 * 10 - 10

Ou seja, mesmo com toda essa facilidade de poder escolher dez números, seria bem difícil esse ladrão conseguir abrir a tranca na primeira tentativa rs.

Resposta

P A = 10 8 90 8 = 5,8 * 10 - 10

Exercício Resolvido #3

Em um instituto de pesquisa trabalham, entre outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor está compreendido entre:

a)0,00 e 0,01

b)0,01 e 0,02

c)0,02 e 0,03

d)0,03 e 0,04

e) 0,04 e 0,05

Passo 1

Vamos usar a fórmula

P A = # A # Ω

Onde

# A = número de casos favoráveis

# Ω = número de casos possíveis

Passo 2

Vamos ver primeiro o número de casos possíveis:

Temos uma equipe de 11 estudiosos no total e queremos montar um grupo de quatro pessoas aleatoriamente, sem importar a ordem, certo? Então de 11 escolheremos 4.

# Ω = C 11 4 = 11 4

Esse é o número de casos possíveis..

Passo 3

Agora vamos olhar para o número de casos favoráveis: todos os físicos na equipe.

Temos um total de 3 físicos e 8 de outras disciplinas. Como preciso na minha equipe de 4 pessoas, teremos:

- 3 físicos Escolher 3 físicos entre os 3 físicos →   C 3 3 = 3 3 = 1  

- 1 qualquer outra matéria →   Escolher uma pessoa dentre as 8 restantes   → C 8 1 =   8 1 = 8

Agora basta multiplicar as duas (isso porque primeiro estamos escolhendo os físicos e depois o restante):

# A =   1 × 8 = 8  

Passo 4

A probabilidade será dada por:

P A = # A # Ω = 8 11 4 = 8 330 ≅ 0,024

Resposta

Letra C

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