Teorema de Bayes

Teoria Completa

Esse teorema é uma reeleitura da fórmula que encontramos para a probabilidade condicional. Lembra ?

P A B = P A B P B

Sabemos também que:

P B A = P A B P A           P A B = P B A × P ( A )

De uma combinação dessas duas equações, temos:

P A B = P B A × P A P B

Agora, tomando a mesma suposição que fizemos para o teorema da probabilidade total. Um espaço amostral Ω , dividido em eventos mutuamente exclusivos: A 1 , A 2 , A 3 , teremos o teorema de bayes:

P A i B = P B A i × P A i P B         ,   i = 1,2 , 3 , , n

Onde P ( B ) pode ser calculado pelo teorema da probabilidade total.

Tá! Mas pra que isso serve? Vamo entender melhor essa parada aí.

Com ela podemos calcular a probabilidade de alguma coisa ter acontecido sabendo evidências futuras, sabendo o que aconteceu no final.

Exemplo: E se eu quisesse saber a probabilidade de ter tido vento forte durante a regata sabendo que o velejador venceu?

Pegou a maldade da parada? Agora eu to querendo que você volte no tempo e me diga se ventou forte ou não já sabendo que no final o velejador venceu a regata. Ou seja, to querendo que você me diga uma parada já sabendo o que aconteceu no final.

É nessa hora que usamos o teorema de bayes! Vamo lá num passo a passo maneiro.

Passo 1) O que queremos?

P W V = prob. de ter ventado forte sabendo que ele venceu

O que precisamos?

P V W = 0,50

P W = 0,30

P V = 0,325 já calculado

Passo 2) Aplicamos o teorema de Bayes

P W V = P V W × P W P V    

P W V = 0,50 × 0,30 0,325

P W V 0,46

Partiu exercícios ? Desiste não, vem comigo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, ProbEst, P1/2013.2, 1

A chance do barco “Da Noi" vencer uma regata se o vento estiver forte (acima de 20 nós) é de 80% e de 40% se o vento estiver fraco. No dia da regata, a meteorologia prevê vento forte com 70% de chance. Qual a probabilidade de:

  1. “Da Noi" vencer a regata?
  2. O vento ter sido forte sabendo que “Da Noi" venceu a regata?
  3. O vento ter sido fraco sabendo que “Da Noi" não venceu a regata?
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Passo 1

Então, aquele mesmo esquema de sempre. Vamos definir os nossos eventos primeiro.

V : b a r c o   v e n c e r   a   r e g a t a

F : v e n t o   e s t a r   f o r t e

E anotar os dados que o problema deu.

P V     F ) = 0,8

P V     F c ) = 0,4

P F = 0,7

Passo 2

(a)

Aqui temos um caso de probabilidade Total. Temos que calcular a prob. do barco vencer a regata, ventando forte ou não.

Pela fórmula da prob. Total.

P V = P V F ) × P F + P ( V | F c ) × P ( F c )

Sabendo que:

P F c = 1 - P F = 0,3

P V = 0,8 × 0,7 + 0,4 × 0,3

P V = 0,68

Passo 3

(b)

Agora a gente vai ter um caso de teorema de Bayes. Porque a gente quer saber se ventou forte, já sabendo que no final o barco venceu a regata. Lembra ?

A gente tá querendo dizer a prob. de uma coisa ter acontecido (ventar forte), já sabendo o que aconteceu no final (vencer a regata).

Pela fórmula do teorema de Bayes.

P F V = P ( V | F ) × P ( F ) P V

Certo ?

Passo 4

A gente já tem todos os valores da fórmula, é só substituir.

P F V = 0,8 × 0,7 0,68

P F V = 0,8236

Passo 5

(c)

Mais uma vez, uma aplicação do teorema de Bayes.

Queremos a prob. de ter tido vento fraco, já sabendo que o barco não venceu a regata.

P F c V c =   ?

Pela fórmula de Bayes.

P F c V c = P V c F c × P F c P V c

Beleza ?

Passo 6

Tá, a gente já sabe algumas coisas, por exemplo.

P V c = 1 - P V

P V c = 1 - 0,68

P V c = 0,32

E:

P V c F c = 1 - P V F c

P V c F c = 1 - 0,4 = 0,6

Passo 7

Pra terminar, só substituir na fórmula.

P F c V c = 0,6 × 0,3 0,32

                              = 0,5625

Resposta

a   0,68

b   0,8236

c   0,5625

Exercício Resolvido #2

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, pp. 52.

Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30 % da preferência eleitoral, o de centro tem 30 % e o da esquerda 40 % . Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.

(a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?

(b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?

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Passo 1

(a)

Definir os eventos:

A : c a n d i d a t o   d a   d i r e i t a   s e r   e l e i t o

B :   c a n d i d a t o   d o   c e n t r o   s e r   e l e i t o

C :   c a n d i d a t o   d a   e s q u e r d a   s e r   e l e i t o

D : s e r   d a d o   p r i o r i d a d e   a s   á r e a s

Com isso, anotamos alguns dados do problema:

P A = 0,3   ,   P B = 0,3   e   P C = 0,4

P D A = 0,4

P D B = 0,6

P D C = 0,9

Que são as probabilidades de as áreas terem prioridade condicionadas a eleição de determinado candidato.

Passo 2

O que queremos ? A probabilidade de NÃO ser dado prioridade as áreas ditas.

P D c =   ?

Sabemos que:

P D c = 1 - P ( D )

Então precisamos calcular P D primeiro.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da probabilidade Total para calcular P D .

P D = P D A . P A + P D B . P B + P D C . P C

Substituímos os valores:

P D = 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,3 + 0,9 × 0,4

P D = 0,66

Passo 4

Já podemos calcular o que queremos.

P D c = 1 - P D

P D c = 1 - 0,66

P D c = 0,34

Passo 5

(b)

Agora quero que você já sabendo que foi dado prioridade as áreas ditas, me dê a probabilidade do candidato da direita ter ganho, ou seja, P ( A | D ) , lembrando que:

A : c a n d i d a t o   d a   d i r e i t a   s e r   e l e i t o

D : s e r   d a d o   p r i o r i d a d e   a s   á r e a s

Isso é a cara de quem ? De Bayes, muito bem! Hehe

Vamos usar a fórmula do teorema de Bayes.

P A D = P D A . P A P D

Passo 6

Subistituindo valores na fórmula.

P A D = 0,4 × 0,3 0,66 0,18

Resposta

a   0,34   o u   34 %

b 0,18   o u   18 %

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2015.1

Sabe-se que 2 / 3 dos minérios de uma pequena região encontram-se em localidades de difícil acesso. Nas localidades mais acessíveis (que não são de difícil acesso), apenas 10 % dos minérios tem valor comercial. Nas localidades de difícil acesso, pesquisadores estimam que 20 % dos minérios tenham valor de comércio.

  1. Qual é o percentual de minérios com algum valor comercial em toda a região, considerando como correta a estimativa dos pesquisadores?
  2. Qual é a probabilidade de que um minério sorteado ao acaso tenha vindo de uma localidade de difícil acesso dado que é um minério com valor comercial?
  3. Desconsiderando a estimativa dos pesquisadores, qual deve ser a real proporção de minérios com valor comercial nas localidades de difícil acesso para que a dificuldade de acesso e o valor comercial do minério sejam independentes do ponto de vista probabilístico.
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Passo 1

(a)

O exercício fala da presença de minérios em regiões e seu valor comercial, diz a proporção de minérios em cada tipo de região (fácil ou difícil acesso) e diz qual a porcentagem do minério presente em cada uma das regiões que possui valor comercial.

Bom, vou chamar de

D m i n é r i o   p r e s e n t e   e m   r e g i ã o   d e   d i f í c i l   a c e s s o

Pela lógica:

D c m i n é r i o   p r e s e n t e   e m   r e g i ã o   d e   f á c i l   a c e s s o

O exercício diz a proporção de minério presente em regiões de difícil acesso:

P D = 2 3

Com isso:

P D c = 1 - P D = 1 3

Passo 2

Outro dado que o exercício dá são as probabilidades condicionais do minério ter valor comercial dado que ele está em região de difícil acesso P C D , ou dado que ele está em região de fácil acesso P C D c .

C m i n é r i o   t e r   v a l o r   c o m e r c i a l

As probabilidades são:

P C D = 20 %

P C D c = 10 %

Passo 3

Nesse item temos que calcular o percentual de minério com valor comercial em toda região, independente de ser de fácil ou difícil acesso.

Isso quer dizer que a gente tem que calcular a probabilidade total do minério ter valor comercial, considerando os que estão em zona de fácil acesso e os que estão em zona de difícil acesso.

Lembra da fórmula:

P C p r o b .   t o t a l   d o   m i n é r i o   t e r   v a l o r   c o m e r c i a l

P C = P C D × P D + P C D c × P D c

= 0,20 × 2 3 + 0,10 × 1 3

= 4 30 + 1 30 = 5 30

P C = 1 6 0,1667

Logo, o percentual será de aproximadamente 16,67 %

Passo 4

(b)

Agora a gente tem que dar a probabilidade do minério ter vindo de uma região de difícil acesso dado que ele possui valor comercial. A gente já sabe que ele tem valor comercial, a gente quer saber agora de onde ele veio. Adivinha? Bayes!

A gente precisa calcular:

P D C =   ?

Pela fórmula:

P D C = P C D × P D P C

Já temos todos os valores, só substituir:

P D C = 0,20 × 2 3 1 6

= 4 30 1 6

P D C = 4 5 = 0,8

Passo 5

(c)

Pesquisadores estimaram que nas localidades de difícil acesso a probabilidade de que o minério tenha valor comercial era de 20 % . Agora temos que ter a proporção real de minérios com valor comercial nas regiões de difícil acesso para que a dificuldade do acesso não altere o valor comercial do minério.

Pra isso P C D = P C D c , concorda? Probabilidade condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de difícil acesso tem que ser igual a prob. condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de fácil acesso. Assim, a dificuldade do acesso não vai alterar nada.

E P C D c a gente conhece, que é 0,1 .

P C D = P C D c = 0,1

Resposta

a   16,67 %

b   0,8

c   0,1

Exercício Resolvido #4

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, pp. 52.

Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 0,1. Um meteorologista da TV acerta suas previsões em 80 % dos dias em que chove e em 90% dos dias em que não chove.

a. Qual é a probabilidade do meteorologista acertar sua previsão?

b. Se houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de

chuva?

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Passo 1

(a)

Definir os eventos:

C : t e r   c h u v a

M : m e t e o r o l o g i s t a   a c e r t a r   a   p r e v i s ã o

E anotas as probabilidades dadas no problema:

Probabilidade de chuva,

P C = 0,1

Probabilidade do meteorogista acertar dado que teve chuva,

P M C = 0,8

Probabilidade do meteorologista acertar dado que não choveu,

P M C c = 0,9

Passo 2

Queremos a probabilidade total de ele acertar a previsão, tendo chuva ou não, ou seja:

P M =   ?

Vamos usar o que então ? Adivinha!

O teorema da prob. Total.

P M = P M C . P C + P M C c . P ( C c )

Passo 3

Antes de substituirmos os valores, precisamos lembrar que:

P C c = 1 - P C

P C c = 0,9

Onde P C c é a probabilidade de não chover.

Passo 4

Agora só substituir:

P M = 0,8 × 0,1 + 0,9 × 0,9

P M = 0,89

Ou seja, a probabilidade total de acerto da previsão é de 89%.

Passo 5

(b)

Precisamos calcular a probabilidade de ter sido um dia de chuva sabendo que o meteorologista acertou a previsão.

P C M =   ?

Ou seja, precisamos dizer a probabilidade de alguma coisa ter acontecido, sabendo uma evidência futura.

Para isso, usaremos o teorema de Bayes.

P C M = P M C . P C P M

Passo 6

Já possuímos todas os valores que precisamos, pois calculamos P ( M ) anteriormente.

Basta substituir então.

P C M = 0,8 × 0,1 0,89 0,089

Resposta

a   0,89   o u   89 %

b   0,089   o u   8,9 %

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Suponha que tenhamos 5 dados em uma caixa. 4 são balanceados, mas em um deles a probabilidade de ocorrer face “seis” é o quádrulo da probabilidade de ocorrer outra face. As faces restantes têm igual probabilidade de ocorrer. Um desses dados é selecionado ao acaso e é lançado. Qual é a probabilidade de esse dado ser balanceado se sair “seis”?

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Passo 1

Primeiro vamos calcular qual a probabilidade de sortearmos um dado viciado. Temos 1 dado viciado entre 5 totais, então:

P V = 1 5

E a probabilidade de ser balanceado é a complementar disso:

P B = 4 5

Agora vamos analisar só o dado viciado e tentar descobrir qual a probabilidade da face “seis” ser sorteada, ou seja, a probabilidade da face ser “seis”, dado que o dado é viciado.

Vamos chamar a probabilidade de uma face diferente de “seis” ser sorteada de p . O enunciado nos diz que a fase “seis” tem o quádrulo de chances de ser sorteada comparada as outras, então:

P F A C E = 6 | V = 4 p

E nós sabemos que a soma das probabilidades de todas as faces tem que dar 1, então:

4 p + p + p + p + p + p = 1

Onde cada p desse é a probabilidade de uma das cinco faces restantes ocorrerem! Isso aí dá:

9 p = 1 p = 0,11

Então:

P F A C E = 6 | V = 4 p = 0,44 44

Passo 2

Agora vamos pensarno que foi perguntado. Concorda comigo que a questão tá querendo que a gente calcule uma parada já sabendo o que aconteceu no final, que foi ter saído uma face “seis”? Então vamos usar o Teorema de Bayes!

O que nós queremos é a probabilidade do dado ser balanceado dado que saiu “seis”, ou seja:

P ( B | F A C E   6 )

E pela fórmula do Teorema isso aí é igual a:

P ( B | F A C E = 6 ) = P F A C E = 6 B × P B P ( F A C E =   6 )

Lembrando que a probabilidade da face ser 6 é uma soma de probabilidades (pelo Teorema da Probabilidade total, lembra?):

P F A C E =   6 = P F A C E = 6 V × P V + P ( F A C E = 6 | B ) × P ( B )

Porque temos que considerar tanto a probabilidade disso acontecer para os dados balanceados como para o dado viciado! E isso aí dá:

P F A C E = 6 = 0,44 44 × 1 5 + 1 6 × 4 5 = 0,2213

Onde esse 1 6 nada mais é que a probabilidade de um dado dar 6 sendo que ele é balanceado! Ou seja:

P F A C E = 6 B = 1 6

Agora substituindo tudo na fórmula do Teorema de Bayes temos:

P B F A C E = 6 = 1 6 × 4 5 0,2213 = 0,60

Resposta

60 %

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