Teoria Completa
Introdução
Vamos começar imaginando que um casal tem dois filhos...
E se eu te perguntasse qual a probabilidade dos dois filhos serem meninas dado que uma delas é menina? Você saberia me responder? Ahaha
Para resolver esse problema vamos utilizar o Teorema de Bayes. Esse teorema é uma fórmula matemática usada para o cálculo da probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu, beleza?!
E eu te garanto que isso não tem nada a ver com as previsões dos Simpsons...
Vamos ver como funciona esse teorema?
Teorema de Bayes
Esse teorema é uma releitura da fórmula que encontramos para a probabilidade condicional. Lembra?
Sabemos também que:
De uma combinação dessas duas equações, temos:
Agora, tomando a mesma suposição que fizemos para o teorema da probabilidade total. Um espaço amostral , dividido em eventos mutuamente exclusivos: teremos o teorema de bayes:
Onde pode ser calculado pelo teorema da probabilidade total.
Para resolver o exemplo lá do início, precisamos definir alguns eventos e probabilidades. Vamos definir os eventos:
Definidos os eventos, vamos definir algumas das probabilidades que precisamos para o cálculo:
Note que a probabilidade de que duas filhas sejam meninas é concorda?
Assumindo que a probabilidade de que uma criança seja menina seja , ou seja, , então a probabilidade de que pelo menos um dos filhos do casal seja uma menina é, showzin?
Podemos concluir também que ou seja, a probabilidade de que um dos filhos seja uma menina dado que as duas são meninas é 1, pois Beleza?!
Sendo assim, temos:
Assim, aplicando o Teorema de Bayes, conseguimos calcular:
Show de bola?!
Vamos fazer mais um exemplo?
Exemplo
Uma empresa de tecidos trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma determinada blusa. As chances de que uma blusa proveniente dos fornecedores A e B esteja fora das especificações são 10% e 5% respectivamente. A montadora recebe 30% das blusas do fornecedor A e 70% de B. Se uma blusa do estoque inteiro é escolhido ao acaso:
(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações.
(b) Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a probabilidade que venha do fornecedor fornecedor A?
Vamos respirar fundo e trabalhar com as informações que temos para resolver esse exemplo!
PASSO 1
Vamos organizar as informações do enunciado:
Sejam os eventos:
Na letra (a) pede a probabilidade de que ela esteja fora das especificações. Ou seja ele quer:
PASSO 2
Vamos calcular essas probabilidades a partir dos dados do enunciado:
Agora calculando temos:
Prontinho já resolvemos a letra (a).
PASSO 3
A letra (b) pede que a probabilidade que venha do fornecedor fornecedor A. Para isso podemos aplicar o teorema de Bayes:
Dessa forma conseguimos calcular a probabilidade da peça vir do fornecedor A. Show de bola?!
Bora fazer mais exercícios?
Exercício Resolvido #1
A chance do barco “Da Noi" vencer uma regata se o vento estiver forte (acima de 20 nós) é de 80% e de 40% se o vento estiver fraco. No dia da regata, a meteorologia prevê vento forte com 70% de chance. Qual a probabilidade de:
- “Da Noi" vencer a regata?
- O vento ter sido forte sabendo que “Da Noi" venceu a regata?
- O vento ter sido fraco sabendo que “Da Noi" não venceu a regata?
Passo 1
Então, aquele mesmo esquema de sempre. Vamos definir os nossos eventos primeiro.
E anotar os dados que o problema deu.
Passo 2
(a)
Aqui temos um caso de probabilidade Total. Temos que calcular a prob. do barco vencer a regata, ventando forte ou não.
Pela fórmula da prob. Total.
Sabendo que:
Passo 3
(b)
Agora a gente vai ter um caso de teorema de Bayes. Porque a gente quer saber se ventou forte, já sabendo que no final o barco venceu a regata. Lembra ?
A gente tá querendo dizer a prob. de uma coisa ter acontecido (ventar forte), já sabendo o que aconteceu no final (vencer a regata).
Pela fórmula do teorema de Bayes.
Certo ?
Passo 4
A gente já tem todos os valores da fórmula, é só substituir.
Passo 5
(c)
Mais uma vez, uma aplicação do teorema de Bayes.
Queremos a prob. de ter tido vento fraco, já sabendo que o barco não venceu a regata.
Pela fórmula de Bayes.
Beleza ?
Passo 6
Tá, a gente já sabe algumas coisas, por exemplo.
E:
Passo 7
Pra terminar, só substituir na fórmula.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30 da preferência eleitoral, o de centro tem 30 e o da esquerda 40. Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.
(a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?
(b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?
Passo 1
(a)
Definir os eventos:
Com isso, anotamos alguns dados do problema:
Que são as probabilidades de as áreas terem prioridade condicionadas a eleição de determinado candidato.
Passo 2
O que queremos ? A probabilidade de NÃO ser dado prioridade as áreas ditas.
Sabemos que:
Então precisamos calcular primeiro.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da probabilidade Total para calcular
Substituímos os valores:
Passo 4
Já podemos calcular o que queremos.
Passo 5
(b)
Agora quero que você já sabendo que foi dado prioridade as áreas ditas, me dê a probabilidade do candidato da direita ter ganho, ou seja, , lembrando que:
Isso é a cara de quem ? De Bayes, muito bem! Hehe
Vamos usar a fórmula do teorema de Bayes.
Passo 6
Subistituindo valores na fórmula.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Sabe-se que dos minérios de uma pequena região encontram-se em localidades de difícil acesso. Nas localidades mais acessíveis (que não são de difícil acesso), apenas dos minérios tem valor comercial. Nas localidades de difícil acesso, pesquisadores estimam que dos minérios tenham valor de comércio.
- Qual é o percentual de minérios com algum valor comercial em toda a região, considerando como correta a estimativa dos pesquisadores?
- Qual é a probabilidade de que um minério sorteado ao acaso tenha vindo de uma localidade de difícil acesso dado que é um minério com valor comercial?
- Desconsiderando a estimativa dos pesquisadores, qual deve ser a real proporção de minérios com valor comercial nas localidades de difícil acesso para que a dificuldade de acesso e o valor comercial do minério sejam independentes do ponto de vista probabilístico.
Passo 1
(a)
O exercício fala da presença de minérios em regiões e seu valor comercial, diz a proporção de minérios em cada tipo de região (fácil ou difícil acesso) e diz qual a porcentagem do minério presente em cada uma das regiões que possui valor comercial.
Bom, vou chamar de
Pela lógica:
O exercício diz a proporção de minério presente em regiões de difícil acesso:
Com isso:
Passo 2
Outro dado que o exercício dá são as probabilidades condicionais do minério ter valor comercial dado que ele está em região de difícil acesso , ou dado que ele está em região de fácil acesso .
As probabilidades são:
Passo 3
Nesse item temos que calcular o percentual de minério com valor comercial em toda região, independente de ser de fácil ou difícil acesso.
Isso quer dizer que a gente tem que calcular a probabilidade total do minério ter valor comercial, considerando os que estão em zona de fácil acesso e os que estão em zona de difícil acesso.
Lembra da fórmula:
Logo, o percentual será de aproximadamente
Passo 4
(b)
Agora a gente tem que dar a probabilidade do minério ter vindo de uma região de difícil acesso dado que ele possui valor comercial. A gente já sabe que ele tem valor comercial, a gente quer saber agora de onde ele veio. Adivinha? Bayes!
A gente precisa calcular:
Pela fórmula:
Já temos todos os valores, só substituir:
Passo 5
(c)
Pesquisadores estimaram que nas localidades de difícil acesso a probabilidade de que o minério tenha valor comercial era de . Agora temos que ter a proporção real de minérios com valor comercial nas regiões de difícil acesso para que a dificuldade do acesso não altere o valor comercial do minério.
Pra isso , concorda? Probabilidade condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de difícil acesso tem que ser igual a prob. condicional do minério ter valor comercial dado que ele é de fácil acesso. Assim, a dificuldade do acesso não vai alterar nada.
E a gente conhece, que é .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Numa certa região, a probabilidade de chuva em um dia qualquer de primavera é de 0,1. Um meteorologista da TV acerta suas previsões em 80 dos dias em que chove e em 90% dos dias em que não chove.
a. Qual é a probabilidade do meteorologista acertar sua previsão?
b. Se houve acerto na previsão feita, qual a probabilidade de ter sido um dia de
chuva?
Passo 1
(a)
Definir os eventos:
E anotas as probabilidades dadas no problema:
Probabilidade de chuva,
Probabilidade do meteorogista acertar dado que teve chuva,
Probabilidade do meteorologista acertar dado que não choveu,
Passo 2
Queremos a probabilidade total de ele acertar a previsão, tendo chuva ou não, ou seja:
Vamos usar o que então ? Adivinha!
O teorema da prob. Total.
Passo 3
Antes de substituirmos os valores, precisamos lembrar que:
Onde é a probabilidade de não chover.
Passo 4
Agora só substituir:
Ou seja, a probabilidade total de acerto da previsão é de 89%.
Passo 5
(b)
Precisamos calcular a probabilidade de ter sido um dia de chuva sabendo que o meteorologista acertou a previsão.
Ou seja, precisamos dizer a probabilidade de alguma coisa ter acontecido, sabendo uma evidência futura.
Para isso, usaremos o teorema de Bayes.
Passo 6
Já possuímos todas os valores que precisamos, pois calculamos anteriormente.
Basta substituir então.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Suponha que tenhamos 5 dados em uma caixa. 4 são balanceados, mas em um deles a probabilidade de ocorrer face “seis” é o quádrulo da probabilidade de ocorrer outra face. As faces restantes têm igual probabilidade de ocorrer. Um desses dados é selecionado ao acaso e é lançado. Qual é a probabilidade de esse dado ser balanceado se sair “seis”?
Passo 1
Primeiro vamos calcular qual a probabilidade de sortearmos um dado viciado. Temos 1 dado viciado entre 5 totais, então:
E a probabilidade de ser balanceado é a complementar disso:
Agora vamos analisar só o dado viciado e tentar descobrir qual a probabilidade da face “seis” ser sorteada, ou seja, a probabilidade da face ser “seis”, dado que o dado é viciado.
Vamos chamar a probabilidade de uma face diferente de “seis” ser sorteada de . O enunciado nos diz que a fase “seis” tem o quádrulo de chances de ser sorteada comparada as outras, então:
E nós sabemos que a soma das probabilidades de todas as faces tem que dar 1, então:
Onde cada desse é a probabilidade de uma das cinco faces restantes ocorrerem! Isso aí dá:
Então:
Passo 2
Agora vamos pensarno que foi perguntado. Concorda comigo que a questão tá querendo que a gente calcule uma parada já sabendo o que aconteceu no final, que foi ter saído uma face “seis”? Então vamos usar o Teorema de Bayes!
O que nós queremos é a probabilidade do dado ser balanceado dado que saiu “seis”, ou seja:
E pela fórmula do Teorema isso aí é igual a:
Lembrando que a probabilidade da face ser 6 é uma soma de probabilidades (pelo Teorema da Probabilidade total, lembra?):
Porque temos que considerar tanto a probabilidade disso acontecer para os dados balanceados como para o dado viciado! E isso aí dá:
Onde esse nada mais é que a probabilidade de um dado dar 6 sendo que ele é balanceado! Ou seja:
Agora substituindo tudo na fórmula do Teorema de Bayes temos: