Teorema de Bayes

Teoria Completa

Esse teorema é uma reeleitura da fórmula que encontramos para a probabilidade condicional. Lembra ?

P A B = P A ∩ B P B

Sabemos também que:

P B A = P A ∩ B P A     →       P A ∩ B = P B A × P ( A )

De uma combinação dessas duas equações, temos:

P A B = P B A × P A P B

Agora, tomando a mesma suposição que fizemos para o teorema da probabilidade total. Um espaço amostral Ω , dividido em eventos mutuamente exclusivos: A 1 , A 2 , A 3 , … teremos o teorema de bayes:

P A i B = P B A i × P A i P B         ,   i = 1,2 , 3 , … , n

Onde P ( B ) pode ser calculado pelo teorema da probabilidade total.

Tá! Mas pra que isso serve? Vamo entender melhor essa parada aí.

Com ela podemos calcular a probabilidade de alguma coisa ter acontecido sabendo evidências futuras, sabendo o que aconteceu no final.

Exemplo: E se eu quisesse saber a probabilidade de ter tido vento forte durante a regata sabendo que o velejador venceu?

Pegou a maldade da parada? Agora eu to querendo que você volte no tempo e me diga se ventou forte ou não já sabendo que no final o velejador venceu a regata. Ou seja, to querendo que você me diga uma parada já sabendo o que aconteceu no final.

É nessa hora que usamos o teorema de bayes! Vamo lá num passo a passo maneiro.

Passo 1) O que queremos?

P W V = prob. de ter ventado forte sabendo que ele venceu

O que precisamos?

P V W = 0,50

P W = 0,30

P V = 0,325 → já calculado

Passo 2) Aplicamos o teorema de Bayes

P W V = P V W × P W P V    

P W V = 0,50 × 0,30 0,325

P W V ≈ 0,46

Partiu exercícios ? Desiste não, vem comigo.

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Exercício Resolvido #1

UFRJ, ProbEst, P1/2013.2, 1

A chance do barco “Da Noi" vencer uma regata se o vento estiver forte (acima de 20 nós) é de 80% e de 40% se o vento estiver fraco. No dia da regata, a meteorologia prevê vento forte com 70% de chance. Qual a probabilidade de:

  1. “Da Noi" vencer a regata?
  2. O vento ter sido forte sabendo que “Da Noi" venceu a regata?
  3. O vento ter sido fraco sabendo que “Da Noi" não venceu a regata?
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Passo 1

Então, aquele mesmo esquema de sempre. Vamos definir os nossos eventos primeiro.

V : b a r c o   v e n c e r   a   r e g a t a

F : v e n t o   e s t a r   f o r t e

E anotar os dados que o problema deu.

P V     F ) = 0,8

P V     F c ) = 0,4

P F = 0,7

Passo 2

(a)

Aqui temos um caso de probabilidade Total. Temos que calcular a prob. do barco vencer a regata, ventando forte ou não.

Pela fórmula da prob. Total.

P V = P V F ) × P F + P ( V | F c ) × P ( F c )

Sabendo que:

P F c = 1 - P F = 0,3

P V = 0,8 × 0,7 + 0,4 × 0,3

P V = 0,68

Passo 3

(b)

Agora a gente vai ter um caso de teorema de Bayes. Porque a gente quer saber se ventou forte, já sabendo que no final o barco venceu a regata. Lembra ?

A gente tá querendo dizer a prob. de uma coisa ter acontecido (ventar forte), já sabendo o que aconteceu no final (vencer a regata).

Pela fórmula do teorema de Bayes.

P F V = P ( V | F ) × P ( F ) P V

Certo ?

Passo 4

A gente já tem todos os valores da fórmula, é só substituir.

P F V = 0,8 × 0,7 0,68

P F V = 0,8236

Passo 5

(c)

Mais uma vez, uma aplicação do teorema de Bayes.

Queremos a prob. de ter tido vento fraco, já sabendo que o barco não venceu a regata.

P F c V c =   ?

Pela fórmula de Bayes.

P F c V c = P V c F c × P F c P V c

Beleza ?

Passo 6

Tá, a gente já sabe algumas coisas, por exemplo.

P V c = 1 - P V

P V c = 1 - 0,68

P V c = 0,32

E:

P V c F c = 1 - P V F c

P V c F c = 1 - 0,4 = 0,6

Passo 7

Pra terminar, só substituir na fórmula.

P F c V c = 0,6 × 0,3 0,32

                              = 0,5625

Resposta

a   0,68

b   0,8236

c   0,5625

Exercício Resolvido #2

Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, pp. 52.

Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita tem 30 % da preferência eleitoral, o de centro tem 30 % e o da esquerda 40 % . Em sendo eleito, a probabilidade de dar, efetivamente, prioridade para Educação e Saúde é de 0,4; 0,6 e 0,9 para os candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente.

(a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo?

(b) Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho a eleição?

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Passo 1

(a)

Definir os eventos:

A : c a n d i d a t o   d a   d i r e i t a   s e r   e l e i t o

B :   c a n d i d a t o   d o   c e n t r o   s e r   e l e i t o

C :   c a n d i d a t o   d a   e s q u e r d a   s e r   e l e i t o

D : s e r   d a d o   p r i o r i d a d e   a s   á r e a s

Com isso, anotamos alguns dados do problema:

P A = 0,3   ,   P B = 0,3   e   P C = 0,4

P D A = 0,4

P D B = 0,6

P D C = 0,9

Que são as probabilidades de as áreas terem prioridade condicionadas a eleição de determinado candidato.

Passo 2

O que queremos ? A probabilidade de NÃO ser dado prioridade as áreas ditas.

P D c =   ?

Sabemos que:

P D c = 1 - P ( D )

Então precisamos calcular P D primeiro.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da probabilidade Total para calcular P D .

P D = P D A . P A + P D B . P B + P D C . P C

Substituímos os valores:

P D = 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,3 + 0,9 × 0,4

P D = 0,66

Passo 4

Já podemos calcular o que queremos.

P D c = 1 - P D

P D c = 1 - 0,66

P D c = 0,34

Passo 5

(b)

Agora quero que você já sabendo que foi dado prioridade as áreas ditas, me dê a probabilidade do candidato da direita ter ganho, ou seja, P ( A | D ) , lembrando que:

A : c a n d i d a t o   d a   d i r e i t a   s e r   e l e i t o

D : s e r   d a d o   p r i o r i d a d e   a s   á r e a s

Isso é a cara de quem ? De Bayes, muito bem! Hehe

Vamos usar a fórmula do teorema de Bayes.

P A D = P D A . P A P D

Passo 6

Subistituindo valores na fórmula.

P A D = 0,4 × 0,3 0,66 ≅ 0,18

Resposta

a   0,34   o u   34 %

b ≅ 0,18   o u   18 %

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2015.1

Sabe-se que 2 / 3 dos minérios de uma pequena região encontram-se em localidades de difícil acesso. Nas localidades mais acessíveis (que não são de difícil acesso), apenas 10 % dos minérios tem valor comercial. Nas localidades de difícil acesso, pesquisadores estimam que 20 % dos minérios tenham valor de comércio.

  1. Qual é o percentual de minérios com algum valor comercial em toda a região, considerando como correta a estimativa dos pesquisadores?
  2. Qual é a probabilidade de que um minério sorteado ao acaso tenha vindo de uma localidade de difícil acesso dado que é um minério com valor comercial?
  3. Desconsiderando a estimativa dos pesquisadores, qual deve ser a real proporção de minérios com valor comercial nas localidades de difícil acesso para que a dificuldade de acesso e o valor comercial do minério sejam independentes do ponto de vista probabilístico.
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Passo 1

(a)

O exercício fala da presença de minérios em regiões e seu valor comercial, diz a proporção de minérios em cada tipo de região (fácil ou difícil acesso) e diz qual a porcentagem do minério presente em cada uma das regiões que possui valor comercial.

Bom, vou chamar de

D → m i n é r i o   p r e s e n t e   e m   r e g i ã o   d e   d i f í c i l   a c e s s o

Pela lógica:

D c → m i n é r i o   p r e s e n t e   e m   r e g i ã o   d e   f á c i l   a c e s s o

O exercício diz a proporção de minério presente em regiões de difícil acesso:

P D = 2 3

Com isso:

P D c = 1 - P D = 1 3

Passo 2

Outro dado que o exercício dá são as probabilidades condicionais do minério ter valor comercial dado que ele está em região de difícil acesso P C D , ou dado que ele está em região de fácil acesso P C D c .

C → m i n é r i o   t e r   v a l o r   c o m e r c i a l

As probabilidades são:

P C D = 20 %