Avaliação do Modelo

Resumo Completo

Criamos um modelo linear para relacionar duas variáveis... Mas como sabe se esse modelo é adequado? Como saber se está bom ou se viajamos?

Pra isso temos algumas forma de analisar :D

  1. Estimador de σ e 2
  2. Decomposição da Soma de Quadrados
  3. Análise de Variância pela tabela ANOVA.

Calma que vamos ver direitinho cada um!

  • Estimador de σ e 2
  • Para julgarmos a adoção de um modelo mais complexo, vamos compara-lo a um modelo mais simples.

    O modelo mais simples a ser utilizado é o:

    y i = μ + e i

    A vantagem será sempre medida por meio da diminuição dos erros de previsão, ou ainda, pela variância residual.

    Para tal modelo, cada resíduo é dado por:

    y i = α ^ + β ^ x i - e i ^

    ê i = y i - α ^ - β ^ x i

    ê i = y i - y i ^

    ê i = y i - α ^ - β ^ x i

    Lembrando que resíduo é a soma de todos os errinhos de outros fatores (além da nossa variável independente) que influenciam na nossa variável dependente.

    E lembre-se que y ^ é o valor ESTIMADO, ou seja, vamos utilizar o α   e   β que encontramos pela fórmula anterior, enquanto y i é o valor amostral.

    Continuando....

    Podemos olhar esse resíduo de várias formas para então determinar se ele é um bom representante dos verdadeiros e i desconhecidos.

    Porém olhar eles de forma independente da muito trabalho então procuramos um jeito de juntá-los, e esse jeito é o SQRes. Mas o que é este SQRes?? Eu te respondo, é a soma quadrada dos resíduos:

    S Q R e s = ( y i - y i ^ ) ² = e i ^ ²

    Mas pequeno quanto? Temos que compará-los com algo e esse é o SQTot, soma dos quadrados totais, e quem é ele?

    S Q T o t = ( y i - y - ) ²

    Sabemos também que a variância amostral S² ou σ ^ ² se dá pela seguinte fórmula:

    σ ^ 2 = S ² = ( y i - y - ) ² n - 1 = S Q T o t n - 1

    Porém quando estimamos σ ^ 2 , perdemos mais um grau de liberdade.

    σ e ^ 2 = S e 2 = S Q r e s n - 2

    E como todos sabemos que a variância amostral é um estimador não viesado da variância populacional, isto é, E σ ^ 2 = σ ² , tchanam achamos nosso estimador!! A raiz quadrada deste σ e ^ 2 , ou seja, S e é chamado de erro padrão da regressão.

  • Decomposição da Soma de Quadrados
  • Ao passarmos do modelo simples para o modelo de regressão linear, vimos que a soma de quadrados é dada por:

    S Q T o t - S Q R e s = S Q R e g

    Resultando no que chamamos Soma de Quadrados devida à Regressão.

    Mas quem são esses caras??

    S Q T o t = ( y i - y - ) ²

    S Q R e s = ( y i - y i ^ ) ² = e i ^ ²

    S Q R e g = ( y i ^ - y i - ) ²

    Mas para que servem essas somas, elas servem para testar se o modelo está “bom”, e como analisamos?? Simples o ideal seria que a SQRes fosse 0, pois não teriam erros na minha regressão, porém isso é impossível então nós esperamos que ele seja o menor possível.

  • Análise de Variância pela tabela ANOVA.

Podemos resumir todas as informações anteriores numa única tabela, chamada de ANOVA. Essa tabela segue o seguinte modelo:

Onde:

Podemos assim verificar qual o ganho relativo ao escolher tal modelo, usando a estatística:

R 2 = S Q R e g S Q T o t

O que diz esse R²? Ele diz o quanto da minha do meu SQTot é explicado pelo meu SQReg, ou seja, quanto maior esse valor melhor é a minha regressão, pois quase nada dela está sendo explicado pelos erros.

Simples assim? SIMPLES ASSIM, mano o R² varia de 0 a 1, se ele tiver muito próximo do 1 BUM!, a regressão não tem quase nada de erro! (veremos depois que ainda faltam outros testes para garantir uma boa regressão, mas vitórias são para serem comemoradas)

Ah, guarda aí a quinta coluna que depois falaremos melhor sobre ela!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 6

Um estudo sobre duração de certas operações está investigando o tempo requerido (em segundos) para acondicionar objetos e o volume (em d m 3 ) que eles ocupam. Uma amostra foi observada e obtiveram-se os seguintes resultados:

a) Faça o diagrama de dispersão dos dados.

b) Estime a reta de regressão do tempo de operação em função do volume.

c) Construa a tabela ANOVA para o modelo.

d) Qual o valor de S 2 ? É pequeno quando comparado a S e 2 ?

e) Você acha que conhecer o volume do pacote ajuda a prever o tempo de empacotamento?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Neste exercício precisaremos ter muita atenção pois aplicaremos quase tudo que vimos, montar o gráfico dos pares de dados, estimar a reta de regressão e montar a tabela anova!

Passo 2

Para montar o gráfico pegamos os pares de dados e plotamos eles, mais ou menos assim

Passo 3

Agora para a letra b precisamos estimar os valores para α e β, só aplicar a fórmula de minímos quadrados, caso você esteja com alguma dificuldade nessa parte recomendo que revise a teoria 1 deste tópico, mas atente-se em que você escolhe como x e y.

A reta será

y ^ i = 0,662 + 0,539 x

Passo 4

Na letra C é que teremos trabalho, para montarmos a tabela ANOVA vamos precisa lembrar algumas coisas, tais como

S Q R e s = e i ^ 2 = ( y i - α ^ - β ^ x i ) ²

S Q R e s = ( y i - 0,662 - 0,539 x i ) ² = 7,161

S Q T o t = ( y i - y - ) ² = ( y i - 14,867 ) ² = 176,100

S Q T o t - S Q R e s = S Q R e g 176,100 - 7,161 = 168,939 = S Q R e g

S e 2 = S Q R e s n - 2 = 7,161 7 = 1,023

S 2 = S Q T o t n - 1 = 176,100 8 = 22 , 0 1 3

Passo 5

Para resolver esta letra basta checarmos a tabela anova pra ver que S 2 = 22,013 e S e 2 = 1,023 . E assim é possível perceber que é realmente pequeno comparando um ao outro.

Passo 6

Após todas as análises que fizemos, podemos sim concluir que conhecer o volume do pacote ajuda a prever o tempo de conhecimento, isto é, a regressão é significativa.

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 20

A análise do lucro anual de uma ação, como função linear da dua cotação média anual, forneceu os resultados abaixo com alguns campos em branco. Preencha a lacuna e interprete os resultados.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para essa questão precisamos apenas escrever os dados da tabela ANOVA que faltam, e dizer coisas sobre o modelo como os QMRes é bem menor que QMTot ou não.

Passo 2

Olhando para a tabela vemos que faltam

g l   d a   r e g r e s s ã o = 1

g l   d o s   r e s í d u o s = 10

S Q R e s = S Q T o t - S Q R e g = 1766 - 1209 = 507

Q M R e g = 1209

Q M R e s = S e 2 = S Q R e s n - 2 = 50,7

Q M T o t = S 2 = S Q T o t n - 1 = 160,54

Agora é só colocar os valores na tabela.

- "

Conseguimos perceber que o QMREs é bem menor que o QMTot, isso da uma boa ideia que a regressão é significativa.

"

Resposta

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No exercício precisamos calcular a reta dos mínimos quadrados, e depois achar o SQRes/n-2

Passo 2

Se você ainda tem dificuldades para calcular a reta por mínimos quadrados, recomendo que de uma olhada na teoria 1 deste módulo.

Temos a reta

y = 4,3 + 1,5 x

Passo 3

Para acharmos o erro padrão da estimativa o primeiro passo é achar SQRes

S Q R e s = e i ^ 2 = ( y i - α ^ - β ^ x i ) ²

S Q R e s = ( y i - 4,3 - 1,5 x i ) ² = 19,9

Agora basta dividir por n-2 que acharemos

S e 2 = S Q r e s n - 2 = 19,9 13 = 1,53

Resposta

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

Construa a tabela Anova para os dados e interprete:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No exercício precisamos calcular a tabela ANOVA, e interpretar resultados como significância da regressão:

Passo 2

Para começarmos precisamos achar os estimadores dos parâmetros, se você tem dificuldade com isso de uma relembrada na parte de mínimos quadrados. A reta é:

y = 6,8696 - 0,2609 x

Passo 3

Agora completando os dados que faltam da tabela (no caso todos)

g l   d a   r e g r e s s ã o = 1

g l   d o s   r e s í d u o s = 3

g l   t o t a l = 4

S Q R e s = e i ^ 2 = ( y i - α ^ - β ^ x i ) ²

S Q R e s = ( y i - 6,8696 + 0,2609 x i ) ² = 0,6087

S Q T o t = ( y i - y - ) ² = ( y i - 4 ) ² = 10

S Q T o t - S Q R e s = S Q R e g 10 - 0,6087 = 9,3913 = S Q R e g

S e 2 = S Q R e s n - 2 = 0,6087 3 = 0,2029

S 2 = S Q T o t n - 1 = 10 4 = 2,5

Q M R e g = 9,3913

Passo 4

-

Podemos ver que o S e 2 é bem menor que o S 2 , e isso indica uma regressão bem significativa.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

Construa a tabela Anova para os dados:

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No exercício precisamos encontrar a tabela ANOVA, e interpretar resultados como significância da regressão:

Passo 2

Para começarmos precisamos achar os estimadores dos parâmetros, se você tem dificuldade com isso de uma relembrada na parte de mínimos quadrados. A reta é:

y = 50,457 - 0,381 x

Passo 3

-

Agora completando os dados que faltam da tabela (no caso todos)

g l   d a   r e g r e s s ã o = 1

g l   d o s   r e s í d u o s = 8

g l   t o t a l = 9

S Q R e s = e i ^ 2 = ( y i - α ^ - β ^ x i ) ²

S Q R e s = ( y i - 50,457 + 0,381 x i ) ² = 110,8763

S Q T o t = ( y i - y - ) ² = ( y i - 27,6 ) ² = 720,4

S Q T o t - S Q R e s = S Q R e g 720,4 - 110,8763 = 609,5237 = S Q R e g

S e 2 = S Q R e s n - 2 = 110,8763 8 = 13,8595

S 2 = S Q T o t n - 1 = 720,4 9 = 80,0444

Q M R e g = 609,5237

Resposta

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 1

  1. Determine a estimativa da linha de regressão do número de erros em função do número de horas sem dormir.
  2. Construa uma tabela ANOVA
  3. Ache o R² e interprete
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

No exercício precisamos encontrar, a reta de regressão, tabela ANOVA, e interpretar alguns resultados como significância da regressão por exemplo:

Passo 2

Para resolvermos a letra A precisamos achar os estimadores dos parâmetros, se você tem dificuldade com isso de uma relembrada na parte de mínimos quadrados. A reta é:

y = 3 + 0 , 475 x

Passo 3

Agora para resolvermos a letra B precisamos completar os dados que faltam da tabela (no caso todos)

g l   d a   r e g r e s s ã o = 1

g l   d o s   r e s í d u o s = 8

g l   t o t a l = 9

S Q R e s = e i ^ 2 = ( y i - α ^ - β ^ x i ) ²

S Q R e s = ( y i - 3 - 0 , 475 x i ) ² = 40,2

S Q T o t = ( y i - y - ) ² = ( y i - 4 ) ² = 1 12,4

S Q T o t - S Q R e s = S Q R e g 112,4 - 40,2 = 72 , 2 = S Q R e g

S e 2 = S Q R e s n - 2 = 40,2 8 = 5,025

S 2 = S Q T o t n - 1 = 1 12,4 9 = 12,489

Q M R e g = 72,2

Passo 4

Para calcular a letra d, vamos calcular o R², que tem a fórmula

R 2 = S Q R e g S Q T o t

R 2 = 72,4 112,4 = 0,64

Um pouco acima de 50%, porém não é tão bom assim

Resposta

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