Regressão Linear

Resumo Completo

Introdução à Regressão Linear

Imagina se quiséssemos relacionar a idade de um adolescente com quantas vezes ele já tomou antibiótico na vida?

Para isso, vamos escrever essas duas coisas como variáveis:

- Variável X: número de vezes que tomou antibiótico.

- Variável Y: idade do adolescente.

Aí imagina que a gente quer estimar a idade de alguém sabendo o número de vezes que esse alguém tomou antibiótico na vida... estranho, né? Mas dá pra fazer! Vamos ver como.

Para isso, nós vamos ter que relacionar as duas variáveis, ou seja, encontrar qual relação existe entre elas.

Uma forma de fazer isso seria escrever a idade de alguém em função do número de vezes que essa pessoa tomou antibiótico. Função? Siiim! Se estamos falando de relacionar variáveis estamos falando de função. Se liga só...

Para construir essa função, vamos usar dados sobre cinco adolescentes:

No eixo X representamos o número de vezes que se tomou antibiótico, e no eixo Y as idades. E aí fazemos pontos no gráfico no cruzamento de cada x com seu respectivo y :

Mas nós queremos aprender a escrever a idade em função de qualquer X . Qual seria a melhor função para fazer isso? Uma reta! Se liga só:

Essa reta aí que desenhamos tem que ser justamente a reta que minimiza a distância entre os pontos e a própria reta! Ou seja, tem que ser a reta mais próxima aos pontos possível.

Porém como saber qual é essa reta??? Qual vai ser a expressão dela?

Pelo método da Regressão Linear!

Esse método vai ser um forma da gente aproximar nossos dados a melhor reta possível, para tentar prever o comportamento de uma variável em função da outra. Vamos trabalhar com apenas duas variáveis ok?

Mas como escrever de fato essa função?

Podemos fazer isso através dessa fórmula aqui:

Y = α X + β + e

Onde:

- α : c o e f i c i e n t e   d e p e n d e n t e

- β : c o e f i c i e n t e   i n d e p e n d e n t e  

- e : e r r o

Não precisa encrencar com esse erro não. É bom representar ele nas nossas respostas finais só pra ficar matematicamente correto, mas não precisamos calcular nada sobre ele.

Vamos ver isso resolvendo um exemplo pra ficar mais claro então?

“Deseja-se relacionar a taxa de mortalidade infantil com a taxa de analfabetismo do país.

Considere:

- Taxa de Analfabetismo: variável independente (X)

- Taxa de Mortalidade Infantil: variável dependente (Y)

Tem-se os seguintes dados:

Qual a reta de regressão que descreve melhor a taxa de mortalidade infantil em função do analfabetismo?”

Passo 1)

Para montarmos a função temos que descobrir o valor dos parâmetros α e β .

Temos as seguintes fórmulas:

α = n   .   x i y i - x i . y i n . x i 2 - x i 2

β = y - - α x -

Masôqueee? Relaxa! Vamos ver direitinho o que cada termo aí dentro significa.

O n é o número de elementos da nossa amostra. Como nosso quadro nos dá informações sobre 5 regiões do país, n = 5 . Os x i e y i são os dados individuais de cada variável. E x -   e y - são as médias amostrais desses dados.

Repara que o exemplo já trouxe valores calculados para nós na tabela. Os “totais” nada mais são que os somatórios:

x i y i = 2892,87

x i = 166,7

y i = 71,4

x i 2 = 6485,50

Então o coeficiente α vale:

α = 5 . 2892,87 - 166,7 . 71,4 5 . 6485,50 - 166,7 2 = 0,55

Passo 2)

Para o cálculo do β , precisamos das médias amostrais, que vão ser dadas por:

x - = x i n = 33,34

y - = y i n = 14,28

Então:

β = y - - α x - = 14,28 - 0,55 ( 33,24 ) = - 4,1

Passo 3)

Agora podemos juntar tudo na fórmula da reta:

Y = 0,55 X - 4,1

Essa aí é nossa melhor reta aproximada!

Covariância e correlação

Beleza, mas para descrever uma relação como uma reta, é bom que esses dados sejam linearmente dependentes, certo?

Imagina só, se a gente tivesse dados que se relacionam em formato de parábola, seria muito estranho tentar relacioná-los usando o método da reta de regressão, concorda comigo?

Como que nós podemos saber o quanto dois conjuntos de dados tem uma relação realmente próxima a uma reta, então? Vamos ver isso com calma.

Vamos pensar nesse exemplo da tabela abaixo, onde temos a evolução de casos de Malária no decorrer das semanas numa certa região.

Se a gente fizesse o diagrama de dispersão desses dados (nº de casos em função do tempo), teríamos isso aqui:

No gráfico a gente percebe que quanto mais as semanas passam menos casos são observados. Pequenos valores pras semanas se relacionam a grandes valores no número de casos e vice e versa.

Existe uma relação linear clara entre esses dados, certo? Como determinar “o quão linear” ela é? Calculando a covariância e a correlação desses dados!

Aqui, como estamos lidando com dados de uma amostra, vamos nos limitar ao cálculo da covariância amostral e do coeficiente de correlação amostral.

Vamos falar primeiro sobre a covariância amostral. Como calcula esse negócio? Respira fundo e vai:

s x y = i = 1 n x i . y i - i = 1 n x i i = 1 n y i n n - 1

Achou que as fórmulas iam parar? Que iam diminuir? Me perdoa, eu também não queria que fosse assim…

****

Um fato bem importante sobre ela: a covariância é negativa se acontece igual no nosso exemplo, uma tendência decrescente. Se a tendência for crescente, a covariância é positiva. Se num tiver tendência linear nenhuma, a covariância é zero.

E a outra medida é o coeficiente de correlação:

r x y = s x y s x . s y

Onde s x e s y são os desvios padrões.

Esse r aí vai sempre estar entre 1 e - 1 . Quanto mais próximo o módulo da correlação for de 1 , mais linear é a relação entre x e y .

Se ele for positivo, quando uma cresce, a outra deve crescer junto. Se for negativo, quando uma cresce, a outra diminui.

E se for 0 quer dizer que x e y são não tem correlação linear! Mas isso não significa que x e y são independentes!!! Porém, se x e y são independentes, a covariância e a correlação deles vale zero.

A covariância e a correlação medem apenas a relação linear entre as variáveis! Então se eles tiverem, por exemplo, uma relação exponencial, isso não será refletido nessas medidas.

No nosso exemplo a reta seria mais ou menos assim:

Ela também poderia ter sido calculada a partir da covariância, quer saber como?

Vimos que a reta de regressão tem essa cara:

Y = b X + a + e r r o

Nosso trabalho então é encontrar os valores de a e de b :

b = s x y s x 2

Já com o valor de b , partiu encontrar o a :

a = i = 1 n y i - b . i = 1 n x i n

b mede o coeficiente angular da reta e a é o valor que a reta corta o eixo y , só lembrando.

O lado bom de ter a equação da reta, é que você pode determinar o valor de Y para qualquer valor de X que você queira e vice e versa.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Foram observados 4 lotes aleatórios de sucos concentrados, cada um com a sua respectiva quantidade (em mg) por pacote e a quantidade de água necessária (em ml).

Estime os parâmetros da reta de regressão Y = a + b X . Onde X é a quantidade em mg.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, pra fazer isso a gente só vai precisar aplicar fórmulas.

b = s x y s x 2

Sendo que...

s x y = i = 1 n x i . y i - i = 1 n x i i = 1 n y i n n - 1

s x 2 = x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1 = ( x i - x - ) ² n - 1

Lembrando que temos essas duas formas de escrever a variância, uma simplificada e outra não. Você pode escolher qual usar, elas dão o mesmo resultado, afinal, são a mesma coisa!

Fazendo as contas vamos ter:

s x y = 119000 - 1200 × 340 4 4 - 1 = 5666,67

s x 2 = 460000 - 4 300 2 4 - 1 = 33,33

Lembrando que o X é a quantidade em mg e que sua média x - vale 300.

Com isso...

b = 0,17

Passo 2

Pra calcular o a ...

a = i = 1 n y i - b . i = 1 n x i n

Substituindo os valores na fórmula..

a = 340 - 0,17 × 1200 4

a = 34

Resposta

Y = 34 + 0,17 X

Exercício Resolvido #2

Enunciado

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 286.

Em seu livro Uncertainties analysis, loads and safety in Structural Engineering (Prentice Hall, 1982) – em português, Análise de incertezas, cargas e segurança em Engenharia de Estruturas -, Gary C. Hart apresenta o conjunto de dados a seguir, que nos permite investigar a relação de dependência entre duas propriedades mecânicas do concreto: X = módulo secante (em 10 6 psi) e Y = força de compressão (em 10 3 psi).

  1. Obtenha um diagrama de dispersão relativo a esses dados;
  2. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y ;
  3. Ajuste os dados a reta de regressão Y = a + b x .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Diagrama de dispersão é colocar os pontos ( X , Y ) num gráfico;

Passo 2

(b)

Coeficiente de correlação é a fórmula:

r x y = s x y s x . s y

Então vamos calcular cada parte separadamente.

s x 2 = x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

x ¯ = i = 1 n x i n = 3,5155

i = 1 20 x i 2 = 247,6033

s x 2 = 0,022

s x = 0,15

Passo 3

s y 2 = y i 2 - n . y ¯ 2 n - 1

y ¯ = i = 1 n y i n = 7,295

i = 1 20 y i 2 = 1102,11

s y 2 = 1,99

s y = 1,41

Passo 4

Agora s x y .

s x y = i = 1 n x i . y i - i = 1 n x i i = 1 n y i n n - 1

i = 1 n x i . y i = 516,322

s x y = 0,1 795

Passo 5

Agora sim:

r x y = s x y s x . s y

r x y = 0,1 795 0,15 × 1,41 = 0 , 8486

Relaxe, dependendo dos seus arredondamento seu resultado pode ter dado um pouco diferente.

Passo 6

(c)

Vamos ajustar a reta, pra isso temos que calcular os coeficientes a e b :

b = s x y s x 2

b = 0,1795 0,15 2 = 7,97

a = i = 1 n y i - b . i = 1 n x i n

a = - 20,72

Nossa reta de regressão seria então:

Y = - 20,72 + 7,97 X + e r r o

Resposta

b   0,8486

c   Y = - 20,72 + 7,97 X + e r r o

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 2

A tabela abaixo indica o valor y do aluguel e a idade x de cinco casas.

a) Encontre a reta de MQ, supondo a relação E y x = α x + β .

b) Faça o gráfico dos pontos e da reta ajustada. Você acha que o modelo adotado é razoável?

c) Qual o significado do coeficiente angular nesse caso?

d) E do coeficiente linear?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Esse é um exercício clássico de regressão linear, em que são você tem os dados da amostra e precisa achar a reta de mínimos quadrados, ou seja precisa estimar α e o β, por aquelas fórmulinhas da teoria

α = n   .   c o l u n a x y - x . y n . x 2 - x 2

β = y - - α x -

Onde nesse caso n = 5, x = {10, 13, 5, 7, 20} e y = {4, 3, 6, 5, 2}. E lembrando que a variável com a barra em cima significa a média amostral dela.

Passo 2

Aqui é a parte chata em que você faz um monte de contas, sugiro que pegue uma calculadora

α = 5   .   184   - 55   .   20 5   .   743 -   3025

α = - 0,26

β = 4 - ( - 0,26 )   .   11

β = 6,87

y i ^ = 6,87 - 0,26 x i

Pronto ai está a sua reta ajustada pelos MQ

Passo 3

Para fazer o gráfico de pontos basta você delimitar um espaço, marcar os pares de pontos e depois traçar a reta que foi achada no passo 2, ela deve ter mais ou menos essa cara.

Não fique triste senão ficar igual, eu (roubei) fiz no computador.

Passo 4

Já na letra (c) ele pede pra explicar o significado do coeficiente angular, que é o α.

Como ele é o termo que está próximo de x, e x é a idade das casas, α significa que o valor médio do aluguel diminui em 0,26 vezes a cada ano que passa.

Passo 5

A letra (d) é bem parecida com a letra (c), só que precisamos explicar o coeficiente linear, β.

É o termo que está “sozinho”, e como ele é igual a y quando x=0, ele diz que o valor médio do aluguel das casas, no tempo 0 é de 6,87.

Resposta

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 3

Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50 gramas cada foram guardadas a diferentes temperaturas, e após 15 dias mediu-se a potência. Os resultados estão no quadro abaixo.

a) Faça a representação gráfica dos dados.

b) Ajuste a reta de MQ, da potência como função da temperatura.

c) O que você acha desse modelo?

d) A que temperatura a potência média seria nula?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sabemos que y = {38, 43, 32, 26, 33, 19, 27, 23, 14, 21} e x = {30, 30, 50, 50, 50, 70, 70, 70, 90, 90}, basta marcar os pares de pontos no gráfico e traçar uma reta que fique razoavelmente bem distribuída entre os pontos. Exemplo:

Passo 2

Para resolvermos a letra (b), basta lembrar das fórmulas que a gente viu na teoria:

α = n   .   c o l u n a x y - x . y n . x 2 - x 2

β = y - - α x -

Achando todos os valores necessários, (recomendo que use uma calculadora ou até um programa de computador) teremos

α = 10   .   14960 - 60 0   .   276   10   .   40200 - 36000 0 =   - 0,38095

β = 27,6 - - 0 , 38095   .   60 = 50,457

y ^ = 50 , 457 - 0 , 38095 x

Passo 3

A pergunta da (c) é, o modelo parece adequado?? Sim, com os dados que temos o modelo parece seguir uma linearidade em que y depende de x. (os valores observados não estão muito longe da reta)

Passo 4

Para respondermos a (d) basta acharmos o valor de x (temperatura), o y ^ (potência média) será 0.

y ^ = 0 50,457 - 0,38095 x = 0 x = 132,43 o

Resposta

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 18

Os dados abaixo referem-se a meses de experiência de dez digitadores e o número de erros cometidos na digitação de determinado texto.

Dados:

x i = 55 ,   x i 2 = 385 ,   y i = 170 ,   x i y i = 706

a) Represente graficamente esse conjunto de dados.

b) Assumindo que um modelo de regressão linear é adequado, determine os coeficientes da equação pelo método dos mínimos quadrados.

c) Represente a reta de regressão no gráfico feito anteriormente

d) Qual a posição do ponto ( x - , y - ) , em relação à reta de regressão?

e) Qual o número esperado de erros para um digitador com 5 meses de experiência?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Neste exercício temos uma amostra com n=10, e não confie nesses dados que ele dá no problema, eles estão errados, tirando o somatório de y refaça todos.

Passo 2

Para montarmos o gráfico basta pegarmos os pares (xi , yi) e ordenar no gráfico, assim:

Passo 3

Para resolvermos a letra c, isto é, acharmos a reta da regressão, precisamos achar os valores de α e β, basta lembrarmos das fórmulas nos valores que calculamos na calculadora, (de novo não confia no exercício, ele fura fila no bandejão).

α = n   .   c o l u n a x y - x . y n . x 2 - x 2

β = y - - α x -

Aplicando os dados:

α = 10   .   706 - 55.170 10   .   385 - 3025 = - 2,776

β = 17 - - 2,776 . 5,5 = 32,267

Logo a sua reta terá a cara:

y ^ = 32,267 - 2,776 x

Passo 4

Agora para traçar a reta pegue uns dois pontos de y na equação encontrada acima e veja que x é seu par, e trace uma reta, ficará mais ou menos assim

Passo 5

Para a nossa sorte já calculamos as médias amostrais, quando achamos β, logo é só achar onde fica o par (5,5,17). Uma dica o par das médias amostrais de x e y vai sempre estar sobre a reta, para provar basta aplicar o x na equação da reta e verá que o resultado será y.

y ^ = 32,267 - 2,776.5,5 = 17

Passo 6

Para resolver a letra (e), é basicamente repetir o passo que fizemos na d, mas trocando o x=5,5 para x=5.

y ^ = 32,267 - 2,776.5 = 18,4

Resposta

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 18

Sejam Y = despesa com viagem, X = duração da viagem (em dias). Para uma amostra com n = 102 obteve-se

x i = 510 ;   x i 2 = 4 15 0 ,   y i = 7 14 0 ,   x i y i = 54900 ; ,   y i 2 = 740200 ; x - = 5 ;

y - = 70

a) Obter a reta y ^ = α ^ + β ^ x i

b) Qual o significado prático de α ^   e   β ^ ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Neste exercício temos uma amostra com n=102, e não se assuste que dessa vez não tem tabela, você tem todos os dados que precisa na questão e até uns que nem precisa. Preste atenção também que nesse caso alfa e beta estão trocados.

Passo 2

Para resolvermos a letra a, isto é, acharmos a reta da regressão, precisamos achar os valores de α e β, aplicando nas fórmulas que já foram vistas antes

β = n   .   c o l u n a x y - x . y n . x 2 - x 2

α = y - - β x -

Aplicando os dados:

β = 10 2   .   54900 - 5 10   .   7140 10 2   .   4150 - 260100 = 12

α = 70 - 12   .   5 = 10

Logo a sua reta terá a cara:

y ^ = 10 + 12 x

Passo 3

Para entender o significa prático das constantes vamos reler o problema e perceber que, o α ^ diz que com zero dias de viagem, ou melhor, o custo inicial da viagem é de 10. Já o β ^ diz que a cada dia que a passa a viagem fica 12x mais cara.

Resposta

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 2

Um administrador de uma grande sorveteria anotou por um longo período de tempo a temperatura média diária, em ºC (X), e o volume de vendas diária de sorvete, em kg (Y). Com os dados, estabeleceu uma equação de regressão, resultando em:

y = 0,5 + 1,8 x ,   c o m   R 2 = 0,80

a) Qual o consumo esperado de sorvete num dia de 27ºC?

b) Qual o incremento esperado nas vendas de sorvete a cada 1ºC de aumento da temperatura?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Esse é um exercício ótimo para entender o significado das constantes, você já tem a reta montada pelo enunciado, daí jogar o valor das constantes no lugar certo.

Passo 2

Na letra A, você apenas precisa sacar que o como a temperatura média diária (x) é 27ºC, logo apenas precisamos substituir o x na reta por 27.

y = 0,5 + 1,8 x y = 0,5 + 1,8   .   27

y = 49,1 k g

Então o consumo esperado de sorverte em um dia é de 49,1kg

Passo 3

A letra B, é similar a letra A, a única diferença é que você não vai exatamente substituir na reta, e sim entender o sentido. Pois é possível perceber que a cada vez que x aumenta em 1ºC, a equação é acrescida de 1,8kg, que é o valor da constante ligada a x.

Então o incremento esperado é uma adição de 1,8kg.

Resposta

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 2

Para cada uma das situaçãos abaixo, grafe os valores em um diagrama e se uma equação linear parecer apropriada para explicar os dados, determine os seus parâmetros

(i)

(ii)

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que o exercício está pedindo é, para cada amostra, montar um gráfico com os pares (x,y) e olhar para esse gráfico e ver se ele tem “cara” de linear, caso tenha montar a equação por mínimos quadrados pelas fórmulinhas que a gente viu na teoria. Vamos lá!!

Passo 2

Pegamos o primeiro conjunto de dados, e colocamos em um gráfico:

Agora olha para essa distribuição de pontos. Parece uma reta?? Não né, então nem precisa montar a reta. uhul!! Aí que você fica triste por não poder aplicar seu vasto conhecimento, mas fé que no próximo vai parecer uma reta.

Passo 3

Agora pegamos o segundo conjunto de dados, e botamos no gráfico.

Parece uma reta?? Parece!!! (se você disse que não ta com a mente muito fechada, se esforça!!). Vamos calcular as constantes agora.

Passo 4

Para acharmos os valores é naquele esquema, formuletas que vimos na teoria

α = n   .   c o l u n a x y - x . y n . x 2 - x 2

β = y - - α x -

Agora temos que fazer toda essas somas, muita atenção!! É muito fácil errar aqui, use uma calculadora

α = 13   .   141502 - 5896   .   291 13   .   3159126 - 34762816 = 0,0196

β = 22,3846 - 0,0196   .   453,5385 = 13,4812

Então a reta que queremos é:

y = 13,4812 + 0,0196 x

Resposta

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