Distribuição de Frequências

Resumo Completo

Introdução

Em certos momento, algo muito importante é saber a frequência dos valores de uma variável, concorda? Por exemplo, numa eleição, é essencial saber quantas vezes cada candidato foi votado pra podermos definir quem foi eleito.

Pegou a ideia? Vamos ver melhor isso aí então...

Vamos usar um exemplo clááásssico aqui! Temos a tabela hipotética abaixo com o peso de 20 alunos de uma turma (em k g ).

A primeira coisa pra deixar tudo mais organizado, é construir nossa tabela Rol, que nada mais é do que arranjar os dados em ordem crescente.

Só em fazer isso, já podemos observar:

  • O menor e o maior valor 70   k g   e   88   k g
  • O valor que mais aparece 77   k g
  • A amplitude da variação dos pesos A m p = 88 - 70 = 18   k g

Tabela de Distribuição de Frequência

Uma forma mais resumida de mostrar os dados do Rol é apresentar cada dado com o número de vezes que ocorre... contruindo nossa tabela de distribuição de frequência.

Ah sim, o número de ocorrências de um determinado valor recebe o nome de frequência absoluta f i .

Essa tabela de distribuição de frequências acima considera dados não grupados.

Tabela de Distribuição de Frequência com Dados Grupados

Maas, a gente poderia considerar dados grupados, agrupando os dados em classes... de 5 em 5, 10 em 10,...

Calma, não é tão aleatório assim, existe uma fórmula pra gente saber o número de classes adequado pra cada situação. Se chama Regra de Sturges.

k = 1 + 3,3 . log n

Ou pela Regra da raiz :

k = n

Onde k é o número de classes e n o número de elementos.

No nosso exemplo...

k = 1 + 3,3 . log 20 5,29 5   c l a s s e s

ou

k = 20 4,47 4   c l a s s e s

Sabendo número de classes, podemos saber os intervalos de cada classe ( h ) ...

h = A m p k

no nosso caso:

h = 18 5 = 3,6 4,0

Agrupando os dados de 4 em 4, teríamos a seguinte distribuição de frequência para dados grupados:

FREQUÊNCIAS RELATIVA E ACUMULADA

A gente viu que frequência absoluta é a quantidade de ocorrências de um valor.

Frequência relativa ( f r i ) então será a frequência absoluta de um valor dividido pelo total de valores.

Voltando ao exemplo:

f r 70 = 2 20 = 0,1

Frequência acumulada F i é só você ir somando as frequências absolutas dos valores anteriores:

F 3 = f 1 + f 2 + f 3

Voltando ao exemplo:

F 74 = f 70 + f 72 + f 74 = 4

Frequência acumulada relativa ( F r i ) é você ir dividindo o valor da frequência acumulada pelo total de valores.

Voltando ao exemplo:

F r 74 = 4 20 = 0,2

Conselho: tomar muito cuidado pra não confundir esses f’s todos haha.

Todos esses conceitos podem ser expandidos pra dados grupados também, quando temos as classes. Ao invés de termos a frequência de um valor, a gente tem a frequência de uma classe. Mas as fórmulas e o pensamento continua o mesmo.

Com todos esses valores em mãos, podemos montar nossa tabela da distribuição de frequência final.

Entendeu? Percebe que fiz a tabela de distribuição de frequência final para o caso de dados grupados (em classes). Também poderia ser pedido para o caso de dados não grupados

MEDIDAS DE CENTRALIDADE E DISPERSÃO PARA DADOS GRUPADOS

Começando por medidas de centralidade para dados grupados:

Média aritmética ( x ¯ ) .

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = i = 1 n x i f i n

Nesse caso x i é o ponto médio da classe. Por exemplo se a classe vai de 4 até 10, x i = 7 .

Mediana M d

Para dados grupados usaremos o seguinte raciocínio:

  1. Calcular a posição n 2 , idenpendente se for par ou ímpar;
  2. Identificar qual classe contém a mediana (onde está a posição n 2 );
  3. Usar a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

l M D limite inferior da classe que contém a mediana.

F frequência acumulada anterior a classe que contém a mediana.

f M D frequência dessa classe.

h amplitude da classe

Quartis primeiro e terceiro Q 1   e   Q 3

Lembrando que a mediana também é o segundo quartil, podemos aproveitar e fazer logo um paralelo com o primeiro e o terceiro quartil. Eles vão ser dados por:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F . h f Q 1

Q 3 = l Q 3 + n + 3 4 - F . h f Q 3

l Q limite inferior da classe que contém o quartil.

F frequência acumulada anterior a classe que contém o quartil.

f Q frequência dessa classe.

h amplitude da classe

Moda M o

Quando os dados estão agrupados, a moda corresponde a classe com frequência simples mais alta e o valor da moda é tomado como sendo o valor médio dessa classe.

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

l limite inferior da classe modal

Δ 1   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 frequência da classe modal menos a da classe posterior

h amplitude da classe

De boa até aqui?! Então vamos continuar!

Também podemos calcular as medidas de dispersão, que indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.

Para dados grupados em classes, vamos usar essas a fórmulas:

Variância amostral ( s 2 ) :

s 2 = x i - x ¯ ² . f i n - 1

Lembrando que x i ainda é o termo central da classe.

Desvio padrão amostral ( s ) :

s = s ²

Coeficiente de variação amostral ( c v ) :

c v = s x ¯

Fórmula, fórmula, fórmula, não desista! Perceba que você já conhecia esses carinhas aí, e as fórmulas continuaram quase as mesmas.

Vamos exercitar que você vai ficar craque nisso!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-8

Considerando os dados abaixo:

  1. Construa a distribuição de frequência para dados grupados (utilizando Sturges);
  2. Encontre a amplitude total;
  3. Calcule a média;
  4. Calcule a mediana;
  5. Calcule a moda;
  6. Calcule a variância;
  7. Calcule o desvio padrão;
  8. Calcule o coeficiente de variação.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a) e (b)

Como queremos dados grupados, temos que dividir os valores em classes.

O exercício pede pra usarmos a regra da Sturges. Como vimos lá na teoria, a fórmula para essa regra é:

n °   d e   c l a s s e s k = 1 + 3,3 . log n

Onde n é o número de elementos da nossa amostra e k a quantidade de classe que vamos ter! Se a gente tem 42 valores na amostra:

1 + 3,3 . log 42 = 6,356

k = 6,356

Arredondando isso aí, vamos ter então 6 classes.

Passo 2

Agora precisamos calcular a amplitude da nossa amostra.

Reparem que a nossa tabela já tá em ordem crescente! A diferença aqui é que tá crescendo “pra baixo”, no sentido das colunas, e não das linhas.

Então podemos ver de cara que o maior valor que temos é 104 e o menor é 80.

A amplitude total da amostra é então:

A m p = 104 - 80 = 24

Com isso, cada classe vai ter uma amplitude igual a:

h = 24 6 = 4

Ou seja vamos ter classes de 4 em 4, começando por 80.

Passo 3

pra construir a distribuição de frequência vamos montar uma tabela com as seguintes colunas:

1 - C l a s s e s

2 - X i   ( o s   v a l o r e s   m é d i o s   d a s   c l a s s e s )

3 - f i f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   c l a s s e

Que é quantos valores existem dentro de cada classe;

4 - F i f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

5 - f r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 42;

6 - F r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (42).

Vamos ver como fica para a nossa primeira classe, que vai começar em 80 e como h = 4 , vai terminar em 80 + 4 = 84 . Nossos valores entre 80 e 84 são:

80 ;   80,5 ;   83,5

Lembrem que nunca contamos o valor que “fecha” o intervalo, no nosso caso o 84 .

Vamos calcular as informações dessa primeira classe então. Começando pelo valor médio X 1 . Se a classe vai de 80 a 84 , o valor médio é:

X 1 = 80 + 84 2 = 82

Agora a frequência absoluta da classe, ou seja, quantos elementos temos dentro dela:

f 1 = 3

E a frequência acumulada:

F 1 = 3

Por quê? Porque essa é nossa primeira classe, então não temos nenhuma frequência acumulada para somar a ela, por que não há classes antes dela!

A frequência relativa vai ficar:

f r 1 = f 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

E por fim a frequência relativa acumulada:

F r 1 = F 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

Passo 4

Repetindo esse passo a passo para todas as classes, ficaria algo assim:

Passo 5

(c)

Para dados grupados calculamos a média usando:

x ¯ = i = 1 n x i f i n

x ¯ = 82 × 3 + 86 × 11 + + 102 × 2 42 = 90,67

Passo 6

(d)

Pra calcular a mediana, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso calculamos o valor de n / 2 que será 42 2 = 21 .

Agora, olhando para os valores de F i procuramos em qual classe estará o valor 21. Percebemos que a classe 84 - 88 tem F = 14 . Como queremos 21 não usaremos essa e sim a seguinte.

No nosso caso a classe da mediana será 88-92.

Ai usamos a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

M d = 88 + 21 - 14 . 4 13 = 90,15

Passo 7

(e)

Para calcular a moda, temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta.

No casso é a classe 88 - 92 que tem f i = 13 .

Aí usamos a fórmula:

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

M o = 88 + 13 - 11 13 - 11 + ( 13 - 8 ) . 4 = 89,14

Passo 8

(f)

Para a variância vamos usar a fórmula:

s 2 = x i - x ¯ ² . f i n - 1

s 2 = 82 - 90,67 2 . 3 + 86 - 90,67 2 . 11 + + 102 - 90,67 2 . 2 41

s ² = 26,47

Passo 9

(g)

Desvio padrão:

s = 26,47 = 5,14

Passo 10

(h)

Coef. De variação:

c v = s x ¯ = 5,14 90,67 = 0,057

Resposta

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-4

Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinado município. Construir a distribuição de frequência para dados não grupados.

144       152       159       160       160       151       157       146       154       145

151       150       142       146       142       141       141       150       143       158

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para construir a distribuição de frequência para esses dados não grupados precisamos construir uma tabela com:

1 - X i   ( o s   v a l o r e s   e m   o r d e m   c r e s c e n t e )

2 - f i   f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   v a l o r

Que é quantas vezes cada um aparece;

3 - F i   f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

4 - f r i   f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 20;

5 - F r i   f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (20).

Passo 2

Construindo a nossa tabela, ficaria algo assim:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUCRIO-P1-2011.2

Observe a seguinte estatística descritiva referente a uma determinada amostra:

Com relação à estatística descritiva acima, responda as perguntas abaixo:

  1. Qual o coeficiente de variação da amostra?
  2. Qual a amplitude máxima da amostra?
  3. Assimetria positiva indica que existem mais valores altos do que baixos? Sim ou não?
  4. O que o coeficiente de curtose desta amostra nos permite dizer com relação a uma Normal?
  5. O que o percentil de 75 % desta amostra nos permite dizer?
  6. Qual é o valor que se repete mais vezes da amostra?
  7. Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma de 50 elementos onde: os intervalos L i + 1 - L 1 são iguais; x i é o ponto médio de cada classe (intervalo); f i frequência absoluta simples; F i : frequência cumulada. Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

(a)

Coeficiente de variação é aquela fórmula, desvio padrão dividido pela média. Tudo isso tá na tabela, só dividir.

c v = 17525,40 33249,01

= 0,527

Passo 2

(b)

Amplitude máxima é o maior valor menos o menor valor, tranquilo, tudo na tabela de novo.

A m p = 115730 - 9181

= 106.549,00

Passo 3

(c)

Não, assimetria positiva quer dizer que a média é maior que a mediana, isso significa que temos mais valores baixos do que altos.

Passo 4

(d)

Nossa curtose é positiva, o que simboliza uma curva platicurtida, aquela mais achatada, lembra? Tem menor curtose que a Normal, comparativamente.

Passo 5

(e)

Nos permite dizer que 75 % dos valores da amostra estão abaixo de 43.976,00 .

Passo 6

(f)

O valor que mais se repete é a nossa moda, que pode ser vista na tabela.

M o d a = 13.599,00

Passo 7

(g)

Vamos devagar, completar as classes é izi, as classes são todas do mesmo tamanho.

Se a primeira classe vai de 160 - 180 , então todas as classes tem amplitude de 20 , só ir completando.

Com isso, completar os x i também é tranquilão, são os pontos do meio da classe.

Na classe que já ali, 160 - 180 , teremos:

x i = 170

Completando esses dois ficamos assim:

Passo 8

Agora podemos pensar que conhecemos alguns x i e alguns x i f i , então podemos tirar os f i facilmente.

Do mesmo jeito, conhecemos o x i e o f i de uma classe e podemos conhecer o x i f i , só multiplicar.

Ficaria assim:

Passo 9

Agora vamos lá, na coluna do F i eu vou somando os valores de f i das classes anteriores, concorda?

Então por exemplo, ali a partir do 27 , posso somar 9 e depois 6 ... descobrindo o F i das classes 220 - 240 e 240 - 260 , respectivamente.

27 + 9 36

36 + 6 42

Hmmm, se o próximo é 50 , consigo descobrir o f i da última classe que estava faltando também, cert?

42 + f i = 50 f i = 8

E com esse f i descubro o x i f i , multiplicando:

x i f i = 8 × 270 = 2160

Fiz muita coisa, vamos ver como ficou...

Passo 10

Falta um da coluna f i que é de boas, só você lembrar que o somatório dessa coluna tem que ser 50 , que é o total de elementos.

= 50 - 5 - 13 - 9 - 6 - 8

= 9

E então calculamos:

x i f i = 9 × 190 = 1710

O primeiro F i é igual ao f i , concorda? Não tem mais nada pra acumular, então o segundo será 14 , que é 5 + 9 .

Finalmente chegamos à tabela completa:

Resposta

Exercício Resolvido #4

Enunciado

MPE BA – FGV 2017

A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:

Assim sendo, é correto afirmar que:

A) o último Decil está na penúltima classe;

B) a mediana da distribuição está na 2ª classe;

C) a média da distribuição está na 3ª classe;

D) a moda exata da distribuição está na 1ª classe;

E) a distribuição é assimétrica à esquerda.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Somando todas as frequências temos um total de:

T o t a l   d e   d a d o s = 47 + 29 + 13 + 7 + 3 + 1 = 100

Dividindo isso aí por dois vemos que a mediana está: n 2 = 50

Na posição 50 . E essa posição é acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é 47 + 29 = 76 , e a primeira classe tem 47 itens, todos os dados entre 47 e 76 vão pertencer a 2ª classe!

Então a resposta é a letra B).

Passo 2

Resposta

Letra B)

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração Própria

Considere os seguintes dados os percentuais de lucros mensais de uma corretora de imóveis:

Construa um a tabela de diagrama de frequência com dados agrupados usando a regra da raiz.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos aí um total de 39 dados. Então o número de classes que temos que ter na nossa tabela, pela regra da raiz, é:

k = n = 39 6,245 k = 6

A amplitude dos nossos dados é o dado de maior valor menor o de menor valor, ou seja:

A m p = 70 - 38 = 32

E o intervalo de cada classe vai ser dado por:

h = A m p k = 32 6 5,333 h = 5

Nossos dados em ordem crescente:

Agora agrupando esses dados de 5 em 5 , começando no primeiro dado que é o o 38 e contando as quantidade de elementos dentro de cada classe (cada agrupamento) temos...

Resposta

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