Distribuição de Frequências

Teoria Completa

Introdução

Fala Aí!! Digamos que um nutricionista de uma equipe com 20 atletas queira dividir a equipe em grupos para saber qual tipo de dieta cada grupo deverá fazer de acordo com o peso de cada um. Como ele pode organizar esses dados (os pesos em kg) para poder analisar os grupos e sugerir uma dieta para cada grupo?

Nós veremos aqui que podemos analisar os dados de duas formas: de uma forma individual e agrupando os dados. Como o professor quer dividir a turma em grupos, a segunda será mais útil para nós, mas antes de agruparmos os dados veremos como analisar e organizar de forma individual, beleeeeza?! Então vamos lá!!

Temos a tabela hipotética abaixo com o peso dos 20 alunos da turma (em k g ).

A primeira coisa pra deixar tudo mais organizado, é construir nossa tabela Rol, que nada mais é do que arranjar os dados em ordem crescente.

Só em fazer isso, já podemos observar:

  • O menor e o maior valor → 70   k g   e   88   k g
  • O valor que mais aparece → 77   k g
  • A amplitude da variação dos pesos → A m p = 88 - 70 = 18   k g

Tabela de Distribuição de Frequência

Uma forma mais resumida de mostrar os dados do Rol é apresentar quantas vezes cada peso aparece na tabela do Rol. Dessa forma, construímos nossa tabela de distribuição de frequência.

Obs.: O número de ocorrências de um determinado valor recebe o nome de frequência absoluta f i .

Essa tabela de distribuição de frequências acima considera dados não agrupados.

FREQUÊNCIAS RELATIVA E ACUMULADA

Agora veremos outros tipos de frequências que existem. Utilizaremos elas para calcular as medidas de dispersão mais à frente.

A gente viu que frequência absoluta é a quantidade de ocorrências de um valor, né?! Além dessa, temos:

Frequência relativa ( f r i ) será a frequência absoluta de um valor dividido pelo total de valores.

Voltando ao exemplo, se quisermos calcular a frequência relativa do f r 70 , teremos:

f r 70 = 2 20 = 0,1

Frequência acumulada F i é o total acumulado (soma) de todas as frequências absolutas anteriores até a frequência absoluta do valor atual.

F 3 = f 1 + f 2 + f 3

No nosso exemplo, se quisermos calcular a frequência acumulada do valor 74 teremos

F 74 = f 70 + f 72 + f 74 = 2 + 1 + 1 = 4

Frequência acumulada relativa ( F r i ) é você ir dividindo o valor da frequência acumulada pelo total de valores.

Voltando ao exemplo, se quisermos calcular a frequência acumulada relativa do 74, teremos:

F r 74 = 4 20 = 0,2

Conselho: tomar muito cuidado pra não confundir esses f’s todos haha.

Um tabelão, né?! Ahahaha

Pô, ai você pode estar se perguntando se tem uma forma de resumir esses dados sem precisar levar em conta os valores individuais...

Então eu te respondo: Tem sim!!!!!! Podemos agrupar esses dados!! Como faremos isso?

Tabela de Distribuição de Frequência com Dados Agrupados

O que a gente vai fazer agora é ver dois jeitos de agrupar os nossos dados, e depois construir uma tabela com a distribuição de frequências, com os dados já agrupados!

Como faremos isso? Iremos agrupar os dados em classes... de 5 em 5, 10 em 10,...

Calma, não é tão aleatório assim!!

Regra de Sturges

Existe uma regrinha que vai nos ajudar a determinar o número de intervalos que são necessários para representar graficamente um conjunto de dados estatísticos adequado pra cada situação!! Se chama Regra de Sturges.

A fórmula dessa regra tem essa carinha:

k = 1 + 3,3 . log ⁡ n

Onde k é o número de classes e n o número total de observações da amostra, belezinha?!

No nosso exemplo, teríamos

k = 1 + 3,3 . log ⁡ 20 ≈ 5,29 → 5   c l a s s e s

Show de bola?!

Regra da Raíz

Existe outra regrinha que pode nos ajudar nessa missão de determinar o número de classes! O nome dela é Regra da Raíz!! A fórmula é essa:

k = n

Onde k é o número de classes e n o número de elementos.

No nosso exemplo...

k = 20 ≈ 4,47 → 4   c l a s s e s

Reparou que os valores de k   deram diferentes para as duas regras? Qual está certa? As duas!

Vai depender de como seu professor cobra isso, ou vai ser dito na questão, ou até mesmo se você quer ser mais minucioso e dividir em mais classes ou não. Aqui eu vou usar a regra de Sturges, belê?

Dessa forma, teremos mais classes e será melhor para visualizar a distribuição dos dados.

Beleza... Já tenho o número de classes do meus dados agrupados.

E agora?

Agora podemos calcular o tamanho do intervalos de cada classe ( h ) :

h = A m p k

onde A m p é a amplitude total que calculamos lá no início: A m p = 88 - 70 = 18   k g

Assim,

h = 18 5 = 3,6 → 4,0

aqui nós sempre arredondaremos para cima o valor!!! Se arredondarmos para baixo teremos problema na hora de construir a nossa tabelinha, beleza?!

Dessa forma, agrupando os dados de 4 em 4, teríamos a seguinte distribuição de frequência para dados grupados:

Showzin?

Todos aqueles tipos de frequências que vimos para dados não agrupados podem ser expandidos pra dados agrupados também, quando temos as classes. Ao invés de termos a frequência de um valor, a gente tem a frequência de uma classe. Mas as fórmulas e o pensamento continua o mesmo.

Com todos esses valores em mãos, podemos montar nossa tabela da distribuição de frequência final:

Entendeu?!

Nos vemos nos exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-4

Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinado município. Construir a distribuição de frequência para dados não grupados.

144       152       159       160       160       151       157       146       154       145

151       150       142       146       142       141       141       150       143       158

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Passo 1

Para construir a distribuição de frequência para esses dados não grupados precisamos construir uma tabela com os valores de X i   em ordem crescente:

Beleza?!

Passo 2

Vamos lá! Vamos calcular a frequência absoluta de cada valor f i   que é quantas vezes cada um aparece:

Passo 3

Agora vamos calcular a nossa frequência acumulada F i  

Só ir somando as f i anteriores;

Por exemplo,

F 145 = f ( 145 ) + f 144 + f 143 + f 142 + f 141

F 145 = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 7

Agora é só repetir o processo para achar os outros valores:

Passo 4

Agora vamos calcular a nossa frequência relativa f r i

Para isso, vamos dividir f i pelo total de valores que no caso são 20;

Quando tivermos f i = 2 ,   então f r i = 0,10 . Da mesma forma, quando f i = 2 ,   então f r i = 0 , 05 .

Assim,

Passo 5

Agora vamos construir nossa frequência relativa acumulada F r i   :

Basta dividir F i pelo total de valores (20):

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Considere os seguintes dados os percentuais de lucros mensais de uma corretora de imóveis:

Construa um a tabela de diagrama de frequência com dados agrupados usando a regra da raiz.

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Passo 1

Temos aí um total de 39 dados. Então o número de classes que temos que ter na nossa tabela, pela regra da raiz, é:

k = n = 39 ≅ 6,245 → k = 6

A amplitude dos nossos dados é o dado de maior valor menor o de menor valor, ou seja:

A m p = 70 - 38 = 32

E o intervalo de cada classe vai ser dado por:

h = A m p k = 32 6 ≅ 5,333 → h = 5

Nossos dados em ordem crescente:

Agora agrupando esses dados de 5 em 5 , começando no primeiro dado que é o o 38 e contando as quantidade de elementos dentro de cada classe (cada agrupamento) temos...

Resposta

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2011.2

Observe a seguinte estatística descritiva referente a uma determinada amostra:

Com relação à estatística descritiva acima, responda as perguntas abaixo:

  1. Qual o coeficiente de variação da amostra?
  2. Qual a amplitude máxima da amostra?
  3. Assimetria positiva indica que existem mais valores altos do que baixos? Sim ou não?
  4. O que o coeficiente de curtose desta amostra nos permite dizer com relação a uma Normal?
  5. O que o percentil de 75 % desta amostra nos permite dizer?
  6. Qual é o valor que se repete mais vezes da amostra?
  7. Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma de 50 elementos onde: os intervalos L i + 1 - L 1 são iguais; x i é o ponto médio de cada classe (intervalo); f i frequência absoluta simples; F i : frequência cumulada. Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.

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Passo 1

(a)

Coeficiente de variação é aquela fórmula, desvio padrão dividido pela média. Tudo isso tá na tabela, só dividir.

c v = 17525,40 33249,01

= 0,527

Passo 2

(b)

Amplitude máxima é o maior valor menos o menor valor, tranquilo, tudo na tabela de novo.

A m p = 115730 - 9181

= 106.549,00

Passo 3

(c)

Não, assimetria positiva quer dizer que a média é maior que a mediana, isso significa que temos mais valores baixos do que altos.

Passo 4

(d)

Nossa curtose é positiva, o que simboliza uma curva leptocúrtica, aquela com o pico mais alto, lembra? Tem maior curtose que a Normal, comparativamente.

Passo 5

(e)

Nos permite dizer que 75 % dos valores da amostra estão abaixo de 43.976,00 .

Passo 6

(f)

O valor que mais se repete é a nossa moda, que pode ser vista na tabela.

M o d a = 13.599,00

Passo 7

(g)

Vamos devagar, completar as classes é izi, as classes são todas do mesmo tamanho.

Se a primeira classe vai de 160 - 180 , então todas as classes tem amplitude de 20 , só ir completando.

Com isso, completar os x i também é tranquilão, são os pontos do meio da classe.

Na classe que já ali, 160 - 180 , teremos:

x i = 170

Completando esses dois ficamos assim:

Passo 8

Agora podemos pensar que conhecemos alguns x i e alguns x i f i , então podemos tirar os f i facilmente.

Do mesmo jeito, conhecemos o x i e o f i de uma classe e podemos conhecer o x i f i , só multiplicar.

Ficaria assim:

Passo 9

Agora vamos lá, na coluna do F i eu vou somando os valores de f i das classes anteriores, concorda?

Então por exemplo, ali a partir do 27 , posso somar 9 e depois 6 ... descobrindo o F i das classes 220 - 240 e 240 - 260 , respectivamente.

27 + 9 → 36

36 + 6 → 42

Hmmm, se o próximo é 50 , consigo descobrir o f i da última classe que estava faltando também, cert?

42 + f i = 50 → f i = 8

E com esse f i descubro o x i f i , multiplicando:

x i f i = 8 × 270 = 2160

Fiz muita coisa, vamos ver como ficou...

Passo 10

Falta um da coluna f i que é de boas, só você lembrar que o somatório dessa coluna tem que ser 50 , que é o total de elementos.

= 50 - 5 - 13 - 9 - 6 - 8

= 9

E então calculamos:

x i f i = 9 × 190 = 1710

O primeiro F i é igual ao f i , concorda? Não tem mais nada pra acumular, então o segundo será 14 , que é 5 + 9 .

Finalmente chegamos à tabela completa:

Resposta

Exercício Resolvido #4

MPE BA – FGV 2017

A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:

Assim sendo, é correto afirmar que:

A) o último Decil está na penúltima classe;

B) a mediana da distribuição está na 2ª classe;

C) a média da distribuição está na 3ª classe;

D) a moda exata da distribuição está na 1ª classe;

E) a distribuição é assimétrica à esquerda.

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Passo 1

Somando todas as frequências temos um total de:

T o t a l   d e   d a d o s = 47 + 29 + 13 + 7 + 3 + 1 = 100

Dividindo isso aí por dois vemos que a mediana está: n 2 = 50

Na posição 50 . E essa posição é acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é 47 + 29 = 76 , e a primeira classe tem 47 itens, todos os dados entre 47 e 76 vão pertencer a 2ª classe!

Então a resposta é a letra B).

Passo 2

Resposta

Letra B)

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Considere os seguintes dados os percentuais de lucros mensais de uma corretora de imóveis:

Construa um a tabela de diagrama de frequência com dados agrupados usando a regra da raiz.

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Passo 1

Temos aí um total de 39 dados. Então o número de classes que temos que ter na nossa tabela, pela regra da raiz, é:

k = n = 39 ≅ 6,245 → k = 6

A amplitude dos nossos dados é o dado de maior valor menor o de menor valor, ou seja:

A m p = 70 - 38 = 32

E o intervalo de cada classe vai ser dado por:

h = A m p k = 32 6 ≅ 5,333 → h = 5

Nossos dados em ordem crescente:

Agora agrupando esses dados de 5 em 5 , começando no primeiro dado que é o o 38 e contando as quantidade de elementos dentro de cada classe (cada agrupamento) temos...

Resposta

Exercício Resolvido #6

As tabelas na parte inferior correspondem às notas dos alunos matriculados na disciplina de Estatística. Usando os dados apresentados, calcule os quartis principais e a DIQ.

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Passo 1

Temos um total de 59 dados, então n = 59 .

Primeiro vamos verificar as posições dos quartis:

p o s   Q 1 = n + 1 4 = 59 + 1 4 = 15

p o s   Q 2 = n + 1 2 = 59 + 1 2 = 30