Distribuição de Frequências

Teoria Completa

Introdução

Em certos momento, algo muito importante é saber a frequência dos valores de uma variável, concorda? Por exemplo, numa eleição, é essencial saber quantas vezes cada candidato foi votado pra podermos definir quem foi eleito.

O que a gente vai fazer agora é ver dois jeitos de agrupar os nossos dados, e depois construir uma tabela com a distribuição de frequências, com os dados já agrupados!

Vamos usar um exemplo clááásssico aqui! Temos a tabela hipotética abaixo com o peso de 20 alunos de uma turma (em k g ).

A primeira coisa pra deixar tudo mais organizado, é construir nossa tabela Rol, que nada mais é do que arranjar os dados em ordem crescente.

Só em fazer isso, já podemos observar:

  • O menor e o maior valor → 70   k g   e   88   k g
  • O valor que mais aparece → 77   k g
  • A amplitude da variação dos pesos → A m p = 88 - 70 = 18   k g

Tabela de Distribuição de Frequência

Uma forma mais resumida de mostrar os dados do Rol é apresentar cada dado com o número de vezes que ocorre... contruindo nossa tabela de distribuição de frequência.

Ah sim, o número de ocorrências de um determinado valor recebe o nome de frequência absoluta f i .

Essa tabela de distribuição de frequências acima considera dados não grupados.

Tabela de Distribuição de Frequência com Dados Grupados

Maas, a gente poderia considerar dados grupados, agrupando os dados em classes... de 5 em 5, 10 em 10,...

Calma, não é tão aleatório assim, existe uma fórmula pra gente saber o número de classes adequado pra cada situação, que vamos chamar de k . Se chama Regra de Sturges:

k = 1 + 3,3 . log ⁡ n

Ou pela Regra da raiz :

k = n

Onde k é o número de classes e n o número de elementos.

No nosso exemplo...

k = 1 + 3,3 . log ⁡ 20 ≈ 5,29 → 5   c l a s s e s

ou

k = 20 ≈ 4,47 → 4   c l a s s e s

Sabendo número de classes, podemos saber os intervalos de cada classe ( h ) ...

h = A m p k

no nosso caso:

h = 18 5 = 3,6 → 4,0

Agrupando os dados de 4 em 4, teríamos a seguinte distribuição de frequência para dados grupados:

FREQUÊNCIAS RELATIVA E ACUMULADA

A gente viu que frequência absoluta é a quantidade de ocorrências de um valor.

Frequência relativa ( f r i ) então será a frequência absoluta de um valor dividido pelo total de valores.

Voltando ao exemplo:

f r 70 = 2 20 = 0,1

Frequência acumulada F i é só você ir somando as frequências absolutas dos valores anteriores:

F 3 = f 1 + f 2 + f 3

Voltando ao exemplo:

F 74 = f 70 + f 72 + f 74 = 4

Frequência acumulada relativa ( F r i ) é você ir dividindo o valor da frequência acumulada pelo total de valores.

Voltando ao exemplo:

F r 74 = 4 20 = 0,2

Conselho: tomar muito cuidado pra não confundir esses f’s todos haha.

Todos esses conceitos podem ser expandidos pra dados grupados também, quando temos as classes. Ao invés de termos a frequência de um valor, a gente tem a frequência de uma classe. Mas as fórmulas e o pensamento continua o mesmo.

Com todos esses valores em mãos, podemos montar nossa tabela da distribuição de frequência final.

Entendeu? Percebe que fiz a tabela de distribuição de frequência final para o caso de dados grupados (em classes). Também poderia ser pedido para o caso de dados não grupados

MEDIDAS DE CENTRALIDADE E DISPERSÃO PARA DADOS GRUPADOS

Começando por medidas de centralidade para dados grupados:

Média aritmética ( x ¯ ) .

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

Nesse caso x i é o ponto médio da classe. Por exemplo se a classe vai de 4 até 10,

x i =   4 + 10 2 = 7

No nosso exemplo:

x - =   72 × 4 + 77 × 7 + 82 × 5 + 87 × 4 20 = 79,25

Mediana M d

Para dados grupados usaremos o seguinte passo-a-passo:

  1. Calcular a posição n 2 , idenpendente se for par ou ímpar;
  2. Identificar qual classe contém a mediana (onde está a posição n 2 );
  3. Usar a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

l M D → limite inferior da classe que contém a mediana.

F → frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.

f M D → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Quartis primeiro e terceiro Q 1   e   Q 3

Lembrando que a mediana também é o segundo quartil, podemos aproveitar e fazer logo um paralelo com o primeiro e o terceiro quartil. Eles vão ser dados por:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F . h f Q 1

Q 3 = l Q 3 + n + 3 4 - F . h f Q 3

l Q → limite inferior da classe que contém o quartil.

F → frequência acumulada anterior a classe que contém o quartil.

f Q → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Moda M o

Quando os dados estão agrupados, a moda corresponde a classe com frequência simples mais alta e o valor da moda é tomado como sendo o valor médio dessa classe.

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

l → limite inferior da classe modal

Δ 1 →   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 → frequência da classe modal menos a da classe posterior

h → amplitude da classe

De boa até aqui?! Então vamos continuar!

Também podemos calcular as medidas de dispersão, que indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.

Para dados grupados em classes, vamos usar essas a fórmulas:

Variância amostral ( s 2 ) :

s 2 = ∑ x i - x ¯ ² . f i n - 1

Lembrando que x i ainda é o termo central da classe.

Desvio padrão amostral ( s ) :

s = s ²

Coeficiente de variação amostral ( c v ) :

c v = s x ¯

Fórmula, fórmula, fórmula, não desista! Perceba que você já conhecia esses carinhas aí, e as fórmulas continuaram quase as mesmas.

Vamos exercitar que você vai ficar craque nisso!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-8

Considerando os dados abaixo:

  1. Construa a distribuição de frequência para dados grupados (utilizando Sturges);
  2. Encontre a amplitude total;
  3. Calcule a média;
  4. Calcule a mediana;
  5. Calcule a moda;
  6. Calcule a variância;
  7. Calcule o desvio padrão;
  8. Calcule o coeficiente de variação.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a) e (b)

Como queremos dados grupados, temos que dividir os valores em classes.

O exercício pede pra usarmos a regra da Sturges. Como vimos lá na teoria, a fórmula para essa regra é:

n °   d e   c l a s s e s → k = 1 + 3,3 . log ⁡ n

Onde n é o número de elementos da nossa amostra e k a quantidade de classe que vamos ter! Se a gente tem 42 valores na amostra:

1 + 3,3 . log ⁡ 42 = 6,356

k = 6,356

Arredondando isso aí, vamos ter então 6 classes.

Passo 2

Agora precisamos calcular a amplitude da nossa amostra.

Reparem que a nossa tabela já tá em ordem crescente! A diferença aqui é que tá crescendo “pra baixo”, no sentido das colunas, e não das linhas.

Então podemos ver de cara que o maior valor que temos é 104 e o menor é 80.

A amplitude total da amostra é então:

A m p = 104 - 80 = 24

Com isso, cada classe vai ter uma amplitude igual a:

h = 24 6 = 4

Ou seja vamos ter classes de 4 em 4, começando por 80.

Passo 3

pra construir a distribuição de frequência vamos montar uma tabela com as seguintes colunas:

1 - C l a s s e s

2 - X i   ( o s   v a l o r e s   m é d i o s   d a s   c l a s s e s )

3 - f i f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   c l a s s e

Que é quantos valores existem dentro de cada classe;

4 - F i f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

5 - f r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 42;

6 - F r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (42).

Vamos ver como fica para a nossa primeira classe, que vai começar em 80 e como h = 4 , vai terminar em 80 + 4 = 84 . Nossos valores entre 80 e 84 são:

80 ;   80,5 ;   83,5

Lembrem que nunca contamos o valor que “fecha” o intervalo, no nosso caso o 84 .

Vamos calcular as informações dessa primeira classe então. Começando pelo valor médio X 1 . Se a classe vai de 80 a 84 , o valor médio é:

X 1 = 80 + 84 2 = 82

Agora a frequência absoluta da classe, ou seja, quantos elementos temos dentro dela:

f 1 = 3

E a frequência acumulada:

F 1 = 3

Por quê? Porque essa é nossa primeira classe, então não temos nenhuma frequência acumulada para somar a ela, por que não há classes antes dela!

A frequência relativa vai ficar:

f r 1 = f 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

E por fim a frequência relativa acumulada:

F r 1 = F 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

Passo 4

Repetindo esse passo a passo para todas as classes, ficaria algo assim: