Distribuição de Frequências

Teoria Completa

Introdução

Em certos momento, algo muito importante é saber a frequência dos valores de uma variável, concorda? Por exemplo, numa eleição, é essencial saber quantas vezes cada candidato foi votado pra podermos definir quem foi eleito.

Pegou a ideia? Vamos ver melhor isso aí então...

Vamos usar um exemplo clááásssico aqui! Temos a tabela hipotética abaixo com o peso de 20 alunos de uma turma (em k g ).

A primeira coisa pra deixar tudo mais organizado, é construir nossa tabela Rol, que nada mais é do que arranjar os dados em ordem crescente.

Só em fazer isso, já podemos observar:

  • O menor e o maior valor 70   k g   e   88   k g
  • O valor que mais aparece 77   k g
  • A amplitude da variação dos pesos A m p = 88 - 70 = 18   k g

Tabela de Distribuição de Frequência

Uma forma mais resumida de mostrar os dados do Rol é apresentar cada dado com o número de vezes que ocorre... contruindo nossa tabela de distribuição de frequência.

Ah sim, o número de ocorrências de um determinado valor recebe o nome de frequência absoluta f i .

Essa tabela de distribuição de frequências acima considera dados não grupados.

Tabela de Distribuição de Frequência com Dados Grupados

Maas, a gente poderia considerar dados grupados, agrupando os dados em classes... de 5 em 5, 10 em 10,...

Calma, não é tão aleatório assim, existe uma fórmula pra gente saber o número de classes adequado pra cada situação. Se chama Regra de Sturges.

k = 1 + 3,3 . log n

Ou pela Regra da raiz :

k = n

Onde k é o número de classes e n o número de elementos.

No nosso exemplo...

k = 1 + 3,3 . log 20 5,29 5   c l a s s e s

ou

k = 20 4,47 4   c l a s s e s

Sabendo número de classes, podemos saber os intervalos de cada classe ( h ) ...

h = A m p k

no nosso caso:

h = 18 5 = 3,6 4,0

Agrupando os dados de 4 em 4, teríamos a seguinte distribuição de frequência para dados grupados:

FREQUÊNCIAS RELATIVA E ACUMULADA

A gente viu que frequência absoluta é a quantidade de ocorrências de um valor.

Frequência relativa ( f r i ) então será a frequência absoluta de um valor dividido pelo total de valores.

Voltando ao exemplo:

f r 70 = 2 20 = 0,1

Frequência acumulada F i é só você ir somando as frequências absolutas dos valores anteriores:

F 3 = f 1 + f 2 + f 3

Voltando ao exemplo:

F 74 = f 70 + f 72 + f 74 = 4

Frequência acumulada relativa ( F r i ) é você ir dividindo o valor da frequência acumulada pelo total de valores.

Voltando ao exemplo:

F r 74 = 4 20 = 0,2

Conselho: tomar muito cuidado pra não confundir esses f’s todos haha.

Todos esses conceitos podem ser expandidos pra dados grupados também, quando temos as classes. Ao invés de termos a frequência de um valor, a gente tem a frequência de uma classe. Mas as fórmulas e o pensamento continua o mesmo.

Com todos esses valores em mãos, podemos montar nossa tabela da distribuição de frequência final.

Entendeu? Percebe que fiz a tabela de distribuição de frequência final para o caso de dados grupados (em classes). Também poderia ser pedido para o caso de dados não grupados

MEDIDAS DE CENTRALIDADE E DISPERSÃO PARA DADOS GRUPADOS

Começando por medidas de centralidade para dados grupados:

Média aritmética ( x ¯ ) .

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = i = 1 n x i f i n

Nesse caso x i é o ponto médio da classe. Por exemplo se a classe vai de 4 até 10, x i = 7 .

Mediana M d

Para dados grupados usaremos o seguinte raciocínio:

  1. Calcular a posição n 2 , idenpendente se for par ou ímpar;
  2. Identificar qual classe contém a mediana (onde está a posição n 2 );
  3. Usar a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

l M D limite inferior da classe que contém a mediana.

F frequência acumulada anterior a classe que contém a mediana.

f M D frequência dessa classe.

h amplitude da classe

Quartis primeiro e terceiro Q 1   e   Q 3

Lembrando que a mediana também é o segundo quartil, podemos aproveitar e fazer logo um paralelo com o primeiro e o terceiro quartil. Eles vão ser dados por:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F . h f Q 1

Q 3 = l Q 3 + n + 3 4 - F . h f Q 3

l Q limite inferior da classe que contém o quartil.

F frequência acumulada anterior a classe que contém o quartil.

f Q frequência dessa classe.

h amplitude da classe

Moda M o

Quando os dados estão agrupados, a moda corresponde a classe com frequência simples mais alta e o valor da moda é tomado como sendo o valor médio dessa classe.

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

l limite inferior da classe modal

Δ 1   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 frequência da classe modal menos a da classe posterior

h amplitude da classe

De boa até aqui?! Então vamos continuar!

Também podemos calcular as medidas de dispersão, que indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.

Para dados grupados em classes, vamos usar essas a fórmulas:

Variância amostral ( s 2 ) :

s 2 = x i - x ¯ ² . f i n - 1

Lembrando que x i ainda é o termo central da classe.

Desvio padrão amostral ( s ) :

s = s ²

Coeficiente de variação amostral ( c v ) :

c v = s x ¯

Fórmula, fórmula, fórmula, não desista! Perceba que você já conhecia esses carinhas aí, e as fórmulas continuaram quase as mesmas.

Vamos exercitar que você vai ficar craque nisso!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-8

Considerando os dados abaixo:

  1. Construa a distribuição de frequência para dados grupados (utilizando Sturges);
  2. Encontre a amplitude total;
  3. Calcule a média;
  4. Calcule a mediana;
  5. Calcule a moda;
  6. Calcule a variância;
  7. Calcule o desvio padrão;
  8. Calcule o coeficiente de variação.
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Passo 1

(a) e (b)

Como queremos dados grupados, temos que dividir os valores em classes.

O exercício pede pra usarmos a regra da Sturges. Como vimos lá na teoria, a fórmula para essa regra é:

n °   d e   c l a s s e s k = 1 + 3,3 . log n

Onde n é o número de elementos da nossa amostra e k a quantidade de classe que vamos ter! Se a gente tem 42 valores na amostra:

1 + 3,3 . log 42 = 6,356

k = 6,356

Arredondando isso aí, vamos ter então 6 classes.

Passo 2

Agora precisamos calcular a amplitude da nossa amostra.

Reparem que a nossa tabela já tá em ordem crescente! A diferença aqui é que tá crescendo “pra baixo”, no sentido das colunas, e não das linhas.

Então podemos ver de cara que o maior valor que temos é 104 e o menor é 80.

A amplitude total da amostra é então:

A m p = 104 - 80 = 24

Com isso, cada classe vai ter uma amplitude igual a:

h = 24 6 = 4

Ou seja vamos ter classes de 4 em 4, começando por 80.

Passo 3

pra construir a distribuição de frequência vamos montar uma tabela com as seguintes colunas:

1 - C l a s s e s

2 - X i   ( o s   v a l o r e s   m é d i o s   d a s   c l a s s e s )

3 - f i f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   c l a s s e

Que é quantos valores existem dentro de cada classe;

4 - F i f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

5 - f r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 42;

6 - F r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (42).

Vamos ver como fica para a nossa primeira classe, que vai começar em 80 e como h = 4 , vai terminar em 80 + 4 = 84 . Nossos valores entre 80 e 84 são:

80 ;   80,5 ;   83,5

Lembrem que nunca contamos o valor que “fecha” o intervalo, no nosso caso o 84 .

Vamos calcular as informações dessa primeira classe então. Começando pelo valor médio X 1 . Se a classe vai de 80 a 84 , o valor médio é:

X 1 = 80 + 84 2 = 82

Agora a frequência absoluta da classe, ou seja, quantos elementos temos dentro dela:

f 1 = 3

E a frequência acumulada:

F 1 = 3

Por quê? Porque essa é nossa primeira classe, então não temos nenhuma frequência acumulada para somar a ela, por que não há classes antes dela!

A frequência relativa vai ficar:

f r 1 = f 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

E por fim a frequência relativa acumulada:

F r 1 = F 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

Passo 4

Repetindo esse passo a passo para todas as classes, ficaria algo assim:

Passo 5

(c)

Para dados grupados calculamos a média usando:

x ¯ = i = 1 n x i f i n

x ¯ = 82 × 3 + 86 × 11 + + 102 × 2 42 = 90,67

Passo 6

(d)

Pra calcular a mediana, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso calculamos o valor de n / 2 que será 42 2 = 21 .

Agora, olhando para os valores de F i procuramos em qual classe estará o valor 21. Percebemos que a classe 84 - 88 tem F = 14 . Como queremos 21 não usaremos essa e sim a seguinte.

No nosso caso a classe da mediana será 88-92.

Ai usamos a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

M d = 88 + 21 - 14 . 4 13 = 90,15

Passo 7

(e)

Para calcular a moda, temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta.

No casso é a classe 88 - 92 que tem f i = 13 .

Aí usamos a fórmula:

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

M o = 88 + 13 - 11 13 - 11 + ( 13 - 8 ) . 4 = 89,14

Passo 8

(f)

Para a variância vamos usar a fórmula:

s 2 = x i - x ¯ ² . f i n - 1

s 2 = 82 - 90,67 2 . 3 + 86 - 90,67 2 . 11 + + 102 - 90,67 2 . 2 41

s ² = 26,47

Passo 9

(g)

Desvio padrão:

s = 26,47 = 5,14

Passo 10

(h)

Coef. De variação:

c v = s x ¯ = 5,14 90,67 = 0,057

Resposta

Exercício Resolvido #2

UERJ-LISTA 1- PROF FABIANO-4

Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinado município. Construir a distribuição de frequência para dados não grupados.

144       152       159       160       160       151       157       146       154       145

151       150       142       146       142       141       141       150       143       158

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para construir a distribuição de frequência para esses dados não grupados precisamos construir uma tabela com:

1 - X i   ( o s   v a l o r e s   e m   o r d e m   c r e s c e n t e )

2 - f i   f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   v a l o r

Que é quantas vezes cada um aparece;

3 - F i   f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

4 - f r i   f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 20;

5 - F r i   f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (20).

Passo 2

Construindo a nossa tabela, ficaria algo assim:

Resposta

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2011.2

Observe a seguinte estatística descritiva referente a uma determinada amostra:

Com relação à estatística descritiva acima, responda as perguntas abaixo:

  1. Qual o coeficiente de variação da amostra?
  2. Qual a amplitude máxima da amostra?
  3. Assimetria positiva indica que existem mais valores altos do que baixos? Sim ou não?
  4. O que o coeficiente de curtose desta amostra nos permite dizer com relação a uma Normal?
  5. O que o percentil de 75 % desta amostra nos permite dizer?
  6. Qual é o valor que se repete mais vezes da amostra?
  7. Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma de 50 elementos onde: os intervalos L i + 1 - L 1 são iguais; x i é o ponto médio de cada classe (intervalo); f i frequência absoluta simples; F i : frequência cumulada. Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.

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Passo 1

(a)

Coeficiente de variação é aquela fórmula, desvio padrão dividido pela média. Tudo isso tá na tabela, só dividir.

c v = 17525,40 33249,01

= 0,527

Passo 2

(b)

Amplitude máxima é o maior valor menos o menor valor, tranquilo, tudo na tabela de novo.

A m p = 115730 - 9181

= 106.549,00

Passo 3

(c)

Não, assimetria positiva quer dizer que a média é maior que a mediana, isso significa que temos mais valores baixos do que altos.

Passo 4

(d)

Nossa curtose é positiva, o que simboliza uma curva leptocúrtica, aquela com o pico mais alto, lembra? Tem maior curtose que a Normal, comparativamente.

Passo 5

(e)

Nos permite dizer que 75 % dos valores da amostra estão abaixo de 43.976,00 .

Passo 6

(f)

O valor que mais se repete é a nossa moda, que pode ser vista na tabela.

M o d a = 13.599,00

Passo 7

(g)

Vamos devagar, completar as classes é izi, as classes são todas do mesmo tamanho.

Se a primeira classe vai de 160 - 180 , então todas as classes tem amplitude de 20 , só ir completando.

Com isso, completar os x i também é tranquilão, são os pontos do meio da classe.

Na classe que já ali, 160 - 180 , teremos:

x i = 170

Completando esses dois ficamos assim:

Passo 8

Agora podemos pensar que conhecemos alguns x i e alguns x i f i , então podemos tirar os f i facilmente.

Do mesmo jeito, conhecemos o x i e o f i de uma classe e podemos conhecer o x i f i , só multiplicar.

Ficaria assim:

Passo 9

Agora vamos lá, na coluna do F i eu vou somando os valores de f i das classes anteriores, concorda?

Então por exemplo, ali a partir do 27 , posso somar 9 e depois 6 ... descobrindo o F i das classes 220 - 240 e 240 - 260 , respectivamente.

27 + 9 36

36 + 6 42

Hmmm, se o próximo é 50 , consigo descobrir o f i da última classe que estava faltando também, cert?

42 + f i = 50 f i = 8

E com esse f i descubro o x i f i , multiplicando:

x i f i = 8 × 270 = 2160

Fiz muita coisa, vamos ver como ficou...

Passo 10

Falta um da coluna f i que é de boas, só você lembrar que o somatório dessa coluna tem que ser 50 , que é o total de elementos.

= 50 - 5 - 13 - 9 - 6 - 8

= 9

E então calculamos:

x i f i = 9 × 190 = 1710

O primeiro F i é igual ao f i , concorda? Não tem mais nada pra acumular, então o segundo será 14 , que é 5 + 9 .

Finalmente chegamos à tabela completa:

Resposta

Exercício Resolvido #4

MPE BA – FGV 2017

A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:

Assim sendo, é correto afirmar que:

A) o último Decil está na penúltima classe;

B) a mediana da distribuição está na 2ª classe;

C) a média da distribuição está na 3ª classe;

D) a moda exata da distribuição está na 1ª classe;

E) a distribuição é assimétrica à esquerda.

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Passo 1

Somando todas as frequências temos um total de:

T o t a l   d e   d a d o s = 47 + 29 + 13 + 7 + 3 + 1 = 100

Dividindo isso aí por dois vemos que a mediana está: n 2 = 50

Na posição 50 . E essa posição é acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é 47 + 29 = 76 , e a primeira classe tem 47 itens, todos os dados entre 47 e 76 vão pertencer a 2ª classe!

Então a resposta é a letra B).

Passo 2

Resposta

Letra B)

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Considere os seguintes dados os percentuais de lucros mensais de uma corretora de imóveis:

Construa um a tabela de diagrama de frequência com dados agrupados usando a regra da raiz.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos aí um total de 39 dados. Então o número de classes que temos que ter na nossa tabela, pela regra da raiz, é:

k = n = 39 6,245 k = 6

A amplitude dos nossos dados é o dado de maior valor menor o de menor valor, ou seja:

A m p = 70 - 38 = 32

E o intervalo de cada classe vai ser dado por:

h = A m p k = 32 6 5,333 h = 5

Nossos dados em ordem crescente:

Agora agrupando esses dados de 5 em 5 , começando no primeiro dado que é o o 38 e contando as quantidade de elementos dentro de cada classe (cada agrupamento) temos...

Resposta

Exercício Resolvido #6

As tabelas na parte inferior correspondem às notas dos alunos matriculados na disciplina de Estatística. Usando os dados apresentados, calcule os quartis principais e a DIQ.

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Passo 1

Temos um total de 59 dados, então n = 59 .

Primeiro vamos verificar as posições dos quartis:

p o s   Q 1 = n + 1 4 = 59 + 1 4 = 15

p o s   Q 2 = n + 1 2 = 59 + 1 2 = 30

p o s   Q 3 = 3 ( n + 1 ) 4 = 3 ( 59 + 1 ) 4 = 45

Passo 2

Com as posições calculadas, temos que procurar os dados que ocupam a posição na segunda tabela, nos baseando pelas frequências acumuladas.

Para o primeiro quartil, queremos a posição 15. A classe que acumula 15 frequências é a ( 4,0 - 5,0 ] . Para calcular o quartil dentro de uma classe, usamos a fórmula:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F h f Q 1

Onde:

l Q 1 l i m i t e   i n f e r i o r   d a   c l a s s e l Q 1 = 4

F f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a   d a   c l a s s e   a n t e r i o r F = 10

h a m p l i t u d e   d a   c l a s s e h = 1

f Q 1 f r e q u ê n c i a   d a   c l a s s e f Q 1 = 8

Então:

Q 1 = 4 + 15 - 10 8 = 4,625

Passo 3

Agora para o segundo quartil, que está na posição 30. Essa posição se encontra dentro da classe ( 6,0 - 7,0 ] . Aplicando a fórmula para o cálculo do quartil:

Q 2 = l Q 2 + n + 1 2 - F h f Q 2 = 6 + 30 - 29 10 = 6,1

E agora o terceiro quartil, que está na posição 45, dentro da classe ( 7,0 - 8,0 ] :

Q 3 = l Q 3 + 3 ( n + 1 ) 4 - F h f Q 3 = 7 + 45 - 39 10 = 7,6

Passo 4

Calculando nossa DIQ:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 7,6 - 4,625 = 2,975

Resposta

Q 1 = 4,625

Q 2 = 6,1

Q 3 = 7,6

D I Q = 2,975

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