Medidas de Centralidade e Dispersão para Dados Agrupados
Teoria
Introdução
Fala Aí!! Digamos que um nutricionista de uma equipe de 20 atletas dividiu a equipe em grupos para saber qual tipo de dieta cada grupo deverá fazer de acordo com o peso de cada um. Ao montar a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados, ficamos com essa carinha:
E se quisermos calcular as medidas de centralidade e dispersão utilizados para representar esses dados?
HOJE É O SEU DIA DE SORTE, POIS É O QUE VAMOS VER AQUI!!!!
Tu lembra que Média, Moda, Mediana, Variância, Desvio Padrão é tuudo fórmulinhas, né?! Então não temos como fugir muito disso para dados agrupados hahahaha
Medidas de Centralidade
Média aritmética
Para dados agrupados usaremos:
Nesse caso é o ponto médio da classe. Por exemplo se a classe vai de 4 até 10,
No nosso exemplo:
Show de bola?
Mediana
Para dados agrupados usaremos o seguinte passo-a-passo:
- Calcular a posição , idenpendente se for par ou ímpar;
- Identificar qual classe contém a mediana (onde está a posição );
- Usar a fórmula:
limite inferior da classe que contém a mediana.
frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.
frequência dessa classe.
amplitude da classe
Voltando pro nosso exemplo, temos primeiro que identificar a classe da mediana.
Para isso, calculamos o valor de que será .
Agora, olhando para os valores de procuramos em qual classe estará o valor 10. Percebemos que está na classe , concorda?
Ai usamos a fórmula:
Beleza?!
Quartis primeiro e terceiro
Lembrando que a mediana também é o segundo quartil, podemos aproveitar e fazer logo um paralelo com o primeiro e o terceiro quartil. Eles vão ser dados por:
limite inferior da classe que contém o quartil.
frequência acumulada anterior a classe que contém o quartil.
frequência dessa classe.
amplitude da classe
Vamos calcular no nosso exemplo. Se você reparar, a classe que contém o quartil é a classe . Assim,
Beleza?!
Moda
Quando os dados estão agrupados, a moda corresponde a classe com frequência simples mais alta e o valor da moda é tomado como sendo o valor médio dessa classe.
limite inferior da classe modal
frequência da classe modal menos a da classe anterior
frequência da classe modal menos a da classe posterior
amplitude da classe
Para calcular a moda no nosso exemplo temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta. No caso é a classe que tem , beleza?!
Aí usamos a fórmula:
De boa até aqui?! Então vamos continuar!
Também podemos calcular as medidas de dispersão, que indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.
Para dados grupados em classes, vamos usar essas a fórmulas que são bem parecidas com o que estamos acostumados:
Variância amostral
Lembrando que ainda é o termo central da classe.
Assim, ficamos com:
Logo,
Beleza?!
Como temos a variância, conseguimos agora encontrar o desvio padrão amostral.
Desvio padrão amostral
Show de bola?! E pra fechar com chave de ouro conseguimos calcular o coeficiente de variação amostral.
Coeficiente de variação amostral
Fórmula, fórmula, fórmula, não desista! Perceba que você já conhecia esses carinhas aí, e as fórmulas continuaram quase as mesmas.
Vamos exercitar que você vai ficar craque nisso!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
MPE BA – FGV 2017
A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:
Assim sendo, é correto afirmar que:
A) o último Decil está na penúltima classe;
B) a mediana da distribuição está na 2ª classe;
C) a média da distribuição está na 3ª classe;
D) a distribuição é assimétrica à esquerda.
Passo 1
Nessa questão, vamos avaliar cada um dos itens e ver qual é o verdadeiro e quais são falsos!
A letra A), diz que o último Decil está na penúltima classe. Vamos encontrar então quem é o nosso último Decil.
O Decil nada mais é do que o elemento que divide os nossos dados em grupos de , por isso, o primeiro Decil é o dado que representa o valor na posição de 10%, o segundo Decil o valor na posição de 20%, o quinto Decil, por exemplo, é o valor na posição de 50% que é o mesmo valor que a mediana!Nós temos um total de nove decis, e o último decil é o elemento que representaria a posição de 90%.
Somando todos as frequências, temos um total de:
Opa! Aí tá fácil né, como temos 100 dados, o último decil vai ser exatamente o dado da posição 90.
Fazendo a frequência acumulada por classes, vemos que:
A classe 1 vai do dado 1 até o dado 47.
A classe 2 vai do dado 48 até o dado ().
A classe 3 vai do dado 77 até o dado ().
Opa, o nosso último decil então está na classe 3, que não é a penúltima classe, logo essa está errada.
Passo 2
A letra b), diz que a mediana se encontra na segunda classe.
A mediana acontece na posição de que nesse caso aonde temos 100 dados, será o dado de número .
E essa posição acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é , e a primeira classe tem itens, todos os dados entre e vão pertencer a 2ª classe!
Então a resposta é a letra B).
Passo 3
A letra c), diz que a média da distribuição está na terceira classe.
Média aritmética
Para dados agrupados usaremos:
Ou seja,
E podemos ver que a segunda classe tem um intervalo de valores entre e , por isso a média está na segunda classe e não na terceira, por isso está errada.
Passo 4
Na letra D), diz que a distribuição é assimétrica a esquerda.
Isso vai ocorrer quando a moda for maior que a mediana.
(Se a moda for igual a mediana, a distribuição é simétrica e se for menor é assimétrica a direita.)
Vamos encontrar aonde está nossa moda, então!
Temos que a classe com maior frequência é a primeira classe, logo a moda ocorre nessa classe e por isso é menor que a média (que ocorre na segunda classe).
Sendo assim, essa é uma distribuição assimétrica à direita e não à esquerda e essa alternativa D) está errada.
Por fim, a única alternativa correta é a letra B).
Resposta
Letra B)
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