Medidas de Centralidade e Dispersão para Dados Agrupados

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Teoria

Introdução

Fala Aí!! Digamos que um nutricionista de uma equipe de 20 atletas dividiu a equipe em grupos para saber qual tipo de dieta cada grupo deverá fazer de acordo com o peso de cada um. Ao montar a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados, ficamos com essa carinha:

E se quisermos calcular as medidas de centralidade e dispersão utilizados para representar esses dados?

HOJE É O SEU DIA DE SORTE, POIS É O QUE VAMOS VER AQUI!!!!

Tu lembra que Média, Moda, Mediana, Variância, Desvio Padrão é tuudo fórmulinhas, né?! Então não temos como fugir muito disso para dados agrupados hahahaha

Medidas de Centralidade

Média aritmética ( x ¯ )

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

Nesse caso x i é o ponto médio da classe. Por exemplo se a classe vai de 4 até 10,

x i =   4 + 10 2 = 7

No nosso exemplo:

x - =   72 × 4 + 76 × 7 + 80 × 2 + 84 × 6 + 88 × 1 20 = 78,6

Show de bola?

Mediana M d

Para dados agrupados usaremos o seguinte passo-a-passo:

  1. Calcular a posição n 2 , idenpendente se for par ou ímpar;
  2. Identificar qual classe contém a mediana (onde está a posição n 2 );
  3. Usar a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

l M D → limite inferior da classe que contém a mediana.

F → frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.

f M D → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Voltando pro nosso exemplo, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso, calculamos o valor de n / 2 que será 20 2 = 10 .

Agora, olhando para os valores de F i procuramos em qual classe estará o valor 10. Percebemos que está na classe 74 - 78 , concorda?

Ai usamos a fórmula:

M d = 74 + 10 - 4 . 4 7 = 77 , 4

Beleza?!

Quartis primeiro e terceiro Q 1   e   Q 3

Lembrando que a mediana também é o segundo quartil, podemos aproveitar e fazer logo um paralelo com o primeiro e o terceiro quartil. Eles vão ser dados por:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F . h f Q 1                  

Q 3 = l Q 3 + n + 3 4 - F . h f Q 3

l Q → limite inferior da classe que contém o quartil.

F → frequência acumulada anterior a classe que contém o quartil.

f Q → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Vamos calcular Q 1   no nosso exemplo. Se você reparar, a classe que contém o quartil é a classe 74 - 78 . Assim,

Q 1 = 74 + 20 + 1 4 - 4 . 4 7 = 74 , 7

Beleza?!

Moda M o

Quando os dados estão agrupados, a moda corresponde a classe com frequência simples mais alta e o valor da moda é tomado como sendo o valor médio dessa classe.

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

l → limite inferior da classe modal

Δ 1 →   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 → frequência da classe modal menos a da classe posterior

h → amplitude da classe

Para calcular a moda no nosso exemplo temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta. No caso é a classe 74 - 78 que tem f i = 7 , beleza?!

Aí usamos a fórmula:

M o = 74 + 3 3 + 5 . 4 = 75,5

De boa até aqui?! Então vamos continuar!

Também podemos calcular as medidas de dispersão, que indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.

Para dados grupados em classes, vamos usar essas a fórmulas que são bem parecidas com o que estamos acostumados:

Variância amostral ( s 2 )

s 2 = ∑ x i - x ¯ ² . f i n - 1

Lembrando que x i ainda é o termo central da classe.

Assim, ficamos com:

s 2 = 72 - 78,6 2 × 4 + 76 - 78,6 2 × 7 + 80 - 78,6 2 × 2 + 84 - 78,6 2 × 6 + 88 - 78,6 2 × 1 19

Logo,

s 2 = 22,73

Beleza?!

Como temos a variância, conseguimos agora encontrar o desvio padrão amostral.

Desvio padrão amostral ( s )

s = s ² = 22,73 = 4,77

Show de bola?! E pra fechar com chave de ouro conseguimos calcular o coeficiente de variação amostral.

Coeficiente de variação amostral ( c v )

c v = s x ¯ = 4,77 78,6 = 0,06

Fórmula, fórmula, fórmula, não desista! Perceba que você já conhecia esses carinhas aí, e as fórmulas continuaram quase as mesmas.

Vamos exercitar que você vai ficar craque nisso!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:

Assim sendo, é correto afirmar que:

A) o último Decil está na penúltima classe;

B) a mediana da distribuição está na 2ª classe;

C) a média da distribuição está na 3ª classe;

D) a distribuição é assimétrica à esquerda.

Passo 1

Nessa questão, vamos avaliar cada um dos itens e ver qual é o verdadeiro e quais são falsos!

A letra A), diz que o último Decil está na penúltima classe. Vamos encontrar então quem é o nosso último Decil.

O Decil nada mais é do que o elemento que divide os nossos dados em grupos de 10 % , por isso, o primeiro Decil é o dado que representa o valor na posição de 10%, o segundo Decil o valor na posição de 20%, o quinto Decil, por exemplo, é o valor na posição de 50% que é o mesmo valor que a mediana!Nós temos um total de nove decis, e o último decil é o elemento que representaria a posição de 90%.

Somando todos as frequências, temos um total de:

T o t a l   d e   d a d o s = 47 + 29 + 13 + 7 + 3 + 1 = 100

Opa! Aí tá fácil né, como temos 100 dados, o último decil vai ser exatamente o dado da posição 90.

Fazendo a frequência acumulada por classes, vemos que:

A classe 1 vai do dado 1 até o dado 47.

A classe 2 vai do dado 48 até o dado ( 47 + 29 = 76 ).

A classe 3 vai do dado 77 até o dado ( 77 + 13 = 90 ).

Opa, o nosso último decil então está na classe 3, que não é a penúltima classe, logo essa está errada.

Passo 2

A letra b), diz que a mediana se encontra na segunda classe.

A mediana acontece na posição de 50 % , que nesse caso aonde temos 100 dados, será o dado de número 50 .

E essa posição acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é 47 + 29 = 76 , e a primeira classe tem 47 itens, todos os dados entre 48 e 76 vão pertencer a 2ª classe!

Então a resposta é a letra B).

Passo 3

A letra c), diz que a média da distribuição está na terceira classe.

Média aritmética ( x ¯ )

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

Ou seja,

x - =   5 × 47 + 15 × 29 + 25 × 13 + 35 × 7 + 45 × 3 100 = 13,75

E podemos ver que a segunda classe tem um intervalo de valores entre 10   e 20 , por isso a média está na segunda classe e não na terceira, por isso está errada.

Passo 4

Na letra D), diz que a distribuição é assimétrica a esquerda.

Isso vai ocorrer quando a moda for maior que a mediana.

(Se a moda for igual a mediana, a distribuição é simétrica e se for menor é assimétrica a direita.)

Vamos encontrar aonde está nossa moda, então!

Temos que a classe com maior frequência é a primeira classe, logo a moda ocorre nessa classe e por isso é menor que a média (que ocorre na segunda classe).

Sendo assim, essa é uma distribuição assimétrica à direita e não à esquerda e essa alternativa D) está errada.

Por fim, a única alternativa correta é a letra B).

Resposta

Letra B)

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