Medidas de Centralidade e Dispersão para Dados Agrupados

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Teoria

Introdução

Fala Aí!! Digamos que um nutricionista de uma equipe de 20 atletas dividiu a equipe em grupos para saber qual tipo de dieta cada grupo deverá fazer de acordo com o peso de cada um. Ao montar a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados, ficamos com essa carinha:

E se quisermos calcular as medidas de centralidade e dispersão utilizados para representar esses dados?

HOJE É O SEU DIA DE SORTE, POIS É O QUE VAMOS VER AQUI!!!!

Tu lembra que Média, Moda, Mediana, Variância, Desvio Padrão é tuudo fórmulinhas, né?! Então não temos como fugir muito disso para dados agrupados hahahaha

Medidas de Centralidade

Média aritmética ( x ¯ )

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

Nesse caso x i é o ponto médio da classe. Por exemplo se a classe vai de 4 até 10,

x i =   4 + 10 2 = 7

No nosso exemplo:

x - =   72 × 4 + 76 × 7 + 80 × 2 + 84 × 6 + 88 × 1 20 = 78,6

Show de bola?

Mediana M d

Para dados agrupados usaremos o seguinte passo-a-passo:

  1. Calcular a posição n 2 , idenpendente se for par ou ímpar;
  2. Identificar qual classe contém a mediana (onde está a posição n 2 );
  3. Usar a fórmula:

M d = l M D + n 2 - F . h f M D

l M D → limite inferior da classe que contém a mediana.

F → frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.

f M D → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Voltando pro nosso exemplo, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso, calculamos o valor de n / 2 que será 20 2 = 10 .

Agora, olhando para os valores de F i procuramos em qual classe estará o valor 10. Percebemos que está na classe 74 - 78 , concorda?

Ai usamos a fórmula:

M d = 74 + 10 - 4 . 4 7 = 77 , 4

Beleza?!

Quartis primeiro e terceiro Q 1   e   Q 3

Lembrando que a mediana também é o segundo quartil, podemos aproveitar e fazer logo um paralelo com o primeiro e o terceiro quartil. Eles vão ser dados por:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F . h f Q 1                  

Q 3 = l Q 3 + n + 3 4 - F . h f Q 3

l Q → limite inferior da classe que contém o quartil.

F → frequência acumulada anterior a classe que contém o quartil.

f Q → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Vamos calcular Q 1   no nosso exemplo. Se você reparar, a classe que contém o quartil é a classe 74 - 78 . Assim,

Q 1 = 74 + 20 + 1 4 - 4 . 4 7 = 74 , 7

Beleza?!

Moda M o

Quando os dados estão agrupados, a moda corresponde a classe com frequência simples mais alta e o valor da moda é tomado como sendo o valor médio dessa classe.

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

l → limite inferior da classe modal

Δ 1 →   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 → frequência da classe modal menos a da classe posterior

h → amplitude da classe

Para calcular a moda no nosso exemplo temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta. No caso é a classe 74 - 78 que tem f i = 7 , beleza?!

Aí usamos a fórmula:

M o = 74 + 3 3 + 5 . 4 = 75,5

De boa até aqui?! Então vamos continuar!

Também podemos calcular as medidas de dispersão, que indicam o espalhamento dos valores da amostra em torno da medida de centralidade.

Para dados grupados em classes, vamos usar essas a fórmulas que são bem parecidas com o que estamos acostumados:

Variância amostral ( s 2 )

s 2 = ∑ x i - x ¯ ² . f i n - 1

Lembrando que x i ainda é o termo central da classe.

Assim, ficamos com:

s 2 = 72 - 78,6 2 × 4 + 76 - 78,6 2 × 7 + 80 - 78,6 2 × 2 + 84 - 78,6 2 × 6 + 88 - 78,6 2 × 1 19

Logo,

s 2 = 22,73

Beleza?!

Como temos a variância, conseguimos agora encontrar o desvio padrão amostral.

Desvio padrão amostral ( s )

s = s ² = 22,73 = 4,77

Show de bola?! E pra fechar com chave de ouro conseguimos calcular o coeficiente de variação amostral.

Coeficiente de variação amostral ( c v )

c v = s x ¯ = 4,77 78,6 = 0,06

Fórmula, fórmula, fórmula, não desista! Perceba que você já conhecia esses carinhas aí, e as fórmulas continuaram quase as mesmas.

Vamos exercitar que você vai ficar craque nisso!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considerando os dados abaixo:

  1. Construa a distribuição de frequência para dados grupados (utilizando Sturges);
  2. Encontre a amplitude total;
  3. Calcule a média;
  4. Calcule a mediana;
  5. Calcule a moda;
  6. Calcule a variância;
  7. Calcule o desvio padrão;
  8. Calcule o coeficiente de variação.

Passo 1

(a)

Aqui nós montaremos uma tabelinha de distribuição de frequência assim como fazíamos para os dados, a diferença é que aqui agruparemos os dados para montar!

Então, a primeira coisa que faremos como queremos dados agrupados, é dividir os valores em classes.

O exercício pede pra usarmos a regra da Sturges. Como vimos lá na teoria, a fórmula para essa regra é:

n °   d e   c l a s s e s → k = 1 + 3,3 . log ⁡ n

Onde n é o número de elementos da nossa amostra e k a quantidade de classe que vamos ter! Se a gente tem 42 valores na amostra:

1 + 3,3 . log ⁡ 42 = 6,356

k = 6,356

Arredondando isso aí, vamos ter então 6 classes.

Passo 2

(b) Agora precisamos calcular a amplitude da nossa amostra.

Reparem que a nossa tabela já tá em ordem crescente! A diferença aqui é que tá crescendo “pra baixo”, no sentido das colunas, e não das linhas.

Então podemos ver de cara que o maior valor que temos é 104 e o menor é 80.

A amplitude total da amostra é então:

A m p = 104 - 80 = 24

Com isso, cada classe vai ter uma amplitude igual a:

h = 24 6 = 4

Ou seja vamos ter classes de 4 em 4, começando por 80.

Passo 3

Para construir a distribuição de frequência vamos montar uma tabela com as seguintes colunas:

1 - C l a s s e s

2 - X i   ( o s   v a l o r e s   m é d i o s   d a s   c l a s s e s )

Vamos ver como fica para a nossa primeira classe, que vai começar em 80 e como h = 4 , vai terminar em 80 + 4 = 84 . Nossos valores entre 80 e 84 são:

80 ;   80,5 ;   83,5

Lembrem que nunca contamos o valor que “fecha” o intervalo, no nosso caso o 84 .

Vamos calcular as informações dessa primeira classe então. Começando pelo valor médio X 1 . Se a classe vai de 80 a 84 , o valor médio é:

X 1 = 80 + 84 2 = 82

3 - f i f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   c l a s s e

Agora a frequência absoluta da classe, ou seja, quantos elementos temos dentro dela. Por exemplo,

f 1 = 3

4 - F i f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

No primeiro caso

F 1 = 3

Por quê? Porque essa é nossa primeira classe, então não temos nenhuma frequência acumulada para somar a ela, por que não há classes antes dela!

No caso

F 2 = 11 + 3 = 14

E vamos seguir esse mesmo processo pro restante! Ficaremos com

5 - f r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 42;

Por exemplo, na primeira classe a frequência relativa vai ficar:

f r 1 = f 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

6 - F r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (42). Para a primeira classe, teriamos

F r 1 = F 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

Passo 4

Repetindo esse passo a passo para todas as classes, ficaria algo assim:

Passo 5

(c)

Para dados grupados calculamos a média usando:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

x ¯ = 82 × 3 + 86 × 11 + … + 102 × 2 42 = 90,67

Passo 6

(d)

Pra calcular a mediana, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso calculamos o valor de n / 2 que será 42 2 = 21 .

Agora, olhando para os valores de F i procuramos em qual classe estará o valor 21. Percebemos que a classe 84 - 88 tem F = 14 . Como queremos 21 não usaremos essa e sim a seguinte.

No nosso caso a classe da mediana será 88 - 92 .

Ai usamos a fórmula:

M d = l M D + n 2 - ∑ F . h f M D

Onde

l M D → limite inferior da classe que contém a mediana.

F → frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.

f M D → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Assim,

M d = 88 + 21 - 14 . 4 13 = 90,15

Passo 7

(e)

Para calcular a moda, temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta.

No casso é a classe 88 - 92   que tem f i = 13 .

Aí usamos a fórmula:

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

Onde

l → limite inferior da classe modal

Δ 1 →   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 → frequência da classe modal menos a da classe posterior

h → amplitude da classe

M o = 88 + 13 - 11 13 - 11 + ( 13 - 8 ) . 4 = 89,14

Passo 8

(f)

Para a variância vamos usar a fórmula:

s 2 = ∑ x i - x ¯ ² . f i n - 1

s 2 = 82 - 90,67 2 . 3 + 86 - 90,67 2 . 11 + … + 102 - 90,67 2 . 2 41

s ² = 26,47

Passo 9

(g)

Desvio padrão:

s = s ² = 26,47 = 5,14

Passo 10

(h)

Coef. De variação:

c v = s x ¯ = 5,14 90,67 = 0,057

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Observe a seguinte estatística descritiva referente a uma determinada amostra:

Com relação à estatística descritiva acima, responda as perguntas abaixo:

  1. Qual o coeficiente de variação da amostra?
  2. Qual a amplitude máxima da amostra?
  3. Assimetria positiva indica que existem mais valores altos do que baixos? Sim ou não?
  4. O que o coeficiente de curtose desta amostra nos permite dizer com relação a uma Normal?
  5. O que o percentil de 75 % desta amostra nos permite dizer?
  6. Qual é o valor que se repete mais vezes da amostra?
  7. Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma de 50 elementos onde: os intervalos L i + 1 - L 1 são iguais; x i é o ponto médio de cada classe (intervalo); f i frequência absoluta simples; F i : frequência cumulada. Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.

Passo 1

(a)

Coeficiente de variação é aquela fórmula, desvio padrão dividido pela média. Tudo isso tá na tabela, só dividir.

c v = 17525,40 33249,01

= 0,527

Passo 2

(b)

Amplitude máxima é o maior valor menos o menor valor, tranquilo, tudo na tabela de novo.

A m p = 115730 - 9181

= 106.549,00

Passo 3

(c)

Não, assimetria positiva quer dizer que a média é maior que a mediana, isso significa que temos mais valores baixos do que altos.

Passo 4

(d)

Nossa curtose é positiva, o que simboliza uma curva leptocúrtica, aquela com o pico mais alto, lembra? Tem maior curtose que a Normal, comparativamente.

Passo 5

(e)

Nos permite dizer que 75 % dos valores da amostra estão abaixo de 43.976,00 .

Passo 6

(f)

O valor que mais se repete é a nossa moda, que pode ser vista na tabela.

M o d a = 13.599,00

Passo 7

(g)

Vamos devagar, completar as classes é izi, as classes são todas do mesmo tamanho.

Se a primeira classe vai de 160 - 180 , então todas as classes tem amplitude de 20 , só ir completando.

Com isso, completar os x i também é tranquilão, são os pontos do meio da classe.

Na classe que já ali, 160 - 180 , teremos:

x i = 170

Completando esses dois ficamos assim:

Passo 8

Agora podemos pensar que conhecemos alguns x i e alguns x i f i , então podemos tirar os f i facilmente.

Do mesmo jeito, conhecemos o x i e o f i de uma classe e podemos conhecer o x i f i , só multiplicar.

Ficaria assim:

Passo 9

Agora vamos lá, na coluna do F i eu vou somando os valores de f i das classes anteriores, concorda?

Então por exemplo, ali a partir do 27 , posso somar 9 e depois 6 ... descobrindo o F i das classes 220 - 240 e 240 - 260 , respectivamente.

27 + 9 → 36

36 + 6 → 42

Hmmm, se o próximo é 50 , consigo descobrir o f i da última classe que estava faltando também, cert?

42 + f i = 50 → f i = 8

E com esse f i descubro o x i f i , multiplicando:

x i f i = 8 × 270 = 2160

Fiz muita coisa, vamos ver como ficou...

Passo 10

Falta um da coluna f i que é de boas, só você lembrar que o somatório dessa coluna tem que ser 50 , que é o total de elementos.

= 50 - 5 - 13 - 9 - 6 - 8

= 9

E então calculamos:

x i f i = 9 × 190 = 1710

O primeiro F i é igual ao f i , concorda? Não tem mais nada pra acumular, então o segundo será 14 , que é 5 + 9 .

Finalmente chegamos à tabela completa:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

A distribuição de frequências do número de apreensões de valores (em milhões R$) realizadas pela Polícia Federal, em determinado período, é conforme a seguir:

Assim sendo, é correto afirmar que:

A) o último Decil está na penúltima classe;

B) a mediana da distribuição está na 2ª classe;

C) a média da distribuição está na 3ª classe;

D) a distribuição é assimétrica à esquerda.

Passo 1

Nessa questão, vamos avaliar cada um dos itens e ver qual é o verdadeiro e quais são falsos!

A letra A), diz que o último Decil está na penúltima classe. Vamos encontrar então quem é o nosso último Decil.

O Decil nada mais é do que o elemento que divide os nossos dados em grupos de 10 % , por isso, o primeiro Decil é o dado que representa o valor na posição de 10%, o segundo Decil o valor na posição de 20%, o quinto Decil, por exemplo, é o valor na posição de 50% que é o mesmo valor que a mediana!Nós temos um total de nove decis, e o último decil é o elemento que representaria a posição de 90%.

Somando todos as frequências, temos um total de:

T o t a l   d e   d a d o s = 47 + 29 + 13 + 7 + 3 + 1 = 100

Opa! Aí tá fácil né, como temos 100 dados, o último decil vai ser exatamente o dado da posição 90.

Fazendo a frequência acumulada por classes, vemos que:

A classe 1 vai do dado 1 até o dado 47.

A classe 2 vai do dado 48 até o dado ( 47 + 29 = 76 ).

A classe 3 vai do dado 77 até o dado ( 77 + 13 = 90 ).

Opa, o nosso último decil então está na classe 3, que não é a penúltima classe, logo essa está errada.

Passo 2

A letra b), diz que a mediana se encontra na segunda classe.

A mediana acontece na posição de 50 % , que nesse caso aonde temos 100 dados, será o dado de número 50 .

E essa posição acontece justamente ali na 2ª classe, certo? Já que a frequência acumulada da 2ª classe é 47 + 29 = 76 , e a primeira classe tem 47 itens, todos os dados entre 48 e 76 vão pertencer a 2ª classe!

Então a resposta é a letra B).

Passo 3

A letra c), diz que a média da distribuição está na terceira classe.

Média aritmética ( x ¯ )

Para dados agrupados usaremos:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

Ou seja,

x - =   5 × 47 + 15 × 29 + 25 × 13 + 35 × 7 + 45 × 3 100 = 13,75

E podemos ver que a segunda classe tem um intervalo de valores entre 10   e 20 , por isso a média está na segunda classe e não na terceira, por isso está errada.

Passo 4

Na letra D), diz que a distribuição é assimétrica a esquerda.

Isso vai ocorrer quando a moda for maior que a mediana.

(Se a moda for igual a mediana, a distribuição é simétrica e se for menor é assimétrica a direita.)

Vamos encontrar aonde está nossa moda, então!

Temos que a classe com maior frequência é a primeira classe, logo a moda ocorre nessa classe e por isso é menor que a média (que ocorre na segunda classe).

Sendo assim, essa é uma distribuição assimétrica à direita e não à esquerda e essa alternativa D) está errada.

Por fim, a única alternativa correta é a letra B).

Resposta

Letra B)

Exercício Resolvido #4

As tabelas na parte inferior correspondem às notas dos alunos matriculados na disciplina de Estatística. Usando os dados apresentados, calcule os quartis principais e a DIQ.

Passo 1

Temos um total de 59 dados, então n = 59 .

Primeiro vamos verificar as posições dos quartis:

p o s   Q 1 = n + 1 4 = 59 + 1 4 = 15

p o s   Q 2 = n + 1 2 = 59 + 1 2 = 30

p o s   Q 3 = 3 ( n + 1 ) 4 = 3 ( 59 + 1 ) 4 = 45

Passo 2

Com as posições calculadas, temos que procurar os dados que ocupam a posição na segunda tabela, nos baseando pelas frequências acumuladas.

Para o primeiro quartil, queremos a posição 15. A classe que acumula 15 frequências é a ( 4,0 - 5,0 ] . Para calcular o quartil dentro de uma classe, usamos a fórmula:

Q 1 = l Q 1 + n + 1 4 - F h f Q 1

Onde:

l Q 1 → l i m i t e   i n f e r i o r   d a   c l a s s e → l Q 1 = 4

F → f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a   d a   c l a s s e   a n t e r i o r → F = 10

h → a m p l i t u d e   d a   c l a s s e → h = 1

f Q 1 → f r e q u ê n c i a   d a   c l a s s e → f Q 1 = 8

Então:

Q 1 = 4 + 15 - 10 8 = 4,625

Passo 3

Agora para o segundo quartil, que está na posição 30. Essa posição se encontra dentro da classe ( 6,0 - 7,0 ] . Aplicando a fórmula para o cálculo do quartil:

Q 2 = l Q 2 + n + 1 2 - F h f Q 2 = 6 + 30 - 29 10 = 6,1

E agora o terceiro quartil, que está na posição 45, dentro da classe ( 7,0 - 8,0 ] :

Q 3 = l Q 3 + 3 ( n + 1 ) 4 - F h f Q 3 = 7 + 45 - 39 10 = 7,6

Passo 4

Calculando nossa DIQ:

D I Q = Q 3 - Q 1 = 7,6 - 4,625 = 2,975

Resposta

Q 1 = 4,625

Q 2 = 6,1

Q 3 = 7,6

D I Q = 2,975

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