Medidas de Assimetria e Curtose

Resumo Completo

Vamos entender melhor nesse tópico como caracterizar as curvas das nossas distribuições de probabilidade ou nossos dados estatísticos. Partiu?

Medidas de Assimetria

Dá uma olhada nessas distribuições:

Concorda comigo que todas elas tem um aspecto espelhado em relação a essa linha vertical no centro? Show, agora dá uma olhada nessas outras distribuições:

Percebeu que essas daqui não tem aspecto espelhado? O que isso significa?! Que essas distribuições são assimétricas! E as espelhadas que vimos antes são simétricas. Vamos ver melhor as características de cada uma separadamente.

Distribuições simétricas

Uma distribuição vai ser simétrica em um valor central x 0 sempre que:

f x 0 - a = f ( x 0 + a )

Sendo a uma constante qualquer. Ou seja:

Esse valor x 0 é sempre a média da nossa distribuição.

Aqui, nós vamos trabalhar com distribuições simétricas e unimodais, ou seja, só possuem uma moda (o valor com maior probabilidade de acontecer)!

Um detalhe importante sobre essas distribuições é a posição da mediana e da moda dos valores. A média, a mediana e a moda sempre coincidem no mesmo ponto, que é sempre o ponto central!

As simétricas mais famosas que vamos acabar usando ao longo do curso de Probabilidade ou Estatística são a Normal e a T-Student!

Distribuições Assimétricas

Nas distribuições assimétricas, vamos ver que a média, a mediana e a moda na verdade não coincidem.

Vamos ver separadamente os dois tipos de assimétricas que teremos.

1º tipo: Assimétrica Positiva

A curva vai ser uma assimétrica positiva quando ela tiver descolada desse jeitinho para a esquerda. Alguns autores também chamam ela de assimétrica a direita (por que a cauda da direita é a mais longa!). E curvas desse tipo sempre terão a relação:

m o d a < m e d i a n a < m é d i a

2º tipo: Assimétrica Negativa

Vamos ter uma assimétrica negativa quando nossa curva tiver descolada desse jeitinho para a direita. Alguns autores também chamam ela de assimétrica a esquerda (por que a cauda da esquerda é a mais longa!). E curvas desse tipo sempre terão a relação:

m é d i a < m e d i a n a < m o d a

Dentre as assimétricas mais famosas na estatística podemos lembrar da distribuição Qui-Quadrado ou da Fischer-Snedecor!

Coeficiente de Assimetria de Pearson

Mas será que tem uma forma matemática de determinar quão simétrica ou assimétrica uma curva é??? Tem sim!

Uma das formas de descrever o quanto uma distribuição é assimétria é calculando o coeficiente de Pearson A dela. Ele é dado por:

A = x - - M o s

Onde x - é a média, M o a moda e s o desvio padrão. Depois de calcular o A , decidimos o quão assimétrica a curva é pelas seguintes relações:

A = 0 curva simétrica

0 < A < 1 curva assimétrica positiva fraca

A 1 curva assimétrica positiva forte

- 1 < A < 0 curva assimétrica negativa fraca

A - 1 curva assimétrica negativa forte

Uma curva com A = 0 seria por exemplo a curva da Normal.

Curiosidade: Lembra que quanto maior for o número de graus de liberdade que temos num distribuição Qui-Quadrado, mais próxima ela é da distribuição Normal? Então conforme a gente aumenta os graus de liberdade de uma Qui-Quadrado, a curva dela vai ficando mais simétrica e o coeficiente A vai se aproximando de zero!

Curtose

Você concorda comigo que saber o quão simétrica é uma curva não é a única que importa na hora de descrever uma distribuição? Nós precisamos saber também o quão achatada é essa curva, por exemplo! Não entendeu? Se liga nesses gráficos então:

Temos três curvas aí dentro, todas simétricas mas diferentes entre si, correto? A diferença entre elas é o justamente o achatamento. E é exatamente isso que a curtose vai descrever, o quão achatada é uma distribuição!

A curtose b 2 é calculada por:

b 2 = 1 n i = 1 n x i - x - s 4 - 3

Vamos ver um exemplo:

“11 idosos foram entrevistados. Foram listadas as idades em que cada um deles se aposentou:

72 ,   70 ,   77 ,   60 ,   67 ,   69 ,   68 ,   66 ,   65 ,   71 ,   69

Calcule a curtose dos dados obtidos.”

Sabemos que n = 11 e podemos calcular a média e o desvio padrão pelas fórmulas que sempre usamos:

x - = 68,55

s = 4,32

Então a curtose b 2 é calculada por:

b 2 = 1 11 i = 1 n x i - 68,55 4,32 4 - 3

b 2 = 1 11 72 - 68,55 4 + 70 - 68,55 4 + + 71 - 68,55 4 + 69 - 68,55 4 4,32 4 - 3

b 2 = - 0,18

E como interpretar o valor de b 2 ?

Dessa forma aí ó!

Quanto maior for o valor da curtose, menos achatada é a curva!

Sempre que nossa curtose valer zero, nós vamos chamar a curva da distribuição de mesocúrtica. Sabe quem tem curtose zero? A curva distribuição Normal!

Quando uma curva for menos achatada que a Normal, ou seja, tiver curtose positiva, ela vai ser chamada de Leptocúrtica.

Quando uma curva for mais achatada que a Normal, ou seja, tiver curtose negativa, ela vai ser chamada de Platicúrtica.

Curiosidade: Consegue lembrar de alguém que é tem curva mais achatada que a Normal? Ela mesma, a T-Student! E lembra que a medida que aumentamos o número de graus de liberdade de uma T-Student a curva vai ficando mais próxima de uma Normal? Então agora sabemos que quanto mais graus de liberdade tivermos, mais próxima de zero é a nossa curtose!

Agora partiu fixar isso tudo nos exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/CE 2011 - CESPE - ANALISTA LEGISLATIVO - ESTATÍSTICA

Um levantamento foi realizado para se avaliar, por município, a quantidade X de obras que estão sob suspeita de irregularidade. Com base em uma amostra de municípios, foi obtida a distribuição de frequências mostrada na tabela abaixo.

Julgue a assimetria desta distribuição.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Podemos começar ilustrando esses dados aí num diagrama de frequências, colocando os valores de X no eixo horizontal e as frequências absolutas no eixo vertical:

Opa! Só olhando pra esse gráfico já tá na cara que a distribuição não é simétrica. Reparou que a moda, ou seja, a maior frequência, não tá centralizada? Isso aí por si só já é uma prova.

Passo 2

Mas vamos quantificar o quão assimétrica ela é calculando o coeficiente de Pearson:

A = x - - M o s

Podemos começar calculando a média amostral, que é dada por:

x - = x i f i r

Onde f i r é a frequência relativa de cada x i , que é dada por:

f i r = f i n

Onde f i é a frequência absoluta e n é o número total de frequências. Para calcular n basta somarmos todas as frequências dadas na tabela:

n = 80 + 47 + 30 + 20 + 6 + 1 = 184

Então agora podemos calcular a média:

x - = x i f i r = x - = x i f i n

x - = 0 80 184 + 1 47 184 + 2 30 184 + 3 20 184 + 4 6 184 + 5 1 184 = 1,065

Agora podemos calcular o desvio padrão:

s = f i ( x i - x - ) ² n - 1

Lembrando que aqui temos esse f i aí dentro por que os dados tem frequência diferente de 1!

= 80 0 - 1,065 2 + 47 1 - 1,065 2 + 30 2 - 1,065 2 + 20 3 - 1,065 2 + 6 4 - 1,065 2 + 1 5 - 1,065 2 184 - 1

s = 0,960

E a moda é o X com maior frequência absoluta, ou seja x = 0 . Agora podemos calcular o coeficiente substituindo os valores:

A = 1,065 - 0 0,960 = 1,109

Opa, e quando nosso A é maior que 1 , vimos que temos uma assimetria positiva forte!

Resposta

Assimetria positiva forte

Exercício Resolvido #2

Enunciado

P1 PUC-RIO 2018.1, 1b

Defina o que é uma distribuição platicúrtica. Mostre através de um esboço a relação entre os três tipos (Mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica).

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Antes de definir essas distribuições, precisamos lembrar o que é curtose. A curtose ( b 2 ) é uma medida que caracteriza o quanto uma curva de função de probabilidade é achatada.

A curva da distribuição normal é usada como padrão para uma curva mesocúrtica, ou seja, com curtose igual a zero.

A distribuição leptocúrtica é aquela que é mais alta e concentrada que a distribuição normal, carinhosamente chamada também de distribuição com “caudas pesadas”. Tem curtose maior que zero.

E finalmente, vamos definir a distribuição platicúrtica. Ela é a distribuição que tem curva mais achatada que a normal, um exemplo é a distribuição T de Student! Tem curtose menor que zero.

Passo 2

Um gráfico relacionamento as três seria tipo esse aqui:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Enunciado

SEEDUC/AM 2011 - CESPE - ESTATÍSTICO

Considerando as densidades de probabilidade ilustradas na figura acima, julgue os itens que se seguem a respeito dos momentos dessas distribuições.

Julgue a curtose da distribuição B e a assimetria da distribuição A.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se olharmos direitinho vemos que a distruibução B está abaixo da distribuição da Normal Padrão, o que quer dizer que ela está mais achatada que a Normal! Quando temos uma distribuição mais achatada que a Normal, dizemos que essa distribuição é platicúrtica e tem curtose b 2 negativa.

E quando a distribuição A, vemos que ela é assimétrica e está deslocada para a esquerda, e esse tipo de assimetria é classificada como assimetria positiva (ou à direita! – porque a cauda é mais longa na direita.)

Resposta

Distribuição A: assimétria positiva

Distribuição B: Platicúrtica

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