Responde Aí

Assimetria e curtose

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí, você chegou no Responde Aí! E agora vamos falar um pouco sobre medidas de assimetria e curtose.

Assimetria e simetria

Dá uma olhada nessas distribuições:

Exemplo de distribuições simétricas
Exemplo de distribuições simétricas

Se você notar bem, todos os gráficos da figura são espelhados em relação a uma linha vertical pontilhada. Todas esses gráficos representam distribuições simétricas, como se o gráfico fosse espelhado.

A distribuição normal, t-student e uniforme são exemplos de distribuições simétricas

Beleza! Mas e o que seria uma distribuição assimétrica? Dá uma olhada nesses gráficos:

Exemplos de distribuição assimétrica
Exemplos de distribuição assimétrica

Percebeu que essas daqui não tem aspecto espelhado? O que isso significa?! Que essas distribuições são assimétricas! Vamos ver melhor as características de cada uma separadamente.

Distribuições simétricas

Agora que temos a noção gráfica do que é uma distribuição simétrica, você tem que saber que a definição matemática é:

Regra de uma distribuição simétrica
Regra de uma distribuição simétrica

Ou seja, se é o ponto central da curva simétrica, então se a gente se afastar um valor para direita ou para esquerda, o resultado tem que ser o mesmo

Na prática é sempre a média da distribuição

Um detalhe importante sobre essas distribuições é a posição da mediana e da moda dos valores. A média, a mediana e a moda sempre coincidem no mesmo ponto, que é sempre o ponto central!

Em  distribuições simétricas a média, a mediana e a moda sempre coincidem no mesmo ponto
Em distribuições simétricas a média, a mediana e a moda sempre coincidem no mesmo ponto

Distribuições assimétricas

Nas distribuições assimétricas, vamos ver que a média, a mediana e a moda na verdade não coincidem.

Dentre as assimétricas mais famosas na estatística podemos lembrar da distribuição Qui-Quadrado ou da Fischer-Snedecor!

Temos dois tipos de distribuições assimétricas:

  1. Assimétrica positiva: quando é

    Um detalhe legal, é que distribuições assimétricas positivas tem o lado direito mais alongado assim:

    Distribuição assimétrica positiva
    Distribuição assimétrica positiva

  2. Assimétrica negativa: quando é

    Essas distribuições tem o lado esquerdo mais alongado, dessa forma:

    Distribuição assimétrica negativa
    Distribuição assimétrica negativa

Coeficiente de Assimetria de Pearson

Existe uma forma matemática de determinar a “intensidade” da assimetria, é o coeficiente de assimetria de Pearson, dado pela fórmula

Onde: é a média, é a moda, e o é o desvio padrão.

Para analisar o coeficiente de assimetria fazemos assim:

  • Se então a curva é simétrica
  • Se então a curva é assimétrica positiva fraca
  • Se então a curva é assimétrica positiva forte
  • Se então a curva assimétrica negativa fraca
  • Se então a curva é assimétrica negativa forte

Curtose

A curtose é uma medida que diz se uma distribuição é achatada ou não. Pra entender melhor dá uma olhada nessa figura:

Distribuições simétricas com diferentes níveis de curtose.
Distribuições simétricas com diferentes níveis de curtose.

Temos três curvas aí nessa figura, todas simétricas mas diferentes entre si, correto? A diferença entre elas é o justamente, o achatamento. E é exatamente isso que a curtose vai descrever, o quão achatada é uma distribuição!

Para calcular a curtose usamos:

Tipos de curtose

Depois de calcular a curtose é necessário interpretar o valor de . Em geral:

  • Quanto maior for o valor da curtose, menos achatada é a curva!
  • Se chamamos de curva leptocúrtica
  • Se chamamos de curva mesocúrtica (Por exemplo, a distribuição normal)
  • Se chamamos de curva platicúrtica

Tipos de curtose
Tipos de curtose

Exemplo

11 idosos foram entrevistados. Foram listadas as idades em que cada um deles se aposentou:

a) Determine se é uma distribuição simétrica

b) Calcule a curtose

Passo 1: Primeiro vamos precisar calcular a média, mediana, moda e desvio padrão

Então vamos colocar a distribuição em ordem:

Vemos que a mediana é:

E observamos que a moda é:

A média é:

E o desvio padrão é:

Passo 2: Agora vamos calcular se a distribuição é ou não é simétrica usando Coeficiente de Assimetria de Pearson

Ou seja, então essa curva é assimétrica negativa fraca

Passo 3: Agora vamos verificar a curtose:

Então essa é uma curva do tipo platicúrtica.

Videoaula

Quer aprender ainda mais? Então se liga nessa super videoaula sobre o tema:

E agora vamos praticar fazendo uns exercícios de fixação aqui em baixo 👇

Curtose

Exemplo

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um levantamento foi realizado para se avaliar, por município, a quantidade X de obras que estão sob suspeita de irregularidade. Com base em uma amostra de municípios, foi obtida a distribuição de frequências mostrada na tabela abaixo.

Julgue a assimetria desta distribuição.

Passo 1

Podemos começar ilustrando esses dados aí num diagrama de frequências, colocando os valores de X no eixo horizontal e as frequências absolutas no eixo vertical:

Opa! Só olhando pra esse gráfico já tá na cara que a distribuição não é simétrica. Reparou que a moda, ou seja, a maior frequência, não tá centralizada? Isso aí por si só já é uma prova.

Passo 2

Mas vamos quantificar o quão assimétrica ela é calculando o coeficiente de Pearson:

A = x - - M o s

Podemos começar calculando a média amostral, que é dada por:

x - = ∑ x i f i r

Onde f i r é a frequência relativa de cada x i , que é dada por:

f i r = f i n

Onde f i é a frequência absoluta e n é o número total de frequências. Para calcular n basta somarmos todas as frequências dadas na tabela:

n = 80 + 47 + 30 + 20 + 6 + 1 = 184

Então agora podemos calcular a média:

x - = ∑ x i f i r = x - = ∑ x i f i n

x - = 0 80 184 + 1 47 184 + 2 30 184 + 3 20 184 + 4 6 184 + 5 1 184 = 1,065

Agora podemos calcular o desvio padrão:

s = ∑ f i ( x i - x - ) ² n - 1

Lembrando que aqui temos esse f i aí dentro por que os dados tem frequência diferente de 1!

= 80 0 - 1,065 2 + 47 1 - 1,065 2 + 30 2 - 1,065 2 + 20 3 - 1,065 2 + 6 4 - 1,065 2 + 1 5 - 1,065 2 184 - 1

s = 0,960

E a moda é o X com maior frequência absoluta, ou seja x = 0 . Agora podemos calcular o coeficiente substituindo os valores:

A = 1,065 - 0 0,960 = 1,109

Opa, e quando nosso A é maior que 1 , vimos que temos uma assimetria positiva forte!

Resposta

Assimetria positiva forte

Exercício Resolvido #2

Considerando as densidades de probabilidade ilustradas na figura acima, julgue os itens que se seguem a respeito dos momentos dessas distribuições.

Julgue a curtose da distribuição B e a assimetria da distribuição A.

Passo 1

Se olharmos direitinho vemos que a distruibução B está abaixo da distribuição da Normal Padrão, o que quer dizer que ela está mais achatada que a Normal! Quando temos uma distribuição mais achatada que a Normal, dizemos que essa distribuição é platicúrtica e tem curtose b 2 negativa.

E quando a distribuição A, vemos que ela é assimétrica e está deslocada para a esquerda, e esse tipo de assimetria é classificada como assimetria positiva (ou à direita! – porque a cauda é mais longa na direita.)

Resposta

Distribuição A: assimétria positiva

Distribuição B: Platicúrtica

Exercícios de Livros Relacionados

7-63.Seja X,X......X.uma amostra aleatoria de uma variavel a
Seja f ( x ) = θ x θ - 1 , 0θρ e 0x1 . Mostre que Θ ^ = - n
Seja f ( x ) = ( 1 / θ ) x ( 1 - θ ) / θ , 0x1 e 0θ∞ . Mostr
7-64.Seja X uma variavel aleatoria com media u e variancia o