Medidas de Assimetria e Curtose

Teoria Completa

Fala Aí!! Digamos que 12 alunos foram entrevistados. Foram listadas a quantidade de tempo que eles já estão na faculdade

2,2 , 3,4 , 5,5 , 5,6 , 6,7 , 7,8

Se alguém te pedisse para avaliar se a distribuição desse conjunto de dados é simétrica ou assimétrica, você piraria? Você sabe ao menos o que significa uma distribuição ser simétrica ou assimétrica?

Então calma, vamos entender melhor nesse tópico como caracterizar as curvas das nossas distribuições de probabilidade ou nossos dados estatísticos. Partiu?!

Medidas de Assimetria

Dá uma olhada nessas distribuições:

Concorda comigo que todas elas tem um aspecto espelhado em relação a essa linha vertical no centro? Todas as distribuições que trabalhamos até agora (normal, t-student, triangular, uniforme) são desse tipo, simétricas, como se seu gráfico fosse espelhado.

Show?! Agora dá uma olhada nessas outras distribuições:

Percebeu que essas daqui não tem aspecto espelhado? O que isso significa?! Que essas distribuições são assimétricas! Vamos ver melhor as características de cada uma separadamente.

Distribuições simétricas

Uma distribuição vai ser simétrica em um valor central x 0 sempre que:

f x 0 - a = f ( x 0 + a )

Sendo a uma constante qualquer. Ou seja:

Esse valor x 0 é sempre a média da nossa distribuição.

Aqui, nós vamos trabalhar com distribuições simétricas e unimodais, ou seja, só possuem uma moda (o valor com maior probabilidade de acontecer)! Mas não se enganem, existem distribuições simétricas que possuem mais de uma moda como é o caso das distribuições uniformes!

Um detalhe importante sobre essas distribuições é a posição da mediana e da moda dos valores. A média, a mediana e a moda sempre coincidem no mesmo ponto, que é sempre o ponto central!

Olha só:

As simétricas mais famosas que vamos acabar usando ao longo do curso de Probabilidade ou Estatística são a Normal e a T-Student!

Se voltarmos no nosso problema inicial, temos o seguinte conjunto de dados:

2,2 , 3,4 , 5,5 , 5,6 , 6,7 , 7,8

Calculando a Média, a Moda e a Mediana, temos:

M é d i a = 5

M e d i a n a = 5

M o d a = 5

Ou seja, a distribuição é simétrica!!!  

Distribuições Assimétricas

Nas distribuições assimétricas, vamos ver que a média, a mediana e a moda na verdade não coincidem.

Vamos ver separadamente os dois tipos de assimétricas que teremos.

1º tipo: Assimétrica Positiva

A curva vai ser uma assimétrica positiva quando ela tiver descolada desse jeitinho para a esquerda. Alguns autores também chamam ela de assimétrica a direita (por que a cauda da direita é a mais longa!). E curvas desse tipo sempre terão a relação:

m o d a < m e d i a n a < m é d i a

Um bom exemplo de uma distribuição assimétrica positiva é a distribuição exponencial:

2º tipo: Assimétrica Negativa

Vamos ter uma assimétrica negativa quando nossa curva tiver descolada desse jeitinho para a direita. Alguns autores também chamam ela de assimétrica a esquerda (por que a cauda da esquerda é a mais longa!). E curvas desse tipo sempre terão a relação:

m é d i a < m e d i a n a < m o d a

Dentre as assimétricas mais famosas na estatística podemos lembrar da distribuição Qui-Quadrado ou da Fischer-Snedecor!

Distribuição Qui-Quadrado

Coeficiente de Assimetria de Pearson

Mas será que tem uma forma matemática de determinar quão simétrica ou assimétrica uma curva é??? Tem sim!

Uma das formas de descrever o quanto uma distribuição é assimétrica é calculando o coeficiente de Pearson A dela. Ele é dado por:

A = x _ - M o s

Onde x _ é a média, M o a moda e s o desvio padrão. Depois de calcular o A , decidimos o quão assimétrica a curva é pelas seguintes relações:

A = 0 → curva simétrica

0 < A < 1 → curva assimétrica positiva fraca

A ≥ 1 → curva assimétrica positiva forte

- 1 < A < 0 → curva assimétrica negativa fraca

A ≤ - 1 → curva assimétrica negativa forte

Uma curva com A = 0 seria por exemplo a curva da Normal.

Curtose

Você concorda comigo que saber o quão simétrica é uma curva não é a única que importa na hora de descrever uma distribuição? Nós precisamos saber também o quão achatada é essa curva, por exemplo! Não entendeu? Se liga nesses gráficos então:

Temos três curvas aí dentro, todas simétricas mas diferentes entre si, correto? A diferença entre elas é o justamente o achatamento. E é exatamente isso que a curtose vai descrever, o quão achatada é uma distribuição!

A curtose b 2 é calculada por:

b 2 = 1 n ∑ i = 1 n x i - x _ s 4 - 3

OBS.: As medidas de assimetria e a curtose podem ser calculadas tanto para variáveis contínuas quanto variáveis discretas.

Exemplo

Digamos que 11 idosos foram entrevistados. Foram listadas as idades em que cada um deles se aposentou:

72 ,   70 ,   77 ,   60 ,   67 ,   69 ,   68 ,   66 ,   65 ,   71 ,   69

Calcule a curtose dos dados obtidos.

Sabemos que n = 11 e podemos calcular a média e o desvio padrão pelas fórmulas que sempre usamos:

x - = 68,55

s = 4,32

Então a curtose b 2 é calculada por:

b 2 = 1 11 ∑ i = 1 n x i - 68,55 4,32 4 - 3

b 2 = 1 11 72 - 68,55 4 + 70 - 68,55 4 + … + 71 - 68,55 4 + 69 - 68,55 4 4,32 4 - 3

b 2 = - 0,18

E como interpretar o valor de b 2 ?

Dessa forma aí ó!

Quanto maior for o valor da curtose, menos achatada é a curva!

Sempre que nossa curtose valer zero, nós vamos chamar a curva da distribuição de mesocúrtica. Sabe quem tem curtose zero? A curva distribuição Normal!

Quando uma curva for menos achatada que a Normal, ou seja, tiver curtose positiva, ela vai ser chamada de Leptocúrtica.

Quando uma curva for mais achatada que a Normal, ou seja, tiver curtose negativa, ela vai ser chamada de Platicúrtica.

Curiosidade: Consegue lembrar de alguém que é tem curva mais achatada que a Normal? Ela mesma, a T-Student! E lembra que a medida que aumentamos o número de graus de liberdade de uma T-Student a curva vai ficando mais próxima de uma Normal? Então agora sabemos que quanto mais graus de liberdade tivermos, mais próxima de zero é a nossa curtose!

Agora partiu fixar isso tudo nos exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/CE 2011 - CESPE - ANALISTA LEGISLATIVO - ESTATÍSTICA

Um levantamento foi realizado para se avaliar, por município, a quantidade X de obras que estão sob suspeita de irregularidade. Com base em uma amostra de municípios, foi obtida a distribuição de frequências mostrada na tabela abaixo.

Julgue a assimetria desta distribuição.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos começar ilustrando esses dados aí num diagrama de frequências, colocando os valores de X no eixo horizontal e as frequências absolutas no eixo vertical:

Opa! Só olhando pra esse gráfico já tá na cara que a distribuição não é simétrica. Reparou que a moda, ou seja, a maior frequência, não tá centralizada? Isso aí por si só já é uma prova.

Passo 2

Mas vamos quantificar o quão assimétrica ela é calculando o coeficiente de Pearson:

A = x - - M o s

Podemos começar calculando a média amostral, que é dada por:

x - = ∑ x i f i r

Onde f i r é a frequência relativa de cada x i , que é dada por:

f i r = f i n

Onde f i é a frequência absoluta e n é o número total de frequências. Para calcular n basta somarmos todas as frequências dadas na tabela:

n = 80 + 47 + 30 + 20 + 6 + 1 = 184

Então agora podemos calcular a média:

x - = ∑ x i f i r = x - = ∑ x i f i n

x - = 0 80 184 + 1 47 184 + 2 30 184 + 3 20 184 + 4 6 184 + 5 1 184 = 1,065

Agora podemos calcular o desvio padrão:

s = ∑ f i ( x i - x - ) ² n - 1

Lembrando que aqui temos esse f i aí dentro por que os dados tem frequência diferente de 1!

= 80 0 - 1,065 2 + 47 1 - 1,065 2 + 30 2 - 1,065 2 + 20 3 - 1,065 2 + 6 4 - 1,065 2 + 1 5 - 1,065 2 184 - 1

s = 0,960

E a moda é o X com maior frequência absoluta, ou seja x = 0 . Agora podemos calcular o coeficiente substituindo os valores:

A = 1,065 - 0 0,960 = 1,109

Opa, e quando nosso A é maior que 1 , vimos que temos uma assimetria positiva forte!

Resposta

Assimetria positiva forte

Exercício Resolvido #2

P1 PUC-RIO 2018.1, 1b

Defina o que é uma distribuição platicúrtica. Mostre através de um esboço a relação entre os três tipos (Mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de definir essas distribuições, precisamos lembrar o que é curtose. A curtose ( b 2 ) é uma medida que caracteriza o quanto uma curva de função de probabilidade é achatada.

A curva da distribuição normal é usada como padrão para uma curva mesocúrtica, ou seja, com curtose igual a zero.

A distribuição leptocúrtica é aquela que é mais alta e concentrada que a distribuição normal, carinhosamente chamada também de distribuição com “caudas pesadas”. Tem curtose maior que zero.

E finalmente, vamos definir a distribuição platicúrtica. Ela é a distribuição que tem curva mais achatada que a normal, um exemplo é a distribuição T de Student! Tem curtose menor que zero.

Passo 2

Um gráfico relacionamento as três seria tipo esse aqui:

Resposta

Exercício Resolvido #3

SEEDUC/AM 2011 - CESPE - ESTATÍSTICO

Considerando as densidades de probabilidade ilustradas na figura acima, julgue os itens que se seguem a respeito dos momentos dessas distribuições.

Julgue a curtose da distribuição B e a assimetria da distribuição A.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se olharmos direitinho vemos que a distruibução B está abaixo da distribuição da Normal Padrão, o que quer dizer que ela está mais achatada que a Normal! Quando temos uma distribuição mais achatada que a Normal, dizemos que essa distribuição é platicúrtica e tem curtose b 2 negativa.

E quando a distribuição A, vemos que ela é assimétrica e está deslocada para a esquerda, e esse tipo de assimetria é classificada como assimetria positiva (ou à direita! – porque a cauda é mais longa na direita.)

Resposta

Distribuição A: assimétria positiva

Distribuição B: Platicúrtica

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