Box Plot

Teoria Completa

Identificação de Discrepâncias

Muitas vezes, quando alguém coleta um conjunto de dados de alguma coisa, alguns valores podem ser coletados de forma errada e podem ficar muito distantes dos outros.

Imagina que você coletou dados da idade dos alunos da sua turma de cálculo 3:

19 ,   19 ,   23 ,   24 ,   77 ,   20 ,   20 ,   21 ,   18 ,   18

Opa! Esse 77 tá meio estranho ali, você não acha? Provavelmente ouve algum erro na hora de coletar esses dados, ou até mesmo um erro de digitação, e esse carinha acabou aparecendo ali.

Nesse exemplo que eu te dei ficava fácil encontrar quem era o valor discrepante, porque você tinha um número pequeno de dados, de fácil visualização.

É interessante a gente ter algum critério pra poder identificar esses valores muito discrepantes, também conhecidos como outliers, principalmente em casos que tivermos muitos dados.

É isso que a gente vai aprender agora!

Um critério muito usado é apontar como discrepantes os valores fora do intervalo ( x ¯ - 3 s , x ¯ + 3 s ) .

Lembrando que x - é a média amostral dos seus dados, e s é o desvio padrão.

Além desse, existe um outro que você provavelmente nunca ouviu falar.

Esse segundo critério, é apontar como discrepantes todos os valores abaixo da Cerca Inferior ou acima da Cerca Superior. Vou te apresentar quem são esses caras:

C e r c a   I n f e r i o r = Q 1 - 3 2 × D I Q

C e r c a   S u p e r i o r = Q 3 + 3 2 × D I Q

Só lembrando que Q 1 é o 1º quartil dos nossos dados, Q 3 é o nosso 3º quartil, e D I Q é a distância interquartil.

Vamos ver um exemplo? Vem comigo!

Vamos supor que foram medidas a carga de ruptura de 30 cabos de aço diferentes, em k g , resultando nos valores abaixo:

83     96     73     102     93     94     85     91     118     93     103     87     95     102   99  

84     100     95     90     81     102     98     94     89     91     78     85     83     105     96    

Vamos utilizar o segundo critério, ok?

Já calculei os quartis pra você:

Q 1 = 85,5   k g     ,     Q 3 = 98,75   k g       ,     D I Q = 13,25   k g

Com isso, calculando as cercas:

C e r c a   I n f e r i o r = 85,5 - 3 2 × 13,25 = 65,625

C e r c a   S u p e r i o r = 98,75 + 3 2 × 13,25 = 118,625

Logo, qualquer valor menor que 65,625 e maior que 118,625 podemos apontar como outliers, ou discrepantes!

Olhando para nossos dados, concluímos que nenhum dos valores de ruptura é discrepante.

BOX plot

Cara, você não aprendeu sobre quartis e distância interquartil a toa! Essas coisas servem pra muitas coisas, e vou te mostrar mais uma utilidade disso agora.

Box plot é um gráfico onde você representa a variação dos seus dados por meio dos quartis.

Vamos pra um passo a passo pra construir o nosso Box plot, utilzando o exemplo das cargas de ruptura.

Passo1) Traçar um eixo vertical pra representar os valores observados pras rupturas, em ordem crescente.

Passo2) Agora você vai desenhar um retângulo da seguinte forma: a base inferior é o valor do primeiro quartil ( Q 1 ) :

A base superior vai ser o Q 3 :

Além disso, dentro do retângulo vamos representar com um traço o valor da mediana ( Q 2 ) :

Passo3) Traçar uma uma reta vertical do meio da base superior até o maior valor observado e não discrepante.

Depois disso, fazer o mesmo do meio da base inferior até o menor valor observado e não discrepante.

No fim, vamos ficar com isso aqui:

Observações IMPORTANTES:

  • Erro muito comum é marcar as cercas ao invés de marcar o menor e o maior valores observados e não discrepantes.
  • Os valores discrepantes, ou outliers, podem ou não ser representados no Box plot com um ponto.
  • O eixo horizontal não significa nada.

Cara, essa parte da matéria tem 2 coisas que eu quero ressaltar, porque se você errar, vou ficar muito bolado. NÃO esqueça de colocar os valores em ordem crescente quando for calcular quartil; e, no Box plot, os tracinhos em cima e embaixo são o maior e o menor valores não discrepantes.

Promete pra mim que você vai fazer exercícios agora? A gente se vê por lá então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 211.

A tabela de dados brutos a seguir reporta o número de linhas telefônicas por mil habitantes em cada estado do Brasil, em 2001.

  1. Determine os seus quartis;
  2. Construa o seu Box plot;
  3. Há pontos discrepantes entre essas observações? Quais?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Primeiro passo - colocar em ordem crescente!

86,1     113,8     118,2     125,4     125,4     128     140,6     140,7     142,3     147,8     150,1    

162     183,8     193,3     199,6     214,1     214,6     218,6     228 , 7     231,4     235,3     235,9    

244,2     257,3     347,5     362,8     456,8            

Passo 2

Podemos determinar os quartis:

P o s i ç ã o   Q 2 = n + 1 2 = 14

Q 2 = 193 , 3

P o s i ç ã o   Q 1 = n + 3 4 = 7,5

Q 1 = 0,5 × 140,6 + 0,5 × 140,7 = 140,65

P o s i ç ã o   Q 3 = 3 n + 1 4 = 20,5

Q 3 = 0,5 × 231,4 + 0,5 × 235,3 = 233,3 5

Passo 3

(b) Pra construir o Box plot, primeiro temos que definir nossas cercas.

C e r c a   S u p e r i o r = Q 3 + 3 2 × D I Q

D I Q = Q 3 - Q 1 = 92,7

C e r c a   S u p e r i o r = 233,35 + 3 2 × 92,7 = 372,4

C e r c a   I n f e r i o r = Q 1 - 3 2 × D I Q

C e r c a   I n f e r i o r = 140,65 - 3 2 × 92,7 = 1,6

Passo 4

Agora é desenhar o Box plot, lembrando que o maior valor não discrepante será 362,8 e o menor valor não discrepante será 86,1. São eles que determinam aqueles tracinhos, não são as cercas, não esqueça isso.

Conseguiu entender namoral o Box plot? Meu talento no paint ainda tá em desenvolvimento haha...

Passo 5

(c)

Sim, existem pontos discrepantes. Qual seria ele?

O do D. Federal – 456,8. Porque está além da cerca superior.

Resposta

a   Q 2 = 193,3     ,     Q 1 = 140,65     ,     Q 3 = 233,35

c   S i m ,   o   d o   D . F e d e r a l .

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 281.

A tabela a seguir contém o número de domicílios rústicos em alguns municípios do Estado do Rio de Janeiro no ano 2000.

  1. Determine os quartis;
  2. Obtenha um gráfico Box plot para esses dados;
  3. Seria o gráfico ramo-folha adequado para representar estes dados? Por quê?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Pra calcular quartil, qual o primeiro passo? Colocar em ordem crescente!

51     64     66     70     74     77     81     88     103     117     122     123     132     143     159    

216     229     250     289     295     329     339     394     457     556     566     567     572    

741     914     1119     1839

Calcular os quartis:

P o s i ç ã o   Q 2 = n + 1 2 = 16,5

Q 2 = 0,5 × 216 + 0,5 × 229 = 222,5

P o s i ç ã o   Q 1 = n + 3 4 = 8,75