Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

Teoria Completa

Fala Aíí!!! Digamos que você tem uma empresa e tenha medido o tempo médio que 26 funcionários necessitavam para realizar um tarefa. Dessa amostra foram obtidos os seguintes resultados:

x - = 21,39   m i n

s = 5,38   m i n

Onde x - é a média amostral e o s o desvio padrão amostral. Aí digamos que o seu sócio queira que você construa um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de realização da tarefa. Como você faria isso?

Se você reparar, nós não temos a informação do desvio padrão populacional nesse caso. Quem poderá nos defender agora?

O Intervalo de Confiança

Bom, para o intervalo de confiança vamos encontrar da mesma forma que fizemos quando conheciamos o desvio padrão populacional σ :

I C = x - - d   ;   x - + d

Onde d é margem de erro.

Beleza... mas o valor de d pra quando a gente conhece o desvio padrão σ , é:

d = z 1 - α 2 ⋅ σ n

Mas agora como não temos o valor do desvio padrão, iremos substituir pelo desvio padrão amostral s , nossa fórmula pra d ficará:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n

Além disso, você deve estar se perguntando o porquê de no lugar do “z” ter um “t”... Calma! Não foi erro de ortografia! É que agora vamos substituir também a distribuição Normal pelo t   d e   s t u d e n t .

Opa, mas como funciona essa distribuição t   d e   s t u d e n t ? Já já veremos, my friend!! Por enquanto vamos fazer limonada com os limões que temos: vamos substituir na fórmula da margem de erro todos os valores que conhecemos:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n

Sabemos o valor de s = 5,38 e n = 26 . Se você reparar, se tivermos o valor do nível de significância α , teremos o índice do t para utilizar t   d e   s t u d e n t . Dessa forma, conseguimos encontrar o valor de α ? Siiim!! Isso vai ser igual ao que vimos no IC com desvio padrão conhecido!

Temos que

1 - α = n í v e l   d e   c o n f i a n ç a

No nosso probleminha

1 - α = 0,95   ⇒   α = 0,05

Dessa forma, nossa margem de erro ficará:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n ⇔ d = t 1 - 0,05 2 ⋅ 5,38 26 ⇔ d = t 0,975 ⋅ 5,38 26

Agora sim vamos precisar encontrar o t 0,975 ... E como faremos isso?

Vamos entender um pouco melhor sobre essa tal de t   d e   s t u d e n t ?!

t de Student

A distribuição t de Student terá a seguinte cara:

É muito parecida com a distribuição normal, concorda?

Essa distribuição é derivada da distribuição Normal, então algumas características são mantidas.

  • O gráfico continua sendo simétrico e centrado no zero, ele só é um pouco mais aberto talvez.
  • Podemos calcular a probabilidade vinculada a essa distribuição usando uma tabela também, que vai ser essa aqui debaixo:

Pra gente conseguir encontrar o t 0,975   vamos precisar utilizar uma parada que é a ideia de números de graus de liberdade, representado pelo símbolo υ . A t   d e   s t u d e n t depende desse parâmetro υ .

Se o exercício não der o número de graus de liberdade, usamos como valor υ = n - 1 . No nosso exemplo, v = 26 - 1 = 25 .

Vamos ver na prática como vamos utilizar então a tabela? Nós vamos seguir o fluxo desse desenho abaixo, mas quem vai ser v e p ? v   será o grau de liberade que falei anteriormente e p é o índice do t . No nosso problema p = 0975

Assim, se buscando na tabela v = 25 e p = 0,975 , temos:

Ou seja, o nosso t 0,975 = 2,060 . Beleza?!

Agora vamos voltar pra nossa fórmula da margem de erro

d = t 0,975 ⋅ 5,38 26 = 2,060 ⋅ 5,38 26 = 2,17

Portanto, nosso IC:

  I C = x - - d   ;   x - + d