Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

Teoria Completa

Fala Aíí!!! Digamos que você tem uma empresa e tenha medido o tempo médio que 26 funcionários necessitavam para realizar um tarefa. Dessa amostra foram obtidos os seguintes resultados:

x - = 21,39   m i n

s = 5,38   m i n

Onde x - é a média amostral e o s o desvio padrão amostral. Aí digamos que o seu sócio queira que você construa um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de realização da tarefa. Como você faria isso?

Se você reparar, nós não temos a informação do desvio padrão populacional nesse caso. Quem poderá nos defender agora?

O Intervalo de Confiança

Bom, para o intervalo de confiança vamos encontrar da mesma forma que fizemos quando conheciamos o desvio padrão populacional σ :

I C = x - - d   ;   x - + d

Onde d é margem de erro.

Beleza... mas o valor de d pra quando a gente conhece o desvio padrão σ , é:

d = z 1 - α 2 ⋅ σ n

Mas agora como não temos o valor do desvio padrão, iremos substituir pelo desvio padrão amostral s , nossa fórmula pra d ficará:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n

Além disso, você deve estar se perguntando o porquê de no lugar do “z” ter um “t”... Calma! Não foi erro de ortografia! É que agora vamos substituir também a distribuição Normal pelo t   d e   s t u d e n t .

Opa, mas como funciona essa distribuição t   d e   s t u d e n t ? Já já veremos, my friend!! Por enquanto vamos fazer limonada com os limões que temos: vamos substituir na fórmula da margem de erro todos os valores que conhecemos:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n

Sabemos o valor de s = 5,38 e n = 26 . Se você reparar, se tivermos o valor do nível de significância α , teremos o índice do t para utilizar t   d e   s t u d e n t . Dessa forma, conseguimos encontrar o valor de α ? Siiim!! Isso vai ser igual ao que vimos no IC com desvio padrão conhecido!

Temos que

1 - α = n í v e l   d e   c o n f i a n ç a

No nosso probleminha

1 - α = 0,95   ⇒   α = 0,05

Dessa forma, nossa margem de erro ficará:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n ⇔ d = t 1 - 0,05 2 ⋅ 5,38 26 ⇔ d = t 0,975 ⋅ 5,38 26

Agora sim vamos precisar encontrar o t 0,975 ... E como faremos isso?

Vamos entender um pouco melhor sobre essa tal de t   d e   s t u d e n t ?!

t de Student

A distribuição t de Student terá a seguinte cara:

É muito parecida com a distribuição normal, concorda?

Essa distribuição é derivada da distribuição Normal, então algumas características são mantidas.

  • O gráfico continua sendo simétrico e centrado no zero, ele só é um pouco mais aberto talvez.
  • Podemos calcular a probabilidade vinculada a essa distribuição usando uma tabela também, que vai ser essa aqui debaixo:

Pra gente conseguir encontrar o t 0,975   vamos precisar utilizar uma parada que é a ideia de números de graus de liberdade, representado pelo símbolo υ . A t   d e   s t u d e n t depende desse parâmetro υ .

Se o exercício não der o número de graus de liberdade, usamos como valor υ = n - 1 . No nosso exemplo, v = 26 - 1 = 25 .

Vamos ver na prática como vamos utilizar então a tabela? Nós vamos seguir o fluxo desse desenho abaixo, mas quem vai ser v e p ? v   será o grau de liberade que falei anteriormente e p é o índice do t . No nosso problema p = 0975

Assim, se buscando na tabela v = 25 e p = 0,975 , temos:

Ou seja, o nosso t 0,975 = 2,060 . Beleza?!

Agora vamos voltar pra nossa fórmula da margem de erro

d = t 0,975 ⋅ 5,38 26 = 2,060 ⋅ 5,38 26 = 2,17

Portanto, nosso IC:

  I C = x - - d   ;   x - + d

I C = 21,39 - 2,17   ;   21,39 + 2,17

I C = 19,22 ; 23,56

Ou seja, nessa empresa, o tempo médio para realização dessa tarefa, em um intervalo de confiança de 95% está entre 19,22 e 23,56 minutos.

Beleza?!

Então o esquema é:

Conheço σ       →       uso tabela da Normal

Não conheço σ uso a tabela do t   d e   s t u d e n t

Nos vemos nos exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Utilizando uma amostra aleatória com n = 64 , foram obtidos os seguintes valores para a média e variância amostrais:

x ¯ = 11,25

s 2 = 125,56

Para esse caso, construa um intervalo de confiança de nível de confiança 90% para a média populacional, μ .

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Passo 1

O nível de confiança é de 90%...

1 - α = 0,9

α = 0,1

Vamos procurar na tabela t   d e   s t u d e n t pelo valor de..

t 1 - α 2 = t 0,95

t 0,95 = 1,671

Passo 2

Pra montar o intervalo a gente tem que calcular o d .

d = t 0,95 × s n

d = 1,671 × 125,56 64

d = 2,34

Passo 3

Pra finalizar, nosso intervalo será:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

I C = 11,25 - 2,34   ; 11,25 + 2,34

I C = ( 8,91   ; 13,59 )

Resposta

I C = ( 8,91   ; 13,59 )

Exercício Resolvido #2

Lista Regina – CEFET Intervalo de Confiança – T de Student

Um revista publicou um artigo que descreve várias caracterésticas de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportados como segue:

2,94       2,75       2,75       2,81

2,90       2,90       2,82       2,95

3,00       2,95       3,00       3,05

Encontre um intervalo de confiança de 99% para o percentual médio de enriquecimento. Você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Por quê?

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Passo 1

Dados que a gente tem no problema:

n = 12   b a s t õ e s

Aí a gente tem as medidas de enriquecimento desses 12 bastões.

E queremos um intervalo de confiança para o percentual médio de enriquecimento, com confiança de 99%.

Tá, primeira coisa que a gente tem que observar é que a gente não conhece o valor de σ , concorda? Isso é muito importante pra calcularmos o I C .

Já que a gente não conhece σ , a gente sabe que nosso I C terá a seguinte cara:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Vamos ter que calcular cada um desses valores.

Passo 2

Como a gente tem as medidas dos 12 bastões da amostra, podemos calcular algumas coisas da amostra:

x ¯ = 2,94 + 2,75 + … + 3,00 + 3,05 12 = 2,90

s ² = 2,94 2 + 2,75 2 + … + 3 2 + 3,05 2 - 12 × 2,9 2 11

s ² = 0,02

s = 0,14

Passo 3

Como a confiança é de 99%:

1 - α = 0,99

α = 0,01

e...

t 1 - α 2 = z 0,995

Pra completar falta saber o número de graus de liberdade que será:

υ = n - 1 = 11

Agora olhando na tabela, cruzando a linha 11 com a coluna 0,995:

t 0,995 = 3,106

Passo 4

Podemos montar nosso intervalo agora:

L i n f = 2,9 - 3,106 × 0,14 12

L i n f ≅ 2,78

L s u p = 2,9 + 3,106 × 0,14 12

L s u p ≅ 3,02

Passo 5

O exercício pergunta se a gente concorda que a média seria 2,95%!

Bom, se você observar nosso intervalo de confiança, percebe que o 2,95 está dentro dele.

Então, concordamos que 2,95% possa ser o percentual médio de enriquecimento dos bastões, já que esse valor está dentro do intervalo de confiança de 99%.

Resposta

Exercício Resolvido #3

P2- 2013.2 – UFRJ - Intervalo de Confiança – T de Student

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional ( 177,66 ; 185,5 ) (em c m ).

  1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
  2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
  3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a 9   c m ?
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Passo 1

(a)

A gente tem o intervalo de confiança dado já para a média populacional.

I C = 177,66 ; 185,5

A gente sabe que o intervalo é assim:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

Então:

x ¯ - d = 177,66

x ¯ + d = 185,5

Somando as duas equações:

2 x ¯ = 363,16

x ¯ = 181,58

Passo 2

Substituindo a gente encontra d .

181,58 - d = 177,66

d = 3,92

Sabendo que a gente não conhece σ , a gente saca que esse intervalo é com σ desconhecido, e que com isso, a fórmula de d   é:

d = t 1 - α 2 . s n

Como 1 - α = 0,95 → α = 0,05 .

Usando a tabela de t   d e   s t u d e n t com 15 graus de liberdade ( n - 1 ) , encontramos que:

t 0,975 = 2,13

Substituindo os valores podemos encontrar a estimativa que a gente quer pro desvio padrão, que é o s .

s = 3,92 × 16 2,13 = 7,3615

Passo 3

(b)

A gente sabe que o intervalo é:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

E que:

d = t 1 - α 2 . s n

Sabemos também que:

s = 7,3615   ,     n = 16   ,     x ¯ = 181,58

A única diferença é que agora:

1 - α = 0,99 → α = 0,01

t 0,995 = 2,95

que eu fiz usando a tabela t   d e   s t u d e n t .

Passo 4

Agora é só jogar na fórmula:

d = 2,95 × 7,3615 4 ≈ 5,43

Nosso intervalo então será:

I C = 181,58 - 5,43   ; 181,58 + 5,43

I C = ( 176,15   ; 187,01 )

Passo 5

(c)

Agora temos que σ = 9 . Conhecendo σ podemos usar a Normal.

Temos também que:

1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 0,995 = 2,58

Passo 6

A amplitude inicial que temos é 185,5 - 177,66 = 7,84 e queremos mantê-la neste caso. Concorda comigo que a amplitude é igual a duas vezes o valor de d ? Beleza, então:

7,84 = 2 . d

7,84 = 2 . z 1 - α 2 . σ n

Continua valendo que 1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 0,995 = 2,58

Lembrando que agora podemos usar a Normal, já que conhecemos σ .

Substituindo os valores descobrimos o n .

7,84 = 2   .   2,58 . 9 n

n = 2   .   2,58   .   9 7,84 2

n = 36

Resposta

a   x ¯ = 181,58   ,   s = 7,3615

b   I C = ( 176,15   ; 187,01 )

c   n = 36

Exercício Resolvido #4

P2- 2014.2 – UFRJ Intervalo de Confiança – T de Student

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média μ m g de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório N μ , σ 2 , onde σ ² = 2500 . A partir de 100 repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média 200   m g de cloreto.

  1. Calcule o intervalo de confiança de 99 % para μ . Interprete o resultado.
  2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de 51 repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a 250   m g e 60   m g . Obtenha o intervalo de confiança de 99 % para o μ que o novo procedimento é capaz de produzir.
  3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).
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Passo 1

(a)

Vamos montar um intervalo de confiança para a média de cloreto produzido.

Quais os dados que a gente tem?

A gente sabe que a quantidade de cloreto produzida segue uma distribuição Normal e conhecemos a sua variância e desvio padrão

σ ² = 2500

σ = 50

Pra montar o nosso intervalo a gente tem também os dados de uma amostra de n = 100 repetições do experimento, que tiveram uma média de 200   m g de cloreto produzido.

Então:

n = 100

x ¯ = 200   m g

Passo 2

Temos dois tipos de intervalo de confiança pra média:

  • Quando a gente conhece o desvio padrão σ ;
  • E quando a gente não conhece σ .

Nesse caso a gente conhece σ ... então nosso intervalo vai ter o seguinte formato:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

Com:

d = z 1 - α 2 . σ n

Passo 3

Falta calcular z 1 - α 2 .

O intervalo é de 99 % de confiança...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 1 - α 2 = z 995

Aí você tem que procurar no interior da tabela da Normal pelo 0,995 e achar qual z que dá ele (ou o mais próximo dele), cruzando as linhas e colunas. Vou usar...

z = 2,58

Passo 4

Agora a gente calcular o d ...

d = 2,58 × 50 100

d = 12,9

E o intervalo:

I C = x ¯ - d ,   x ¯ + d

I C = 200 - 12,9   ; 200 + 12,9

I C = 187,1   ; 212,9

Seu resultado pode variar dependendo de como você arredondar... mas acho que como a gente tá falando de m g (que já é algo pequeno), parar na primeira casa tá bom.

A interpretação que a gente pode dar é que a média de m g de cloreto produzido em todos os procedimentos estará dentro desses limites do intervalo, com nível de confiança de 99 % .

Passo 5

(b)

O exercício diz que agora o procedimento mudou e o σ dado no enunciado não é mais válido.

Já tá ligado o que que muda agora? A gente vai continuar tendo que fazer um intervalo de confiança pra média de cloreto produzido, só que agora a gente tá naquele segundo caso ali óh... quando a gente não conhece o σ .

O exercício dá pra gente alguns dados de uma amostra desse novo procedimento...

n = 51

x ¯ = 250   m g

s = 60   m g