Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido

Teoria Completa

E se a gente não conhecer o valor do desvio padrão populacional, σ ? Isso é muito comum, já que a gente não conhece a média populacional μ , não é de se estranhar que a gente também não conheça σ .

Nesse caso, como já era de se esperar, a gente pode substituir σ pela sua estimativa que é, o desvio padrão amostral, s .

O que a gente vem fazendo até agora, é usar a padronização pra Normal, da seguinte forma:

Z = x ¯ - μ σ n

De fato quando os valores de n são grandes, a gente poderia substituir diretamente o valor de s . O problema, é que para valores pequenos de n , a diferença entre o desvio padrão populacional e o desvio padrão amostral é grande e seria errado usar essa padronização para a Normal.

Para resolver isso vai surgir agora uma outra pertubação na sua vida, a distribuição t de student. A nossa padronização será então:

T = x ¯ - μ s n

Vamos falar um pouco mais sobre esse tal de t   d e   s t u d e n t .

t de Student

Essa distribuição é derivada da distribuição Normal, então algumas características são mantidas.

  • O gráfico continua sendo simétrico e centrado no zero, ele só é um pouco mais aberto talvez.
  • Podemos calcular a probabilidade vinculada a essa distribuição usando uma tabela também.

Uma parada nova que surge é a ideia de números de graus de liberdade, representado pelo símbolo υ . A t   d e   s t u d e n t depende desse parâmetro υ .

A nossa probabilidade p é definida igual na Normal.

p = P T ≤ t p

Que é a área embaixo da curva antes de t p .

Tá, agora vamos ao que interessa, como usar a tabela?

Se você pegar a tabela vai encontrar algo assim...

Entao podemos por exemplo:

  • Determinar t p , a partir de p e υ .

Se υ = 6 e p = 0,8 → t 0,8 = 0,906 .

Se υ = 3 e p = 0,995 → t 0,995 = 5,841 .

  • Determinar p , a partir de υ e t p .

Se υ = 10 e t p = 2,31 → pela tabela, p está entre 0,975 e 0,98.

Se υ = 4 e t p = 0,88 →   pela tabela, p está entre 0,70 e 0,80.

Na tabela você observa que pra valores muito grandes de graus de liberdade, os valores se aproximam dos valores da Normal.

O Intervalo de Confiança

Bom a gente sabe que o intervalo de confiança se baseia em:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

O valor de d pra quando a gente conhece o desvio padrão σ , é:

d = z 1 - α 2 ⋅ σ n

Correto?

Se a gente não conhece o valor de σ e temos que substituir pela estimativa s , nossa fórmula pra d ficará:

d = t 1 - α 2 ⋅ s n

Substituímos também a distribuição Normal pelo t   d e   s t u d e n t .

Observe então que na maioria das questões o mistério vai ser saber quando usar um e quando usar o outro. Pode parecer óbvio, é só ver se você conhece o valor do desvio padrão amostral ou não. O problema é que se você não tiver atenção, acredite em mim, você vai acabar usando t   d e   s t u d e n t na hora errada.

O esquema é:

Conheço σ       →       uso tabela da Normal

Não conheço σ uso a tabela do t   d e   s t u d e n t

Pra finalizar, o seu I C será:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Obs: Se o exercício não der o número de graus de liberdade, usar como valor υ = n - 1 .

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Utilizando uma amostra aleatória com n = 64 , foram obtidos os seguintes valores para a média e variância amostrais:

x ¯ = 11,25

s 2 = 125,56

Para esse caso, construa um intervalo de confiança de nível de confiança 90% para a média populacional, μ .

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Passo 1

O nível de confiança é de 90%...

1 - α = 0,9

α = 0,1

Vamos procurar na tabela t   d e   s t u d e n t pelo valor de..

t 1 - α 2 = t 0,95

t 0,95 = 1,671

Passo 2

Pra montar o intervalo a gente tem que calcular o d .

d = t 0,95 × s n

d = 1,671 × 125,56 64

d = 2,34

Passo 3

Pra finalizar, nosso intervalo será:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

I C = 11,25 - 2,34   ; 11,25 + 2,34

I C = ( 8,91   ; 13,59 )

Resposta

I C = ( 8,91   ; 13,59 )

Exercício Resolvido #2

Lista Regina – CEFET Intervalo de Confiança – T de Student

Um revista publicou um artigo que descreve várias caracterésticas de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportados como segue:

2,94       2,75       2,75       2,81

2,90       2,90       2,82       2,95

3,00       2,95       3,00       3,05

Encontre um intervalo de confiança de 99% para o percentual médio de enriquecimento. Você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Por quê?

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Passo 1

Dados que a gente tem no problema:

n = 12   b a s t õ e s

Aí a gente tem as medidas de enriquecimento desses 12 bastões.

E queremos um intervalo de confiança para o percentual médio de enriquecimento, com confiança de 99%.

Tá, primeira coisa que a gente tem que observar é que a gente não conhece o valor de σ , concorda? Isso é muito importante pra calcularmos o I C .

Já que a gente não conhece σ , a gente sabe que nosso I C terá a seguinte cara:

I C = x ¯ - t 1 - α 2 ⋅ s n   ;   x ¯ + t 1 - α 2 ⋅ s n

Vamos ter que calcular cada um desses valores.

Passo 2

Como a gente tem as medidas dos 12 bastões da amostra, podemos calcular algumas coisas da amostra:

x ¯ = 2,94 + 2,75 + … + 3,00 + 3,05 12 = 2,90

s ² = 2,94 2 + 2,75 2 + … + 3 2 + 3,05 2 - 12 × 2,9 2 11

s ² = 0,02

s = 0,14

Passo 3

Como a confiança é de 99%:

1 - α = 0,99

α = 0,01

e...

t 1 - α 2 = z 0,995

Pra completar falta saber o número de graus de liberdade que será:

υ = n - 1 = 11

Agora olhando na tabela, cruzando a linha 11 com a coluna 0,995:

t 0,995 = 3,106

Passo 4

Podemos montar nosso intervalo agora:

L i n f = 2,9 - 3,106 × 0,14 12

L i n f ≅ 2,78

L s u p = 2,9 + 3,106 × 0,14 12

L s u p ≅ 3,02

Passo 5

O exercício pergunta se a gente concorda que a média seria 2,95%!

Bom, se você observar nosso intervalo de confiança, percebe que o 2,95 está dentro dele.

Então, concordamos que 2,95% possa ser o percentual médio de enriquecimento dos bastões, já que esse valor está dentro do intervalo de confiança de 99%.

Resposta

Exercício Resolvido #3

P2- 2013.2 – UFRJ - Intervalo de Confiança – T de Student

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional ( 177,66 ; 185,5 ) (em c m ).

  1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
  2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
  3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a 9   c m ?
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Passo 1

(a)

A gente tem o intervalo de confiança dado já para a média populacional.

I C = 177,66 ; 185,5

A gente sabe que o intervalo é assim:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

Então:

x ¯ - d = 177,66

x ¯ + d = 185,5

Somando as duas equações:

2 x ¯ = 363,16

x ¯ = 181,58

Passo 2

Substituindo a gente encontra d .

181,58 - d = 177,66

d = 3,92

Sabendo que a gente não conhece σ , a gente saca que esse intervalo é com σ desconhecido, e que com isso, a fórmula de d   é:

d = t 1 - α 2 . s n

Como 1 - α = 0,95 → α = 0,05 .

Usando a tabela de t   d e   s t u d e n t com 15 graus de liberdade ( n - 1 ) , encontramos que:

t 0,975 = 2,13

Substituindo os valores podemos encontrar a estimativa que a gente quer pro desvio padrão, que é o s .

s = 3,92 × 16 2,13 = 7,3615

Passo 3

(b)

A gente sabe que o intervalo é:

I C = x ¯ - d   ;   x ¯ + d

E que:

d = t 1 - α 2 . s n

Sabemos também que:

s = 7,3615   ,     n = 16   ,     x ¯ = 181,58

A única diferença é que agora:

1 - α = 0,99 → α = 0,01