Teoria Completa
Fala Aíí!!! Digamos que você tem uma empresa e tenha medido o tempo médio que 26 funcionários necessitavam para realizar um tarefa. Dessa amostra foram obtidos os seguintes resultados:
Onde é a média amostral e o o desvio padrão amostral. Aí digamos que o seu sócio queira que você construa um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de realização da tarefa. Como você faria isso?
Se você reparar, nós não temos a informação do desvio padrão populacional nesse caso. Quem poderá nos defender agora?
O Intervalo de Confiança
Bom, para o intervalo de confiança vamos encontrar da mesma forma que fizemos quando conheciamos o desvio padrão populacional :
Onde é margem de erro.
Beleza... mas o valor de pra quando a gente conhece o desvio padrão , é:
Mas agora como não temos o valor do desvio padrão, iremos substituir pelo desvio padrão amostral , nossa fórmula pra ficará:
Além disso, você deve estar se perguntando o porquê de no lugar do “z” ter um “t”... Calma! Não foi erro de ortografia! É que agora vamos substituir também a distribuição Normal pelo .
Opa, mas como funciona essa distribuição ? Já já veremos, my friend!! Por enquanto vamos fazer limonada com os limões que temos: vamos substituir na fórmula da margem de erro todos os valores que conhecemos:
Sabemos o valor de e . Se você reparar, se tivermos o valor do nível de significância , teremos o índice do para utilizar . Dessa forma, conseguimos encontrar o valor de Siiim!! Isso vai ser igual ao que vimos no IC com desvio padrão conhecido!
Temos que
No nosso probleminha
Dessa forma, nossa margem de erro ficará:
Agora sim vamos precisar encontrar o ... E como faremos isso?
Vamos entender um pouco melhor sobre essa tal de ?!
t de Student
A distribuição t de Student terá a seguinte cara:
É muito parecida com a distribuição normal, concorda?
Essa distribuição é derivada da distribuição Normal, então algumas características são mantidas.
- O gráfico continua sendo simétrico e centrado no zero, ele só é um pouco mais aberto talvez.
- Podemos calcular a probabilidade vinculada a essa distribuição usando uma tabela também, que vai ser essa aqui debaixo:
Pra gente conseguir encontrar o vamos precisar utilizar uma parada que é a ideia de números de graus de liberdade, representado pelo símbolo . A depende desse parâmetro .
Se o exercício não der o número de graus de liberdade, usamos como valor . No nosso exemplo, .
Vamos ver na prática como vamos utilizar então a tabela? Nós vamos seguir o fluxo desse desenho abaixo, mas quem vai ser e será o grau de liberade que falei anteriormente e é o índice do . No nosso problema
Assim, se buscando na tabela e , temos:
Ou seja, o nosso . Beleza?!
Agora vamos voltar pra nossa fórmula da margem de erro
Portanto, nosso IC:
Ou seja, nessa empresa, o tempo médio para realização dessa tarefa, em um intervalo de confiança de 95% está entre 19,22 e 23,56 minutos.
Beleza?!
Então o esquema é:
Conheço uso tabela da Normal
Não conheço uso a tabela do
Nos vemos nos exercícios!!!
Exercício Resolvido #1
Utilizando uma amostra aleatória com , foram obtidos os seguintes valores para a média e variância amostrais:
Para esse caso, construa um intervalo de confiança de nível de confiança 90% para a média populacional, .
Passo 1
O nível de confiança é de 90%...
Vamos procurar na tabela pelo valor de..
Passo 2
Pra montar o intervalo a gente tem que calcular o .
Passo 3
Pra finalizar, nosso intervalo será:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um revista publicou um artigo que descreve várias caracterésticas de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportados como segue:
Encontre um intervalo de confiança de 99% para o percentual médio de enriquecimento. Você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Por quê?
Passo 1
Dados que a gente tem no problema:
Aí a gente tem as medidas de enriquecimento desses 12 bastões.
E queremos um intervalo de confiança para o percentual médio de enriquecimento, com confiança de 99%.
Tá, primeira coisa que a gente tem que observar é que a gente não conhece o valor de , concorda? Isso é muito importante pra calcularmos o .
Já que a gente não conhece , a gente sabe que nosso terá a seguinte cara:
Vamos ter que calcular cada um desses valores.
Passo 2
Como a gente tem as medidas dos 12 bastões da amostra, podemos calcular algumas coisas da amostra:
Passo 3
Como a confiança é de 99%:
e...
Pra completar falta saber o número de graus de liberdade que será:
Agora olhando na tabela, cruzando a linha 11 com a coluna 0,995:
Passo 4
Podemos montar nosso intervalo agora:
Passo 5
O exercício pergunta se a gente concorda que a média seria 2,95%!
Bom, se você observar nosso intervalo de confiança, percebe que o 2,95 está dentro dele.
Então, concordamos que 2,95% possa ser o percentual médio de enriquecimento dos bastões, já que esse valor está dentro do intervalo de confiança de 99%.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional (em ).
- Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
- Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
- Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a ?
Passo 1
(a)
A gente tem o intervalo de confiança dado já para a média populacional.
A gente sabe que o intervalo é assim:
Então:
Somando as duas equações:
Passo 2
Substituindo a gente encontra .
Sabendo que a gente não conhece , a gente saca que esse intervalo é com desconhecido, e que com isso, a fórmula de é:
Como .
Usando a tabela de com 15 graus de liberdade , encontramos que:
Substituindo os valores podemos encontrar a estimativa que a gente quer pro desvio padrão, que é o .
Passo 3
(b)
A gente sabe que o intervalo é:
E que:
Sabemos também que:
A única diferença é que agora:
que eu fiz usando a tabela .
Passo 4
Agora é só jogar na fórmula:
Nosso intervalo então será:
Passo 5
(c)
Agora temos que . Conhecendo podemos usar a Normal.
Temos também que:
Passo 6
A amplitude inicial que temos é e queremos mantê-la neste caso. Concorda comigo que a amplitude é igual a duas vezes o valor de ? Beleza, então:
Continua valendo que
Lembrando que agora podemos usar a Normal, já que conhecemos .
Substituindo os valores descobrimos o .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório , onde A partir de repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média de cloreto.
- Calcule o intervalo de confiança de para . Interprete o resultado.
- Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a e . Obtenha o intervalo de confiança de para o que o novo procedimento é capaz de produzir.
- Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).
Passo 1
(a)
Vamos montar um intervalo de confiança para a média de cloreto produzido.
Quais os dados que a gente tem?
A gente sabe que a quantidade de cloreto produzida segue uma distribuição Normal e conhecemos a sua variância e desvio padrão
Pra montar o nosso intervalo a gente tem também os dados de uma amostra de repetições do experimento, que tiveram uma média de de cloreto produzido.
Então:
Passo 2
Temos dois tipos de intervalo de confiança pra média:
- Quando a gente conhece o desvio padrão ;
- E quando a gente não conhece .
Nesse caso a gente conhece ... então nosso intervalo vai ter o seguinte formato:
Com:
Passo 3
Falta calcular .
O intervalo é de de confiança...
Aí você tem que procurar no interior da tabela da Normal pelo e achar qual que dá ele (ou o mais próximo dele), cruzando as linhas e colunas. Vou usar...
Passo 4
Agora a gente calcular o ...
E o intervalo:
Seu resultado pode variar dependendo de como você arredondar... mas acho que como a gente tá falando de (que já é algo pequeno), parar na primeira casa tá bom.
A interpretação que a gente pode dar é que a média de de cloreto produzido em todos os procedimentos estará dentro desses limites do intervalo, com nível de confiança de .
Passo 5
(b)
O exercício diz que agora o procedimento mudou e o dado no enunciado não é mais válido.
Já tá ligado o que que muda agora? A gente vai continuar tendo que fazer um intervalo de confiança pra média de cloreto produzido, só que agora a gente tá naquele segundo caso ali óh... quando a gente não conhece o .
O exercício dá pra gente alguns dados de uma amostra desse novo procedimento...