Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

Teoria Completa

O que é?

Você deve tá se perguntando pra que fazer um intervalo de confiança pra diferença entre duas médias. Como se já não bastasse fazer pra uma, qual seria o sentido disso?

Muitas vezes, a gente tem interesse em comparar duas populações em relação a média de alguma coisa que elas tenham em comum.

Por exemplo: Suponha que sua mãe costuma usar um certo tipo de produto de limpeza da marca A, mas o mesmo produto na marca B tem um preço melhor. Se a diferença de rendimento entre eles não for muito grande, talvez seja melhor comprar o da marca B, concorda?

Viu? Essa é uma boa utilização para esse IC. Poderíamos construir um intervalo de confiança para a diferença dos rendimentos médios dos produtos das duas marcas.

O procedimento pra construir o IC continua o mesmo, mesma ideia:

- Vamos querer construir um IC de   100 1 - α % de confiança para ( μ x - μ y ) :

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

O problema será só determinar o valor do d , que vai depender de alguns fatores:

  • Se os desvios padrões são conhecidos;
  • Caso sejam desconhecidos, se são iguais.

Vamos ver todos os casos possíveis que podem cruzar o nosso caminho!

IC com DP’s Conhecidos

Nesse caso, nós temos duas populações diferentes e seus respectivos σ x 2 e σ y 2 , conhecidos por nós. Nosso d nesse caso vai ser calculado por:

d = z 1 - α 2 × σ x 2 n + σ y 2 m

Onde n e m são o número de elementos de cada amostra.

Vamos ver melhor como fica num exemplo.

Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:

n = 15   ,   x ¯ = 17,5   ,   σ x 2 = 18,5

m = 15   ,   y ¯ = 21,3   ,   σ y 2 = 19,5

Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.

Passo 1) Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Para calcular nosso d , precisamos procurar o z na tabela, lembrando que α = 0,05 :

z 1 - α 2 = z 1 - 0,05 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 2) Calcular d .

Então...

d = z 1 - α 2 × σ x 2 n + σ y 2 m = 1,96 × 18,5 15 + 19,5 15

d = 3,1

Passo 3) Construir IC.

Também precisamos calcular a diferença entre as médias amostrais:

X ¯ - Y ¯ = 17,5 - 21,3 = - 3,8

E agora já podemos construir o IC:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = [ - 3,8 - 3,1 ;   - 3,8 + 3,1 ]

I C = [ - 6,9 ; - 0,7 ]

O que significa todo esse IC negativo? Faz ideia? Lembra que fizemos o IC para a diferença X ¯ - Y ¯ ?

Então achar um resultado negativo quer dizer que estamos garantindo a seguinte relação entre as médias populacionais, a um certo nível de confiança:

μ x - μ y < 0

Ou seja...

μ x < μ y

Então é muuuito provável, por esse IC que achamos, que a média populacional de X seja menor que a de Y ! Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio menor que o do outro.

Foi? Vamos pro próximo caso então!

IC com DP’s Desconhecidos

1º caso – Desconhecidos mas iguais

Para o caso de não conhecermos os desvios padrões das duas populações, nós teremos duas amostras, uma de cada população e iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas s x e s y . Para esse caso, vamos ter também a informação de que σ x e σ y são iguais, apesar de serem desconhecidos. Ou seja, σ x = σ y .

O d seguiria a seguinte fórmula:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

Como já era de se esperar, vamos utilizar a distribuição t   d e   s t u d e n t , já que não conhecemos os valores dos desvios padrões, σ x e σ y .

Falta só dizer qual será o número de graus de liberdade nesse caso com duas populações:

Será:

υ = n + m - 2

Tá, e aquele s c ali?

Bom, não se assuste, é uma fórmula bem grande. Ele serve como um estimador do desvio padrão da combinação desses dois desvios padrões.

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

Vamos aplicar isso num exemplo:

Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:

n = 12   ,   x ¯ = 15,32   ,   s x 2 = 0,1561

m = 10   ,   y ¯ = 14,83   ,   s y 2 = 0,1690

Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.

Passo 1) Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

Temos que lembrar os graus de liberdade:

υ = n + m - 2

υ = 12 + 10 - 2 = 20

Olhando na tabela, achamos:

t 0,975 ; 20 = 2,086

Passo 2) Calcular s c .

s c = 11 × 0,1561 + 9 × 0,1690 20 = 0,1619

Passo 3) Calcular d .

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

d = 2,086 × 0,1619 × 1 12 + 1 10

d = 0,36

Passo 4) Completar o I C .

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 15,32 - 14,83 - 0,36   ; 15,32 - 14,83 + 0,36

I C = 0,13   ; 0,85

Que tipo de conclusões eu posso tomar desse tipo de I C ? Faz alguma ideia?

Como todos os resultados desse IC são positivos, podemos concluir que, a um certo nível de confiança:

μ x - μ y > 0

Ou seja...

μ x > μ y

Novamente, nossa subtração é nessa ordem porque nosso intervalo de confiança foi para X ¯ - Y ¯ , e não para Y ¯ - X ¯ !

Nesse exemplo então podemos dizer que é muuuuito provável nossa média populacional de X ser maior que a de Y . Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio maior que o do outro.

2º caso – Desconhecidos e desiguais

Agora vamos ver como seria quando não conhecermos os desvios padrões das duas populações, e ainda iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas s x e s y . Para esse caso, vamos ter também a informação de que σ x e σ y são desiguais, além de serem desconhecidos. Ou seja, σ x ≠ σ y .

Nosso d vai ter essa carinha:

d = t 1 - α 2 × s x 2 n + s y 2 m

Como agora nossos desvios padrões populacionais são diferentes, não podemos considerar um s só, tipo aquele nosso s c do caso passado, mas sim os dois, s x e s y , separadamente!

Bem parecido com o último caso, né? Pena que vai ter uma diferencinha brutal... Agora, quando formos calcular o grau de liberdade v para procurar o t na tabela T-Student, se liga na fórmula que vamos ter que usar:

v = s x 2 n + s y 2 m 2 s x 2 n 2 n - 1 + s y 2 m ² m - 1

Sempre arredondando o valor pro número inteiro imediatamente interior! Vamos ver num exemplo?

Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:

n = 8   ,   x ¯ = 3,2   ,   s x 2 = 0,64

m = 11   ,   y ¯ = 1,8   ,   s y 2 = 0,81

Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.

Passo 1) Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

Temos que lembrar os graus de liberdade:

υ = s x 2 n + s y 2 m 2 s x 2 n 2 n - 1 + s y 2 m 2 m - 1

υ = 0,64 8 + 0,81 11 2 0,64 8 2 8 - 1 + 0,81 11 2 11 - 1 ≈ 18,8 → v = 18

Olhando na tabela, achamos:

t 0,975 ; 18 = 2,101

Passo 2) Calcular d .

d = t 1 - α 2 × s x 2 n + s y 2 m

d = 2,101 × 0,64 8 + 0,81 11

d = 0,82

Passo 4) Completar o I C .

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 3,2 - 1,8 - 0,82   ; 3,2 - 1,8 + 0,82

I C = [ 0,58 ; 2,22 ]

Fechamos nossos casos! Uma curiosidade agora pra fechar nosso tópico:

- Se o zero estiver contido no meu intervalo, quer dizer que para o nível de confiança usado, a gente não pode afirmar que existe de fato uma diferença entre as médias, já que a diferença deles pode ser zero. Mas se o zero não fizer parte do IC, a gente pode dizer que há sim uma diferença!

Entendeu a ideia? Isso não é muito importante não, rs. É que eu acho legal tentar interpretar o que a gente tá fazendo.

Vamos repetir isso algumas vezes nos exercícios. E só por que tô muuuito orgulhosa de vc ter chegado até aqui, fica com esse meme de parabenização e encorajamento:

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Exercício Resolvido #1

PUC – 2014.1 – P3 -Intervalo de Confiança – Diferença entre Médias

Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar aumentar a produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um determinado tipo de catalisador " A " , e um outro tipo de catalisador " B " é aceitável.

Faz-se uma experiência com n = 7 tentativas para o catalisador " A " e n = 6 tentativas para o catalisador " B " .

As médias e os desvios padrões amostrais são:

C a t a l i s a d o r   A → x A ¯ = 70,36   e   s A = 1,90

C a t a l i s a d o r   B → y B ¯ = 80,02   e   s B = 2,05

Pede-se:

Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois catalisadores μ A - μ B ao nível de confiança de 99 % . Pelo resultado pode-se afirmar que a média do catalisador " A " é estatisticamente menor do que a média do catalisador " B " ?

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Passo 1

Questão clássica de intervalo de confiança para diferença entre médias...

Temos dois catalisadores e temos os dados de amostras de cada catalisador.

C a t a l i s a d o r   A → x A ¯ = 70,36   e   s A = 1,90 → n = 7

C a t a l i s a d o r   B → y B ¯ = 80,02   e   s B = 2,05 → m = 6

n e m são os números de elementos de cada amostra.

Nosso intervalo de confiança vai ter esse formato aqui óh:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

Com:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

E:

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

Passo 2

Primeira coisa a fazer é calcular esse s c aí, porque a gente já tem tudo que precisa.

s c = 6 × 1,90 2 + 5 × 2,05 2 7 + 6 - 2

Joga na calculadora aí, não esquece de tirar raiz quadrada ein (eu sempre esqueço).

s c ≅ 1,97

Passo 3

Agora vamos calcular o nosso d ... pra isso a gente precisa do t 1 - α 2 ...

O intervalo é de 99 % de confiança, então...

1 - α = 99 % → α = 0,01

t 1 - α 2 = t 0,995

A gente precisa do número de graus de liberdade, você lembra como é?

n + m - 2 = 7 + 6 - 2 = 11

Então a gente tem que procurar na tabela t   d e   s t u d e n t por t 11 ; 0,995 .

t 11 ; 0,995 = 3,106

Passo 4

Aí sim, vamos calcular o d ...

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

d = 3,106 × 1,97 1 7 + 1 6

d ≅ 3,40

Passo 5

Finalmente, montamos nosso intervalo... lembrando que é μ A - μ B ... catalisador A menos catalisador B .

I C = 70,36 - 80,02 - 3,40   ; 70,36 - 80,02 + 3,40

I C = - 13,06   ;   - 6,26

Como o intervalo de confiança pra diferença entre as médias ficou todo negativo, a gente pode dizer que a média do catalisador A é estatisticamente menor do que a média do catalisador B , concorda? Se o intervalo permitisse valores positivos, ou pelo menos o zero, as médias poderiam ser iguais ou a de A poderia ser maior que a de B ... maaass não é o caso.

Resposta

Sim, podemos afirmar que a média do catalisador A é estatisticamente menor do que a média do catalisador B.

Exercício Resolvido #2

PUC – 2013.1 – P3 - Intervalo de Confiança – Diferença entre Médias

Em um determinado shopping do Rio de Janeiro, queremos saber se os gastos médios de duas lojas com o mesmo perfil, podem ser considerados estatisticamente idênticos.

Tomou-se uma amostra de 17 clientes da loja “ A ” e de 18 clientes da loja “ B ”, obteve as seguintes estimativas:

Loja “ A ”: x ¯ A = r $ 1700,00 e s A = R $ 36,00

Loja “ B ”: x ¯ B = R $ 1730,00 e s B = R $ 29,00

Pede-se:

Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias das duas lojas ( μ B - μ A ) ao nível de significância de 99,5%. Pelo resultado, pode-se afirmas que os gastos médios das duas lojas podem ser considerados estatisticamente iguais?

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Passo 1

No enunciado a gente tem os dados de média e variância de duas amostras e pedem pra gente fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias.

Bom a gente sabe que esse tipo de intervalo tem a seguinte cara:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

E que o valor de d é dado por:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

Sendo que....

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

Só precisamos calcular tudo isso agora!

Passo 2

Vamos começar calculando α e t 1 - α 2   .

Ele quer um intervalo de 99,5 %   de confiança.

1 - α = 0,995

α = 0,005

Com isso:

t 1 - α 2 = t 0,9975

Graus de liberdade       → 17 + 18 - 2 = 33

Procurando na tabela de t   d e   s t u d e n t dá no mesmo que pegar o valor referente na tabela da normal, já que o número de graus de liberdade é maior que 30 .

z 0,9975 = 2,81

Passo 3

Calcular s c .

m = 18       e       n = 17

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

s c = 17 × 29 ² + 16 × 36 ² 33

s c = 1061,6

Passo 4

Calcular o d .

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

d = 2,81 × 1061,6 1 17 + 1 18

d = 2,81 × 11,01

d = 30,96

Passo 5

Completar o intervalo:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 1730 - 1700 ± 30,96

I C = ( - 0,96 ; 60,96 )

Não se pode afirmar que a média é estatisticamente maior já que o zero está contido no intervalo de confiança. Isso significa, por exemplo, que a diferença das médias pode ser zero, ou seja, que elas podem ser iguais.

Resposta

I C = ( - 0,96 ; 60,96 )

Exercício Resolvido #3

PUC – 2013.2 – P3 -Intervalo de Confiança – Diferença entre Médias

Uma máquina " A " produz peças circulares cujos diâmetros " D " devem obedecer uma determinada especificação em m m , e, uma outra máquina " B " foi encontrada no mercado. Quer-se saber se os diâmetros médios das duas máquinas são próximas, ou seja, se as máquinas produzem peças que podem ser consideradas estatisticamente idênticas em termos dos diâmetros das mesmas.

Tomou-se uma amostra de 14 peças da máquina " A " , e 16 peças da máquina " B " , tendo sido obtidas as seguintes estimativas amostrais:

M á q u i n a   A :   x A ¯ = 99 m m     s A = 10 m m

M á q u i n a   B :   x B ¯ = 94 m m     s B = 9 m m

  1. Encontre o intervalo de confiança para a diferença das médias das duas máquinas μ A - μ B ao nível de significância de 95 % e 99 % . Através deste resultado, explique se existe diferença das peças entre as duas máquinas.
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Passo 1

Tá, a gente tem os dados das duas amostras e vai fazer um intervalo de confiança pra diferença entre as médias das amostras... um não, dois intervalos!

Independente do nível de significância, a cara do intervalo é a mesma:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

Com:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

O que vai mudar pra cada caso, é o t 1 - α 2 , porque depende do nível de significância α .

Passo 2

Vamos calcular primeiro esse s c aí.

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

n = 14     e     m = 16 são os números de elementos das amostras.

s c = 13 × 10 2 + 15 × 9 2 14 + 16 - 2

Jogando na calculadora...

s c ≅ 9,48

Passo 3

Agora vamos calcular o que depende do α .

O grau de liberdade é:

υ = m + n - 2 = 28

Pro intervalo de 95 % ..

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

t 28 ; 0,975 = 2,048

Pro intervalo de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

t 1 - α 2 = t 0,995

t 28 ; 0,995 = 2,763

Passo 4

Agora vamos calcular d para as duas situações..

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m