Intervalo de Confiança para Diferença entre Médias

Teoria Completa

O que é?

Você deve tá se perguntando pra que fazer um intervalo de confiança pra diferença entre duas médias. Como se já não bastasse fazer pra uma, qual seria o sentido disso?

Muitas vezes, a gente tem interesse em comparar duas populações em relação a média de alguma coisa que elas tenham em comum.

Por exemplo: Suponha que sua mãe costuma usar um certo tipo de produto de limpeza da marca A, mas o mesmo produto na marca B tem um preço melhor. Se a diferença de rendimento entre eles não for muito grande, talvez seja melhor comprar o da marca B, concorda?

Viu? Essa é uma boa utilização para esse IC. Poderíamos construir um intervalo de confiança para a diferença dos rendimentos médios dos produtos das duas marcas.

O procedimento pra construir o IC continua o mesmo, mesma ideia:

- Vamos querer construir um IC de   100 1 - α % de confiança para ( μ x - μ y ) :

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

O problema será só determinar o valor do d , que vai depender de alguns fatores:

  • Se os desvios padrões são conhecidos;
  • Caso sejam desconhecidos, se são iguais.

Vamos ver todos os casos possíveis que podem cruzar o nosso caminho!

IC com DP’s Conhecidos

Nesse caso, nós temos duas populações diferentes e seus respectivos σ x 2 e σ y 2 , conhecidos por nós. Nosso d nesse caso vai ser calculado por:

d = z 1 - α 2 × σ x 2 n + σ y 2 m

Onde n e m são o número de elementos de cada amostra.

Vamos ver melhor como fica num exemplo.

Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:

n = 15   ,   x ¯ = 17,5   ,   σ x 2 = 18,5

m = 15   ,   y ¯ = 21,3   ,   σ y 2 = 19,5

Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.

Passo 1) Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Para calcular nosso d , precisamos procurar o z na tabela, lembrando que α = 0,05 :

z 1 - α 2 = z 1 - 0,05 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 2) Calcular d .

Então...

d = z 1 - α 2 × σ x 2 n + σ y 2 m = 1,96 × 18,5 15 + 19,5 15

d = 3,1

Passo 3) Construir IC.

Também precisamos calcular a diferença entre as médias amostrais:

X ¯ - Y ¯ = 17,5 - 21,3 = - 3,8

E agora já podemos construir o IC:

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = [ - 3,8 - 3,1 ;   - 3,8 + 3,1 ]

I C = [ - 6,9 ; - 0,7 ]

O que significa todo esse IC negativo? Faz ideia? Lembra que fizemos o IC para a diferença X ¯ - Y ¯ ?

Então achar um resultado negativo quer dizer que estamos garantindo a seguinte relação entre as médias populacionais, a um certo nível de confiança:

μ x - μ y < 0

Ou seja...

μ x < μ y

Então é muuuito provável, por esse IC que achamos, que a média populacional de X seja menor que a de Y ! Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio menor que o do outro.

Foi? Vamos pro próximo caso então!

IC com DP’s Desconhecidos

1º caso – Desconhecidos mas iguais

Para o caso de não conhecermos os desvios padrões das duas populações, nós teremos duas amostras, uma de cada população e iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas s x e s y . Para esse caso, vamos ter também a informação de que σ x e σ y são iguais, apesar de serem desconhecidos. Ou seja, σ x = σ y .

O d seguiria a seguinte fórmula:

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

Como já era de se esperar, vamos utilizar a distribuição t   d e   s t u d e n t , já que não conhecemos os valores dos desvios padrões, σ x e σ y .

Falta só dizer qual será o número de graus de liberdade nesse caso com duas populações:

Será:

υ = n + m - 2

Tá, e aquele s c ali?

Bom, não se assuste, é uma fórmula bem grande. Ele serve como um estimador do desvio padrão da combinação desses dois desvios padrões.

s c = n - 1 s x 2 + m - 1 s y 2 n + m - 2

Vamos aplicar isso num exemplo:

Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:

n = 12   ,   x ¯ = 15,32   ,   s x 2 = 0,1561

m = 10   ,   y ¯ = 14,83   ,   s y 2 = 0,1690

Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.

Passo 1) Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

Temos que lembrar os graus de liberdade:

υ = n + m - 2

υ = 12 + 10 - 2 = 20

Olhando na tabela, achamos:

t 0,975 ; 20 = 2,086

Passo 2) Calcular s c .

s c = 11 × 0,1561 + 9 × 0,1690 20 = 0,1619

Passo 3) Calcular d .

d = t 1 - α 2 × s c 1 n + 1 m

d = 2,086 × 0,1619 × 1 12 + 1 10

d = 0,36

Passo 4) Completar o I C .

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 15,32 - 14,83 - 0,36   ; 15,32 - 14,83 + 0,36

I C = 0,13   ; 0,85

Que tipo de conclusões eu posso tomar desse tipo de I C ? Faz alguma ideia?

Como todos os resultados desse IC são positivos, podemos concluir que, a um certo nível de confiança:

μ x - μ y > 0

Ou seja...

μ x > μ y

Novamente, nossa subtração é nessa ordem porque nosso intervalo de confiança foi para X ¯ - Y ¯ , e não para Y ¯ - X ¯ !

Nesse exemplo então podemos dizer que é muuuuito provável nossa média populacional de X ser maior que a de Y . Então, supondo que eu esteja trantando do rendimento médio dos dois produtos de limpeza lá. Eu poderia concluir, por exemplo, que um produto tem rendimento médio maior que o do outro.

2º caso – Desconhecidos e desiguais

Agora vamos ver como seria quando não conhecermos os desvios padrões das duas populações, e ainda iremos conhecer o desvio padrão amostral de cada uma delas s x e s y . Para esse caso, vamos ter também a informação de que σ x e σ y são desiguais, além de serem desconhecidos. Ou seja, σ x ≠ σ y .

Nosso d vai ter essa carinha:

d = t 1 - α 2 × s x 2 n + s y 2 m

Como agora nossos desvios padrões populacionais são diferentes, não podemos considerar um s só, tipo aquele nosso s c do caso passado, mas sim os dois, s x e s y , separadamente!

Bem parecido com o último caso, né? Pena que vai ter uma diferencinha brutal... Agora, quando formos calcular o grau de liberdade v para procurar o t na tabela T-Student, se liga na fórmula que vamos ter que usar:

v = s x 2 n + s y 2 m 2 s x 2 n 2 n - 1 + s y 2 m ² m - 1

Sempre arredondando o valor pro número inteiro imediatamente interior! Vamos ver num exemplo?

Ex: considere os dados de duas amostras representativas de duas populações:

n = 8   ,   x ¯ = 3,2   ,   s x 2 = 0,64

m = 11   ,   y ¯ = 1,8   ,   s y 2 = 0,81

Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre as médias.

Passo 1) Calcular α e t 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

t 1 - α 2 = t 0,975

Temos que lembrar os graus de liberdade:

υ = s x 2 n + s y 2 m 2 s x 2 n 2 n - 1 + s y 2 m 2 m - 1

υ = 0,64 8 + 0,81 11 2 0,64 8 2 8 - 1 + 0,81 11 2 11 - 1 ≈ 18,8 → v = 18

Olhando na tabela, achamos:

t 0,975 ; 18 = 2,101

Passo 2) Calcular d .

d = t 1 - α 2 × s x 2 n + s y 2 m

d = 2,101 × 0,64 8 + 0,81 11

d = 0,82

Passo 4) Completar o I C .

I C = X ¯ - Y ¯ - d ; X ¯ - Y ¯ + d

I C = 3,2 - 1,8 - 0,82   ; 3,2 - 1,8 + 0,82