Enunciado

Entre 2.000 famílias, com 4 crianças cada uma, provavelmente, quantas terão:

  1. pelo menos 1 menino;
  2. nenhuma menina.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?!

No item a) de acordo com o conceito de Distribuição Binominal:

Seja uma experiência aleatória que pode ser repetida n vezes, sempre nas mesmas condições, na qual só podem ocorrer duas alternativas em cada prova: realização de um evento E (quando dizemos que houve sucesso), ou a não realização desse evento E (quando dizemos que houve insucesso). Suponhamos que essas n provas sejam independentes e que, em cada prova, as probabilidades de obter sucesso (p) e de obter insucesso (q) sejam constantes. Portanto:

P ( E ) = p

P ( E - ) = q = 1 - p

Consideramos agora o número de vezes (X) em que o evento E ocorre nas n provas independentes e então o número de vezes em que o evento E _   (não ocorre E) será ( n - X ) . Considerando X como variável aleatória, temos então definida a distribuição Binomial.

Nas n provas a probabilidade de ocorrer sucesso é:

P ( x )   =     C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

onde,

  • X = criança menino, no caso, 1
  • p = probabilidade de sucesso, no caso, só existem 2 opções (menino ou menina), então 50% = 0,5
  • n = 4

obs: Lembremos, da Análise Combinatória, que:

  C n , x =   n ! x ! ( n - x ) !

temos que:

P ( x ≥ 1 ) =   P ( x = 1 ) + P ( x = 2 ) + P ( x = 3 ) + P ( x = 4 )

P ( x ≥ 1 ) = 4 ! 1 ! ( 4 - 1 ) ! ⋅   0,5 1   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 4 - 1 + 4 ! 2 ! ( 4 - 2 ) ! ⋅   0,5 2   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 4 - 2 + 4 ! 3 ! ( 4 - 3 ) ! ⋅   0,5 3   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 4 - 3 +   4 ! 4 ! ( 4 - 4 ) ! ⋅   0,5 4   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 4 - 4 = 0,9375

Então a probabilidade de em uma família com 4 crianças, pelo menos 1 ser menino é de 93,75%, sendo assim, em um total de 2000 famílias temos que a quantidade de famílias que terão pelo menos 1 menino é de:

2000 ⋅ 0,9375 = 1875

Passo 2

no item b) queremos a probabilidade de ter somente meninos, ou seja, nenhuma menina:

P ( x )   =   C n , x ⋅ p x   ⋅ ( 1 - p ) n - x  

onde,

X = criança menino, no caso, = 4

p = probabilidade de sucesso, no caso, só existem 2 opções (menino ou menina), então 50% = 0,5

n = 4

P ( x = 4 ) = 4 ! 4 ! ( 4 - 4 ) ! ⋅   0,5 4   ⋅   ( 1 - 0,5 ) 4 - 4 = 0,0625 = 6,25%

então a probabilidade de em uma família com 4 crianças, nenhuma ser menina é de 6,25%, sendo assim, em um total de 2000 famílias temos que a quantidade de famílias que não terão nenhuma menina é de:

2000 ⋅ 0,0625 = 125

Resposta

  1. 1.875 famílias
  2. 125 famílias

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