Se X ~ N(10,4) , calcular:

a) P(8 < X < 10)

b) P(9 ≤ X ≤ 12)

c) P(X > 10)

d) P(X < 8 ou X > 11)

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Temos X ∼ N ( μ = 10 , σ 2 = 4 ) (logo σ = 2 ) e temos que calcular as probabilidades:a) P ( 8 < X < 10 ) b) P ( 9 ≤ X ≤ 12 ) c) P ( X > 10 ) d) P ( X < 8  ou  X > 11 )

Como vamos resolver isso?

Vamos padronizar para a variável normal padrão

Z = X - 10 2

Depois usamos valores da função de distribuição padrão Φ ( z ) .Transformamos cada intervalo em termo de Z e avaliamos Φ .

Os conceitos e fórmulas que temos que lembrar são:

  • Se X ∼ N ( μ , σ 2 ) , então
  • Z = X - μ σ ∼ N ( 0,1 )

  • Para qualquer a < b :
  • P a < X < b = Φ b - μ σ - Φ a - μ σ

  • Simetrias: Φ - z = 1 - Φ ( z ) e P X > c = 1 - Φ c - μ σ .

Bora lá!

Passo 2

Vamos fazer tudo em termos de Z . Lembrando que aqui μ = 10 e σ = 2 , então a padronização é

Z = X - 10 2

a) P ( 8 < X < 10 ) .

Primeiro calculamos os z -valores:

z 1 = 8 - 10 2 = - 1 ,     z 2 = 10 - 10 2 = 0

Portanto

P ( 8 < X < 10 ) = P ( - 1 < Z < 0 ) = Φ ( 0 ) - Φ ( - 1 ) .

Usando os valores conhecidos da tabela normal padrão Φ ( 0 ) = 0,5 e Φ ( - 1 ) = 0,158 6 , obtemos

P 8 < X < 10 = 0,5 - 0,15 86

P 8 < X < 10 ≈ 0,34 13

Show?

Passo 3

b) P ( 9 ≤ X ≤ 12 ) .

Padronizamos:

z inf = 9 - 10 2 = - 0,5 ,     z sup = 12 - 10 2 = 1

Assim

P ( 9 ≤ X ≤ 12 ) = P ( - 0,5 ≤ Z ≤ 1 ) = Φ ( 1 ) - Φ ( - 0,5 )

Com Φ ( 1 ) = 0,8413 e Φ ( - 0,5 ) = 0,3085 , temos

P 9 ≤ X ≤ 12 = 0,8413 - 0,3085

P 9 ≤ X ≤ 12 = 0,5328

Tranquilo?

Passo 4

c) P ( X > 10 ) .

Como 10 é a média, por simetria metade da massa está acima e metade abaixo.

Formalmente:

P X > 10 = P Z > 0 = 1 - Φ 0 = 1 - 0,5

P X > 10 = 0,5

E por fim: d) P ( X < 8  ou  X > 11 ) .

Tratamos como soma de probabilidades (são eventos disjuntos):

P ( X < 8  ou  X > 11 ) = P ( X < 8 ) + P ( X > 11 ) .

Padronizando: para 8 , z = - 1 . Para 11 , z = 11 - 10 2 = 0,5 . Então

P ( X < 8 ) = Φ ( - 1 ) = 0,1586

P ( X > 11 ) = 1 - Φ ( 0,5 ) = 1 - 0,6914 = 0,3085

Somando,

P X < 8  ou  X > 11 ≈ 0,1586 + 0,3085

P X < 8  ou  X > 11 = 0,4671

Resumindo nossas respostas:

a) P ( 8 < X < 10 ) ≈ 0,3413 .b) P ( 9 ≤ X ≤ 12 ) ≈ 0,5328 .c) P ( X > 10 ) = 0,5000 .d) P ( X < 8  ou  X > 11 ) ≈ 0,4672 .

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

a) P ( 8 < X < 10 ) ≈ 0,3413 .b) P ( 9 ≤ X ≤ 12 ) ≈ 0,5328 .c) P ( X > 10 ) = 0,5000 .d) P ( X < 8  ou  X > 11 ) ≈ 0,4672 .

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