Lista de Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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A vazão instantânea de um rio ( m 3 / s ) em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a 100 . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

  1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com 95 % de probabilidade. Calcules este valor.
  2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre 88 e 110 m ³ / s .
  3. Suponha que tenhamos uma amostra de 6 medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a 110 m ³ / s .

Dado: Distribuição normal de uma média x - : N o r m a l     μ   ; σ 2 n

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A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com μ = 22,86 e σ = 0,0762 . Os limites de especificação foram dados como 22,86 ± 0,127   m m .

  1. Que percentual de forjas será defeituoso?
  2. Qual é o valor máximo permissível para σ que permitirá que não exista mais de 1 forja defeituosa em 100 se as espessuras forem de μ = 22,86 e σ ?

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Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média μ = 1,80 m e desvio padrão, σ = 10 c m . Calcule:

  1. A probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura.
  2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.

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Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

b) E mais do que 9,5 minutos?

c) E entre 7 e 10 minutos?

d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

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A dureza Rockwell de uma liga particular é distribuída normalmente, com uma média de 70 e um desvio padrão de 4 .

  1. Determinar a probabilidade da dureza estar entre 62 e 72 .
  2. Se o intervalo aceitável para a dureza fosse ( 70 - c ,   70 + c ) , para qual valor de c teríamos 95 % de todos os espécimes com dureza aceitável?

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Um caminhão pode transportar uma carga máxima de três toneladas. Sua carga é composta por caixas transportando dois tipos de produtos, tipo A e tipo B. Suponha que o peso de caixas com produto do tipo A tenha distribuição normal com média 50 kg e variância 25 kg² e que o peso de caixas com produto do tipo B tenha distribuição normal com média 38 kg e variância 16 kg². Suponha ainda que pesos de caixas distintas sejam independentes.

a) Calcule a média e variância da carga tranportada quando o caminhão é carregado com 25 caixas com produto do tipo A e 45 com caixas com produto do tipo B.

b) Com a mesma carga descrita no item (a), calcule a probabilidade do caminhão ter sido carregado com uma carga superior a máxima permitida.

c) Se o caminhão só for carregado com produto do tipo A, qual o maior número de caixas que ele pode transportar de modo que a probabilidade de exceder a carga máxima seja inferior a 2%.

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A função de densidade de probabilidade associada à distribuição normal é completamente caracterizada por sua média μ e seu desvio padrão σ . Defina o que representam estes parâmetros para a distribuição normal e esboce através de gráficos esta afirmação.

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Suponha que as notas obtidas pelos alunos num exame nacional sejam normalmente distribuídas com média 500 e desvio padrão 150 .

  1. Determine a porcentagem de alunos com notas superiores a 600 .
  2. Se as notas de cinco desses alunos forem sorteadas, qual a probabilidade de que ao menos duas sejam superiores a 600 ?

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Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

  1. O valor de venda desse imóvel depois de pronto pode também ser considerado como uma variável aleatória, com distribuição Normal, cuja média é 1 milhão de reais. Qual deve ser o desvio padrão dessa distribuição para que se possa garantir, com 90 % de probabilidade, que a construtora conseguirá vender a casa por pelo menos 800 mil reais?

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Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média μ = 1,80 m e desvio padrão, σ = 10 c m . Calcule:

  1. A probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura.
  2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.
  3. A mediana e a distância interquartil da variável altura.

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X 1   e X 2   representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que X 1   e X 2 podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

  1. X 1 é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
  2. X 2 é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
  3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

  1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
  2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?

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O valor exato de uma certa grandeza, expresso em uma unidade apropriada, é igual a μ , onde μ > 0 . Quando essa grandeza é medida com o uso de um determinado instrumento, o resultado da medição se comporta como uma variável aleatória X , que segue uma distribuição N o r m a l ( μ ; σ 2 )   . O erro relativo correspondente a essa medição é X - μ / μ . A probabilidade de que esse erro relativo seja maior que 0,5 é igual a 0,02.

  1. Qual é o valor de μ , se σ = 2 ?
  2. Qual é o valor de σ , se μ = 6,99 ?

Obs.: Nesta questão os cálculos devem ser efetuados sempre com duas casas decimais.

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Suponha que o peso X de uma pessoa selecionada ao acaso de uma certa população distribui-se normalmente com média µ e variância σ ² . Suponha também que P ( X < 80 ) = 1 / 2 e P ( X < 60 ) = 1 / 4 .

  1. Obtenha µ e σ ² e calcule P ( X ≥ 100 ) .
  2. Dentre todas as pessoas pesando no mínimo 100 quilos, qual percentual pesará mais de 120 quilos?
  3. Tomamos uma amostra de 5 pessoas dessa população. Qual a probabilidade de que exatamente 3 delas pesem mais do que 60 quilos?

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A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com μ = 22,86 e σ = 0,0762 . Os limites de especificação foram dados como 22,86 ± 0,127   m m .

  1. Que percentual de forjas será defeituoso?
  2. Qual é o valor máximo permissível para σ que permitirá que não exista mais de 1 forja defeituosa em 100 se as espessuras forem de μ = 22,86 e σ ?

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O diâmetro de uma conexão é distribuído normalmente, com uma média de 0,4008 e um desvio padrão de 0,0004 . As especificações do projeto são 0,4000 ± 0,0010 . Note que o processo de fabricação está operando com a média diferente da especificação do projeto.

  1. Determine a probabilidade de uma peça estar fora da especificação.
  2. O Engenheiro de Controle de Qualidade decide ajustar a máquina de modo que a nova média fique dentro da especificação. Nessa situação, qual a probabilidade da peça estar fora da especificação?
  3. Se uma peça dentro da especificação gera um lucro de R $   50 , e fora da especificação um lucro de apenas R $   10 , calcule o lucro esperado para os casos a e ( b ) .

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A resistência de uma liga de aço possui Distribuição Normal com média igual a 345 Mpa e Desvio Padrão igual a 12 Mpa. Uma peça moldada com essa liga será vendida por R $ 1.200,00 se a sua resistência ficar acima de 325   Mpa; caso contrário, o preço de venda será de R $ 500,00 . Sabendo que o custo de fabricação da peça é de R $ 200,00 , determine:

  1. O lucro esperado por peça.
  2. Qual o significado do valor obtido em (a)?

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Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal com média de 12 anos e variância de 16 anos², determine:

  1. A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 10 e 13 anos de tempo de estudo.
  2. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser menor que 11 anos?
  3. Toma-se uma amostra de 6 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na amostra exceder 15 anos de estudo?

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Uma torre de transmissão capta além do sinal de interesse, um ruído branco. Se a voltagem do ruído branco nos terminais de entrada da antena da torre pode ser modelado por uma v.a. " X " com distribuição N 0 , σ 2 , responda:

Qual a densidade de probabilidade da potência do ruído branco nos terminais da antena, sabendo que a potência é uma função: Y = α X 2 2 - 3 .

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Uma indústria de manufatura produz peças cujo diâmetro tem a seguinte especificação nominal D i   ~   N o r m a l   200 m m ; 100 m m 2 . Pede-se:

  1. Qual a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso, ter diâmetro entre 190 e 197   m m .
  2. Um comprador destas peças acertou a compra de um lote de 30 peças. Qual a probabilidade da média dos diâmetros deste lote (denotada por D ¯ ) ser D ¯ ≥ 204 m m ?
  3. Deste mesmo lote adquirido pelo fabricante, qual a probabilidade do maior dos diâmetros de todas as 30 peças ser superior a 212   m m ?

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Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal com média de 9 anos e variância de 16 anos², determine:

  1. A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 8 e 15 anos de tempo de estudo.
  2. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser menor que 7 anos?
  3. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade do que tem menos anos de estudo desta amostra exceder 14 anos de estudo?
  4. Quantos anos de estudo um adulto deve ter, para estar dentre os 4% que mais tempo tem de estudo?

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Seja uma variável aleatória contínua com densidade Normal, onde os valores possíveis de " x " pertence aos reais, μ = 0 e σ ² > 0 .

f x = 1 2 π σ 2 . e - x - μ 2 2 σ 2

Determine a densidade de Y = X 2 3 + 3 .

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Os resultados de um certo teste psicológico que mede a ansiedade em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 35 e variância 81 . Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

  1. Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos?
  2. Se os 5 alunos matriculados em engenharia que fazem a matéria de PROBEST passarem no teste, qual é a probabilidade que tenham tido uma pontuação media acima de 30 ?
  3. Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso, medir entre 30 e 43 .

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b) Seja X 1 , X 2 , … , X n uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N ( μ , σ 2 ) . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , quem é a distribuição de Y ? E da v.a. Y n .

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A vazão instantânea de um rio ( m 3 / s ) em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a 100 . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

  1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com 95 % de probabilidade. Calcules este valor.
  2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre 88 e 110 m ³ / s .
  3. Suponha que tenhamos uma amostra de 6 medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a 110 m ³ / s .

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Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A , com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B , com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200   u . m e 21000   u . m respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500   u . m e 7000   u . m respectivamente.

  1. Calcule as probabilidades de haver restituições nos televisores do tipo A e do tipo B .
  2. Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B .
  3. Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B , explique conforme o resultado do item " b " ?

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b) Seja X 1 , X 2 , … , X n uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição N ( μ , σ 2 ) . Se Y = X 1 + X 2 + … + X n , quem é a distribuição de Y ? E da v.a. Y n .

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Os resultados de um certo teste de medida que mede o peso em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 64 k g e desvio padrão 16 k g . Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

  1. Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos?
  2. Qual a probabilidade de alguém pesar entre 57 k g e 74 k g ?
  3. Se os 25 alunos matriculados em Engenharia Civil que fazem a matéria de PROBEST fizerem o teste, qual é a probabilidade que tenham o peso médio superiores a 70 k g ?
  4. Dentre 25 alunos nesta mesma amostra, qual a probabilidade do aluno que teve o peso maior, não exceda 70 k g no teste?

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O consumo mensal em minutos por conta de celular numa certa região é uma v.a. Normal com média 40 minutos e variância 144   (minutos)² ou desvio padrão 12   minutos.

  1. Qual a probabilidade de alguém usar o celular entre 35 e 50 minutos?
  2. Quantos minutos por mês alguém deve ficar no celular para estar entre os 5 % que menos usar o aparelho?
  3. Toma-se uma amostra de 24 usuários de celular.

  4. Qual a probabilidade do tempo médio de uso na amostra exceder a 45 minutos?
  5. Qual a probabilidade do maior tempo de uso na amostra ser menor que 50 minutos?

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Considere que a demanda mensal de arroz em um restaurante a quilo, em toneladas, seja descrita por uma variável aleatória X, cuja função densidade é fornecida abaixo:

f x =   3 32 6 x - x 2 - 5 ,     p a r a   1 ≤ x ≤ 5 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

a) Calcule a probabilidade de que, em um determinado mês, a demanda arroz esteja entre 2 e 4 toneladas.

b) Calcule a probabilidade de que, em um determinado mês, a demanda de arroz seja superior a 2 toneladas, dado que essa demanda foi inferior a 4 toneladas.

c) Refaça os itens (a) e (b), supondo que a demanda mensal de arroz, em toneladas, tenha uma distribuição normal com média 3 e variância 0,64.

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Uma empresa transporta carga e o custo C(X) do transporte, em u.m., depende do peso X, em toneladas, da carga a ser transportada, conforme a tabela abaixo:

Se o peso da carga a ser transportada for uma variável aleatória X com distribuição Normal (5;0,25), determine:

a) O valor esperado do custo do transporte.

b) O desvio padrão do custo do transporte.

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Um determinado posto de gasolina vende quatro tipo de produto: etanol, gasolina comum, gasolina aditivada e gasolina premium. Elas custam R$ 1,80, R$ 3,40, R$ 4,00 e R$ 4,80 por galão respectivamente e sejam X 1 , X 2 , X 3 e X 4 os consumos desses galões comprados em um dia específico. Suponha que os X i ’s sejam independentes com:

- Média: μ 1 = 2000 , μ 2 = 1000 , μ 3 = 800 e μ 4 = 400 ;

- Desvio padrão: σ 1 = 25 , σ 2 = 10 , σ 3 = 15 e σ 4 = 18 .

A receita das vendas é Y = 1,80 X 1 + 3,40 X 2 + 4,00 X 3 + 4,80 X 4 . Suponha que os consumos dos combustíveis seguem uma distribuição normal. Pede-se:

a) Calcule o valor esperada e variância da receita das vendas E Y ; V a r Y .

b) Considerando que os valores do item anterior correspondem: E Y = μ Y e V a r Y = σ Y 2 , calcule a probabilidade de a receita das vendas estar entre R$11800 e R$ 12300?

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Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacote de café: média μ 1 = 1000   g e desvio-padrão σ 1 = 15   g .

Pacote de tapioca: média μ 2 = 450   g e desvio-padrão σ 2 = 8   g .

Pacote de feijão: média μ 3 = 600   g e desvio-padrão σ 3 = 12   g .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5   k g , e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0   k g de roupas. Pede-se:

a) Determinar o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos. Qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20,5   k g permitidos para o embarque?

b) No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de 20   k g e desvio-padrão de 4   k g . A aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre 19,5   k g e 22 kg.

c) Considere como sendo a média e a variância do peso total da bagagem aquelas fornecidas no item (b). Para um tamanho de amostra n = 9 , qual a probabilidade da mala com menor peso exceder 16   k g ?

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Sabe-se que a duração em quilômetros rodados de pneus da marca A é normal. Um revendedor de pneus, para efeitos de garantia, quer calcular a probabilidade de que um pneu dessa marca dure mais de 55.000 quilômetros, mas não conhece os parâmetros média (µ) e desvio-padrão (σ) dessa distribuição normal. Com base em seus registros ele verificou que 21% desses pneus duram pelo menos 48.100 quilômetros; e 1% desses pneus dura no máximo 16.700 quilômetros.

a) Usando as informações do revendedor, calcule µ e σ.

b) Calcule a probabilidade de que um pneu da marca A dure mais do que 55.000 quilômetros.

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A distribuição do peso dos usuários de um elevador pode ser modelada por uma Normal com média 72 k g e com desvio padrão 10 k g . Suponha que cinco pessoas apareçam aleatoriamente para usar esse elevador.

(a) Sabendo que o limite de peso recomendado para o elevador é de 400   k g , calcular a probabilidade de que o peso no elevador exceda esse limite.

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A distribuição do peso dos usuários de um elevador pode ser modelada por uma Normal com média 72 k g e com desvio padrão 10 k g . Suponha que cinco pessoas apareçam aleatoriamente para usar esse elevador.

(b) Na construção de um novo elevador, qual deve ser o limite de carga para que se garanta, com 98 % de chance, que a soma dos pesos de cinco pessoas dessa população de usuários não ultrapasse este limite?

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O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de 0,05 m m e um desvio padrão de 0,01 m m .

  1. Qual deve ser o desvio-padrão do diâmetro, para termos uma probabilidade de 98,5 % de o diâmetro não exceder 0,06 m m ?

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O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de 0,05 m m e um desvio padrão de 0,01 m m .

  1. Qual é a probabilidade do diâmetro desta impressora exceder 0 , 065 m m ?

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O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de 0,05 m m e um desvio padrão de 0,01 m m .

  1. Assumindo uma amostra de 10 impressoras, qual a probabilidade de que o menor diâmetro do ponto produzido dentro desta amostra exceda 0,04 ?

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Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade ( f x ) de uma v.a. X ~ N O R M A L ( μ ; σ 2 ) .

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Seja X uma Variável aleatória contínua com densidade Normal de média μ = 0 e variância σ ² > 0 .

Determine a densidade de Y = X 2 2 - 2 .

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Um apartamento de 2 quartos numa certa região da cidade custa, em média, R $   260   m i l . A dispersão entre os valores, medida pelo desvio padrão, é R $   100   m i l .

Além disso, pode-se assumir os preços dos apartamentos como independentes entre si e normalmente distribuídos.

  1. Uma imobiliária pretende oferecer uma viagem de presente aos compradores de apartamentos de 2 quartos neste bairro que comprem os apartamentos situados na faixa dos 10 % mais caros. A partir de quanto deve custar esse apartamento para que seu comprador ganhe a viagem de “presente”?

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Um apartamento de 2 quartos numa certa região da cidade custa, em média, R $   260   m i l . A dispersão entre os valores, medida pelo desvio padrão, é R $   100   m i l .

Além disso, pode-se assumir os preços dos apartamentos como independentes entre si e normalmente distribuídos.

b) Considere 16 compradores de apartamentos de 2 quartos neste bairro. Qual a probabilidade do preço médio pago por eles ser inferior a R $   250   m i l ?

c) Dentre as 16 pessoas nesta mesma amostra, qual a probabilidade do comprador que pagou mais caro por um apartamento ter pago menos de R $   265   m i l ?

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O Chile encontra-se em uma das regiões do mundo que apresentam os maiores índices de ocorrência de terremotos. Suponha que o intervalo de tempo T entre a ocorrência de dois terremotos sucessivos possa ser modelado por uma variável aleatória exponencial com média desconhecida 1 λ , em meses. Com base em dados históricos sabe-se que a probabilidade de que o intervalo de tempo entre dois terremotos exceda um ano é de 0, 001%.

(a) Usando a informação contida nos dados históricos, calcule o valor de λ e em seguida escreva a expressão matemática da função densidade de probabilidade da variável aleatória T .

(b) Determine o número médio de terremotos no Chile durante um período de 6 meses e em seguida calcule a probabilidade de que nesse período de tempo ocorram no máximo dois terremotos.

(c) Um terremoto é considerado extremo se sua magnitude na escala Richter for superior a 10. Admitindo que a magnitude dos terremotos no Chile, na escala Richter, seja distribuída conforme uma normal de média 6,5 e desvio padrão 1, determine a probabilidade de um terremoto ser considerado extremo.

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Queremos desenvolver um software que será composto por 5 módulos. Admita que o número de comandos em cada módulo pode ser tratado como uma variável aleatória com distribuição Normal de média μ = 60 comandos e desvio padrão   σ = 10 comandos. Há independência entre os números de comandos dos diversos módulos. O objetivo é calcular a média e o desvio padrão do número total de comandos desse software. Foi proposta a seguinte solução: Sejam X   = número de comandos em um módulo e Y   = número de comandos total no software. Então X   ∼   N ( 60 ;   102 ) . Além disso,   Y   =   5 X . Logo: E ( Y )   =   5   ×   60   =   300   c o m a n d o s ; V a r ( Y )   =   52   ×   102   =   2500   c o m a n d o s ² ; D P ( Y ) = √ 2500 = 50 comandos.

Pergunta-se:

(a) Está correta essa solução? Se sim, por que sim? Se não, por que não?

(b) Apresente outra resolução para o problema.

(c) A suposição de Normalidade é de fato essencial para se resolver o problema? E quanto à suposição de independência?

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Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade f ( x ) de uma v.a. X ~ N O R M A L ( μ , σ 2 ) .

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Um produto pesa em média 50 g com desvio padrão de 2 g . Esse produto é embalado em caixas com 150 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média 500 g com desvio padrão de 5 g . Admitindo-se que os pesos das caixas e dos produtos sejam independentes entre si e modelados pela distribuição normal, responda:

  1. A área de controle de qualidade da produção detecta a existência de não conformidades a partir do peso das caixas cheias. Ela tolera um erro de mais ou menos 0,7 % com relação ao valor médio da caixa cheia. Calcule a probabilidade de termos uma caixa fora do intervalo de conformidade.
  2. Assumindo uma amostra de m caixas cheias, qual a probabilidade do maior peso dentro desta amostra exceder a média de uma caixa cheia? Calcule para m = 2 ; 3 e 10 .

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No processo de produção de vinho de uma determinada vinícola, a concentração total de açucares de todos os vinhos produzidos é assumida uma distribuição normal com média de 12   g / L e desvio padrão de 5   g / L . Um vinho é considerado seco se possui no máximo até 5   g / L de concentração de açúcar; meio doce (demi-sec) se possui concentração de açúcar entre 5 e 20   g / L ; e doce se possui concentração de açúcar maior que 20   g / L .

  1. Qual é a proporção de vinho do tipo seco produzido pela vinícola?
  2. Entre os vinho que não são do tipo seco, qual é a proporção de vinhos do tipo doce?
  3. A vinícola dá uma classificação especial aos 1 % dos vinhos com maior quantidade de açúcar. Acima de qual quantidade de açúcar, um vinho recebe essa classificação?

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Os resultados de uma pesquisa que mediu a altura dos alunos da PUC-Rio, sustentam a hipótese de que a altura de um aluno, sorteado aleatoriamente, é uma variável aleatória Normal com média 1,71m e desvio padrão 0,04m. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

a) Qual é o percentil de 80% da altura dos alunos da PUC-Rio?

b) Qual a probabilidade de algum aluno selecionado ao acaso, ter altura entre 1,68m e 1,76m?

c) Se selecionarmos 12 alunos ao acaso e de maneira independente, qual é a probabilidade que a altura média deles seja superior a 1,70m?

d) Considerando a mesma amostra de 12 alunos da questão c), qual a probabilidade de que a maior altura da amostra não exceda 1,70m?

Observação:

- Mostre todos os passos da solução.

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

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Conteúdos Complementares

Tabelas de Distribuição Normal

Tabela Distribuição Normal