Exercícios de Distribuição Normal - Lista de Exercícios Resolvida

Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.

a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?

b) E mais do que 9,5 minutos?

c) E entre 7 e 10 minutos?

d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

A vazão instantânea de um rio em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com de probabilidade. Calcules este valor.
2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre e .
3. Suponha que tenhamos uma amostra de medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a .

Dado: Distribuição normal de uma média :

A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com e . Os limites de especificação foram dados como .

1. Que percentual de forjas será defeituoso?
2. Qual é o valor máximo permissível para que permitirá que não exista mais de forja defeituosa em se as espessuras forem de e ?

Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média e desvio padrão, . Calcule:

1. A probabilidade de um homem ter mais de de altura.
2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.

A dureza Rockwell de uma liga particular é distribuída normalmente, com uma média de e um desvio padrão de .

1. Determinar a probabilidade da dureza estar entre e .
2. Se o intervalo aceitável para a dureza fosse , para qual valor de teríamos de todos os espécimes com dureza aceitável?

A função de densidade de probabilidade associada à distribuição normal é completamente caracterizada por sua média e seu desvio padrão . Defina o que representam estes parâmetros para a distribuição normal e esboce através de gráficos esta afirmação.

O tempo de vida de um componente elétrico é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre , que corresponde a uma variância de Ao falhar, o componente é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo. Dispõe-se de componentes iguais e independentes. Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operação um componente depois de um total de horas de operação?

Suponha que o peso de uma pessoa selecionada ao acaso de uma certa população distribui-se normalmente com média e variância . Suponha também que e .

1. Obtenha e e calcule
2. Dentre todas as pessoas pesando no mínimo quilos, qual percentual pesará mais de quilos?
3. Tomamos uma amostra de pessoas dessa população. Qual a probabilidade de que exatamente delas pesem mais do que quilos?

Sabe-se que a duração em quilômetros rodados de pneus da marca A é normal. Um revendedor de pneus, para efeitos de garantia, quer calcular a probabilidade de que um pneu dessa marca dure mais de 55.000 quilômetros, mas não conhece os parâmetros média (µ) e desvio-padrão (σ) dessa distribuição normal. Com base em seus registros ele verificou que 21% desses pneus duram pelo menos 48.100 quilômetros; e 1% desses pneus dura no máximo 16.700 quilômetros.

a) Usando as informações do revendedor, calcule µ e σ.

b) Calcule a probabilidade de que um pneu da marca A dure mais do que 55.000 quilômetros.

e representam os valores (em reais) que as ações A1 e A2, respectivamente, terão daqui a um ano. Como sabemos, o comportamento caótico da bolsa de valores implica que e podem ser considerados aleatórios. Suponha, mais especificamente, que:

1. é modelada por uma distribuição Normal com média de 30 reais e variância de 100 reais²;
2. é modelada por uma distribuição Normal com média de 60 reais e variância de 400 reais²; e
3. as cotações dessas duas ações são independentes.

Um investidor comprou hoje 300 ações A1 a 25 reais cada uma, e 200 ações A2 a 40 reais cada uma.

1. Quais são a distribuição, a esperança e o desvio padrão do valor total que a carteira de ações deste investidor terá dentro de um ano?
2. Qual é a probabilidade de que essa a carteira de ações tenha se valorizado em pelo menos 50% depois de um ano?

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média e desvio-padrão .

Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de R$ 180,00 com desvio padrão de R$ 25,00. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

a) Encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00.

b) Dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão 96% dos salários?

c) Se selecionarmos 16 operários ao acaso e de maneira independente, qual é a probabilidade que o salário médio deles seja superior a R$ 190,00?

A duração de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir.

Pede-se:

a) Determine a densidade da v.a.

b) Calcular , e , para

Suponha que as notas obtidas pelos alunos num exame nacional sejam normalmente distribuídas com média e desvio padrão .

1. Determine a porcentagem de alunos com notas superiores a .
2. Se as notas de cinco desses alunos forem sorteadas, qual a probabilidade de que ao menos duas sejam superiores a ?

Por saber que há uma grade procura por imóveis em determinada região muito valorizada, uma construtora decide comprar um terreno e construir uma casa nesse local.

1. O valor de venda desse imóvel depois de pronto pode também ser considerado como uma variável aleatória, com distribuição Normal, cuja média é milhão de reais. Qual deve ser o desvio padrão dessa distribuição para que se possa garantir, com de probabilidade, que a construtora conseguirá vender a casa por pelo menos mil reais?

O valor exato de uma certa grandeza, expresso em uma unidade apropriada, é igual a , onde . Quando essa grandeza é medida com o uso de um determinado instrumento, o resultado da medição se comporta como uma variável aleatória , que segue uma distribuição . O erro relativo correspondente a essa medição é . A probabilidade de que esse erro relativo seja maior que 0,5 é igual a 0,02.

1. Qual é o valor de , se ?
2. Qual é o valor de , se ?

Obs.: Nesta questão os cálculos devem ser efetuados sempre com duas casas decimais.

A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com e . Os limites de especificação foram dados como .

1. Que percentual de forjas será defeituoso?
2. Qual é o valor máximo permissível para que permitirá que não exista mais de forja defeituosa em se as espessuras forem de e ?

Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média e desvio padrão, . Calcule:

1. A probabilidade de um homem ter mais de de altura.
2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.
3. A mediana e a distância interquartil da variável altura.

O diâmetro de uma conexão é distribuído normalmente, com uma média de e um desvio padrão de . As especificações do projeto são . Note que o processo de fabricação está operando com a média diferente da especificação do projeto.

1. Determine a probabilidade de uma peça estar fora da especificação.
2. O Engenheiro de Controle de Qualidade decide ajustar a máquina de modo que a nova média fique dentro da especificação. Nessa situação, qual a probabilidade da peça estar fora da especificação?
3. Se uma peça dentro da especificação gera um lucro de , e fora da especificação um lucro de apenas , calcule o lucro esperado para os casos e .

Uma torre de transmissão capta além do sinal de interesse, um ruído branco. Se a voltagem do ruído branco nos terminais de entrada da antena da torre pode ser modelado por uma v.a. com distribuição , responda:

Qual a densidade de probabilidade da potência do ruído branco nos terminais da antena, sabendo que a potência é uma função: .

Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal com média de anos e variância de anos², determine:

1. A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre e anos de tempo de estudo.
2. Toma-se uma amostra de adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser menor que anos?
3. Toma-se uma amostra de adultos, qual a probabilidade do menos idoso na amostra exceder anos de estudo?

Uma indústria de manufatura produz peças cujo diâmetro tem a seguinte especificação nominal . Pede-se:

1. Qual a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso, ter diâmetro entre e .
2. Um comprador destas peças acertou a compra de um lote de peças. Qual a probabilidade da média dos diâmetros deste lote (denotada por ) ser ?
3. Deste mesmo lote adquirido pelo fabricante, qual a probabilidade do maior dos diâmetros de todas as peças ser superior a ?

Os resultados de um certo teste psicológico que mede a ansiedade em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média e variância . Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

1. Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos?
2. Se os alunos matriculados em engenharia que fazem a matéria de PROBEST passarem no teste, qual é a probabilidade que tenham tido uma pontuação media acima de ?
3. Qual a probabilidade de um aluno selecionado ao acaso, medir entre e .

Uma empresa produz televisores de tipos, tipo (comum) e tipo (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo , com média de meses e desvio padrão de meses e no tipo , com média de meses e desvio padrão de meses. Os televisores de tipo e são produzidos com lucro de e respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de e respectivamente.

1. Calcule as probabilidades de haver restituições nos televisores do tipo e do tipo .
2. Calcule o lucro médio para os televisores do tipo e para os televisores do tipo .
3. Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo ou do tipo , explique conforme o resultado do item ?

A vazão instantânea de um rio em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com de probabilidade. Calcules este valor.
2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre e .
3. Suponha que tenhamos uma amostra de medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a .

Os resultados de um certo teste de medida que mede o peso em uma população de alunos universitários da PUC, é uma variável aleatória Normal com média 64 e desvio padrão 16. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

1. Quer-se classificar a população em quatro categorias iguais, quais serão as pontuações que delimitam esses grupos?
2. Qual a probabilidade de alguém pesar entre 57 e 74?
3. Se os 25 alunos matriculados em Engenharia Civil que fazem a matéria de PROBEST fizerem o teste, qual é a probabilidade que tenham o peso médio superiores a 70?
4. Dentre 25 alunos nesta mesma amostra, qual a probabilidade do aluno que teve o peso maior, não exceda 70 no teste?

O consumo mensal em minutos por conta de celular numa certa região é uma v.a. Normal com média minutos e variância (minutos)² ou desvio padrão minutos.

1. Qual a probabilidade de alguém usar o celular entre e minutos?
2. Quantos minutos por mês alguém deve ficar no celular para estar entre os que menos usar o aparelho?

Toma-se uma amostra de usuários de celular.

3. Qual a probabilidade do tempo médio de uso na amostra exceder a minutos?
4. Qual a probabilidade do maior tempo de uso na amostra ser menor que minutos?

Seja uma variável aleatória contínua com densidade Normal, onde os valores possíveis de pertence aos reais, e .

Determine a densidade de .

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. Qual deve ser o desvio-padrão do diâmetro, para termos uma probabilidade de de o diâmetro não exceder ?

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. Qual é a probabilidade do diâmetro desta impressora exceder ?

A resistência de uma liga de aço possui Distribuição Normal com média igual a Mpa e Desvio Padrão igual a Mpa. Uma peça moldada com essa liga será vendida por se a sua resistência ficar acima de Mpa; caso contrário, o preço de venda será de . Sabendo que o custo de fabricação da peça é de , determine:

1. O lucro esperado por peça.
2. Qual o significado do valor obtido em (a)?

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos variáveis aleatórias independentes com distribuição normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacote de café: média e desvio-padrão .

Pacote de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacote de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é , e que, além disso, você ainda carrega exatos de roupas. Pede-se:

a) Determinar o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos. Qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os permitidos para o embarque?

b) No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e kg.

c) Considere como sendo a média e a variância do peso total da bagagem aquelas fornecidas no item (b). Para um tamanho de amostra , qual a probabilidade da mala com menor peso exceder ?

b) Seja uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição . Se , quem é a distribuição de ? E da v.a. .

Seja uma Variável aleatória contínua com densidade Normal de média e variância .

Determine a densidade de

A distribuição do peso dos usuários de um elevador pode ser modelada por uma Normal com média e com desvio padrão . Suponha que cinco pessoas apareçam aleatoriamente para usar esse elevador.

(b) Na construção de um novo elevador, qual deve ser o limite de carga para que se garanta, com de chance, que a soma dos pesos de cinco pessoas dessa população de usuários não ultrapasse este limite?

A distribuição do peso dos usuários de um elevador pode ser modelada por uma Normal com média e com desvio padrão . Suponha que cinco pessoas apareçam aleatoriamente para usar esse elevador.

(a) Sabendo que o limite de peso recomendado para o elevador é de , calcular a probabilidade de que o peso no elevador exceda esse limite.

O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído com uma média de e um desvio padrão de .

1. Assumindo uma amostra de 10 impressoras, qual a probabilidade de que o menor diâmetro do ponto produzido dentro desta amostra exceda ?

Um apartamento de 2 quartos numa certa região da cidade custa, em média, . A dispersão entre os valores, medida pelo desvio padrão, é .

Além disso, pode-se assumir os preços dos apartamentos como independentes entre si e normalmente distribuídos.

b) Considere compradores de apartamentos de 2 quartos neste bairro. Qual a probabilidade do preço médio pago por eles ser inferior a ?

c) Dentre as pessoas nesta mesma amostra, qual a probabilidade do comprador que pagou mais caro por um apartamento ter pago menos de ?

O Chile encontra-se em uma das regiões do mundo que apresentam os maiores índices de ocorrência de terremotos. Suponha que o intervalo de tempo T entre a ocorrência de dois terremotos sucessivos possa ser modelado por uma variável aleatória exponencial com média desconhecida , em meses. Com base em dados históricos sabe-se que a probabilidade de que o intervalo de tempo entre dois terremotos exceda um ano é de 0, 001%.

(a) Usando a informação contida nos dados históricos, calcule o valor de λ e em seguida escreva a expressão matemática da função densidade de probabilidade da variável aleatória .

(b) Determine o número médio de terremotos no Chile durante um período de 6 meses e em seguida calcule a probabilidade de que nesse período de tempo ocorram no máximo dois terremotos.

(c) Um terremoto é considerado extremo se sua magnitude na escala Richter for superior a 10. Admitindo que a magnitude dos terremotos no Chile, na escala Richter, seja distribuída conforme uma normal de média 6,5 e desvio padrão 1, determine a probabilidade de um terremoto ser considerado extremo.

Um produto pesa em média com desvio padrão de . Esse produto é embalado em caixas com 150 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média com desvio padrão de . Admitindo-se que os pesos das caixas e dos produtos sejam independentes entre si e modelados pela distribuição normal, responda:

1. A área de controle de qualidade da produção detecta a existência de não conformidades a partir do peso das caixas cheias. Ela tolera um erro de mais ou menos com relação ao valor médio da caixa cheia. Calcule a probabilidade de termos uma caixa fora do intervalo de conformidade.
2. Assumindo uma amostra de caixas cheias, qual a probabilidade do maior peso dentro desta amostra exceder a média de uma caixa cheia? Calcule para e .

Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal com média de 9 anos e variância de 16 anos², determine:

1. A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 8 e 15 anos de tempo de estudo.
2. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser menor que 7 anos?
3. Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade do que tem menos anos de estudo desta amostra exceder 14 anos de estudo?
4. Quantos anos de estudo um adulto deve ter, para estar dentre os 4% que mais tempo tem de estudo?

b) Seja uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição . Se , quem é a distribuição de ? E da v.a. .

Um distribuidor de sementes afirma que apenas de suas sementes não germinam. Ele vende pacotes com sementes, com a garantia de que pelo menos das sementes de um pacote irão germinar.

1. Segundo a afirmação do distribuidor, obtenha o número médio de sementes que irão germinar de um pacote.
2. Calcule a probabilidade de um pacote não comprovar a garantia dada pelo distribuidor.

Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade de uma v.a. .

Sejam , e os tempos necessários para realizar três reparos sucessivos em determinada oficina. Suponha que sejam variáveis aleatórias normais independentes com valores esperados , e e variâncias , e , respectivamente. Pede-se:

a) Se e , calcule e .

b) Usando os e do item anterior, calcule e .

c) Se , , e , , , calcule e .

Uma torre de transmissão capta além do sinal de interesse, um ruído branco. Se a voltagem do ruído branco nos terminais de entrada da antena da torre pode ser modelado por uma v.a. com distribuição , responda:

Qual a densidade de probabilidade da potência do ruído branco nos terminais da antena, sabendo que a potência é uma função: .

Seja uma variável aleatória contínua com densidade Normal, onde os valores possíveis de pertence aos reais, e .

Determine a função de densidade de probabilidade da v.a. .

13) Dimensione o comprimento médio de uma prateleira para acomodar latas quadradas de tinta que tem larguras normais de valor esperado e desvio padrão . Deseja-se que as latas escolhidas aleatoriamente (de forma independente) caibam na prateleira e que a probabilidade de deixarem uma folga menor que entre a última lata e o final da prateleira seja menor que . Admita que as latas foram encostadas à esquerda no início da prateleira.

a)

b) 0

c)

d)

e)

Considere duas variáveis aleatórias normais e independentes: possui esperança e variància . e possui esperança e variância . A probabilidade de ser maior do que .

O preço da gasolina aditivada () no Brasil depende do valor do preço da gasolina comum (), do etanol () e dos aditivos (), seguindo a função . Sabe-se que os preços por litro dos componentes da gasolina aditivada podem ser modelados por variáveis aleatórias independentes com distribuições normais com médias e variâncias mostradas na tabela abaixo.

A probabilidade que o preço da gasolina aditivada ultrapasse R$7,00 o litro é aproximadamente:

Admita que a largura dos ombros de pessoas é uma variável aleatória (v.a.) normal de média e desvio padrão de . Pretende-se dimensionar o corredor de uma casa, de forma a permitir a passagem de duas pessoas, de maneira confortável. Consideram-se satisfeitas as condições de conforto quando há uma folga de entre os ombros de duas pessoas e também entre os ombros e as paredes.

a) Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso dessa população, ter a largura dos ombros maior que ?

b) Um projetista desenhou o corredor com de largura. Qual a probabilidade da passagem se dar de maneira confortável?

c) Que largura deve ter o corredor para permitir, em dos casos, a passagem de duas pessoas, de maneira confortável?

Um apartamento de 2 quartos numa certa região da cidade custa, em média, . A dispersão entre os valores, medida pelo desvio padrão, é .

Além disso, pode-se assumir os preços dos apartamentos como independentes entre si e normalmente distribuídos.

1. Uma imobiliária pretende oferecer uma viagem de presente aos compradores de apartamentos de quartos neste bairro que comprem os apartamentos situados na faixa dos mais caros. A partir de quanto deve custar esse apartamento para que seu comprador ganhe a viagem de “presente”?

Queremos desenvolver um software que será composto por 5 módulos. Admita que o número de comandos em cada módulo pode ser tratado como uma variável aleatória com distribuição Normal de média comandos e desvio padrão comandos. Há independência entre os números de comandos dos diversos módulos. O objetivo é calcular a média e o desvio padrão do número total de comandos desse software. Foi proposta a seguinte solução: Sejam número de comandos em um módulo e número de comandos total no software. Então Além disso,. Logo: ; ; comandos.

Pergunta-se:

(a) Está correta essa solução? Se sim, por que sim? Se não, por que não?

(b) Apresente outra resolução para o problema.

(c) A suposição de Normalidade é de fato essencial para se resolver o problema? E quanto à suposição de independência?

Assuma que a altura das nuvens em relação ao solo no centro de São Paulo é uma variável aleatória normal com esperança e desvio padrão . Um estudo revelou que a probabilidade da altura das nuvens nessa região ser maior que vale . A esperança vale (em metros):

05) Uma fábrica produz parafusos com resistência ao torque , a qual deveria ser no mínimo . Assuma distribuição normal para a resistência. Verificou-se que com a regulagem atual do processo dos parafusos saem com resistência menor que . O engenheiro do processo aumentou a resistência média em para tentar resolver o problema (mantendo a variância). Agora