Enunciado

10-58. Dois tipos dferentes de máquinas de moldagem por injeção são

tusados para formar peças de plasticos. Uma peça é comsiderada defei-

tiosa se ela tiver exeesso de encolhimento ou se for deseolorida. Duas

amostras aleatórias, cada uma de tamanho 300, são selecionadas e 15

pecav defeituosas sao encontradas na amostra da máquina 1. enquanto

S pecas defeituosas sao encontradas na amostra da máquina 2.

a) E razoavel concluir que amhas as máquinas prexluzam a mesma

tração de peças deleiluosas, usando a =0.05? Encontre o valor

P para esse teste.

b)Construa um intervalo de confiança de 95% para a diferenca das duas

fraçoes deleituosas.

c) Suponha quc p. -0.05cp. =0.01.C'om os lamanhos das amostras

dados aqui. qual é a poténcia do leste para essa alternativa bilateral?

d) Suponha que pi = 0,05 c p, = 0.01. Determine o tamanho necessá-

rio da amostra para detectar essa diferença. com uma probabildade

de no mínimo 0.9.

e)Suponha que p: - 0.05 e p. = 0.02. Com os tamanhos das amostras

dados aqui, qual é a potência do teste para essa alternativa bilateral?

f) Suponha que pi = 0.05 e p: - 0,02. Determine o tamanho necessá-

rio da amostra para detectar essa diferenca. com uma probabilidale

de no minimo 0.9.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 300 x 1 = 15 n 2 = 300 x 2 = 8 a = 0.05

Letra a:

Determine as hipóteses:

H 0 : μ 1 = μ 2 H 1 : μ 1 ≠ μ 2

A proporção da amostra é o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra:

p ^ 1 = x 1 n 1 = 15 300 ≈ 0.05 p ^ 2 = x 2 n 2 = 8 300 ≈ 0.0267 p ^ p = x 1 + x 2 n 1 + n 2 = 15 + 8 300 + 300 = 23 600 ≈ 0.0383

Determine o valor da estatística de teste:

z = p ^ 1 - p ^ 2 p ^ p 1 - p ^ p 1 n 1 + 1 n 2 = 0.05 - 0.0267 0.0383 ( 1 - 0.0383 ) 1 300 + 1 300 ≈ 1.49

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste, ou um valor mais extremo. Determine o valor P usando a tabela III:

P = P ( Z < - 1.49  ou  Z > 1.49 ) = 2 P ( Z < - 1.49 ) = 2 ( 0.068112 ) = 0.136224

Se o valor P for menor do que o nível de significância, rejeite a hipótese nula:

P > 0.05 ⇒  Falha em rejeitar  H 0

Não há evidências suficientes para apoiar a alegação de que há uma diferença nessas proporções.

Passo 2

Letra b:

c = 95 % = 0.95

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

O limite inferior do intervalo de confiança para p 1 - p 2 são então:

p ^ 1 - p ^ 2 - z α 2 ⋅ p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ˙ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.05 - 0.0267 ) - 1.96 0.05 1 - 0.05 300 + 0.0267 1 - 0.0267 300 ≈ - 0.0074

p ^ 1 - p ^ 2 + z α 2 ⋅ p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.05 - 0.0267 ) + 1.96 0.05 1 - 0.05 300 + 0.0267 1 - 0.0267 300 ≈ 0.0540

Passo 3

Letra c:

Dados:

p 1 = 0.05 p 2 = 0.01

A fórmula da potência é:

β = Φ z a / 2 p q 1 / n 1 + 1 / n 2 - p 1 - p 2 p 1 1 - p 1 n 1 + p 2 1 - p ˙ 2 n 2 - Φ - z a / 2 p q 1 / n 1 + 1 / n 2 - p 1 - p 2 p 1 1 - p ˙ 1 n 1 + p ˙ 2 1 - p ˙ 2 n 2

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Use a fórmula da potência:

β = Φ 1.96 0.03 1 - 0.03 1 300 + 1 300 - 0.05 - 0.01 0.05 1 - 0.05 300 + 0.01 1 - 0.01 300 - Φ - 1.96 0.03 1 - 0.03 1 300 + 1 300 - 0.05 - 0.01 0.05 1 - 0.05 300 + 0.01 1 - 0.01 300 )   = Φ ( - 0.92 ) - Φ ( 0.92 )

Avalie usando a tabela de probabilidade normal no apêndice:

β = Φ ( 0.92 ) - Φ ( - 0.92 ) = 0.821214 - 0.178786 = 0.642428

A potência é o complemento de β :

P o t ê n c i a = 1 - β = 1 - 0.642428 = 0.357572

Passo 4

Letra d:

Dados:

Potência  = 0.9

A potência é o complemento de β :

β = 1 - P o t ê n c i a = 1 - 0.9 = 0.1

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α / 2 p 1 + p 2 1 - p 1 + 1 - p 2 / 2 + z β p 1 1 - p 1 + p 2 1 - p 2 2 p 1 - p 2 2

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Determine z β = z 0.10 usando a tabela III (procure 0.10 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z β = 1.28

Avalie na fórmula (e arredonda para cima!)

n = 1.96 ( 0.05 + 0.01 ) ( 1 - 0.05 + 1 - 0.01 ) / 2 + 1.28 0.05 ( 1 - 0.05 ) + 0.01 ( 1 - 0.01 ) ) 2 ( 0.05 - 0.01 ) 2 = 380

Passo 5

Letra e:

Dados:

p 1 = 0.05 p 2 = 0.02

A fórmula da potência é:

β = Φ z a / 2 p q 1 / n 1 + 1 / n 2 - p 1 - p 2 p 1 1 - p 1 n 1 + p 2 1 - p 2 n 2 - Φ - z 0 / 2 p q 1 / n 1 + 1 / n 2 - p 1 - p 2 p 1 1 - p 1 n 1 + p 2 1 - p ˙ 2 n 2

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Use a fórmula da potência:

β = Φ 1.96 0.035 1 - 0.035 1 300 + 1 300 - 0.05 - 0.02 0.05 1 - 0.05 300 + 0.02 1 - 0.02 300

- Φ 1.96 0.035 1 - 0.035 1 300 + 1 300 - 0.05 - 0.02 0.05 1 - 0.05 300 + 0.02 1 - 0.02 300 = Φ ( - 0.04 ) - Φ ( 0.04 )

Avalie usando a tabela de probabilidade normal no apêndice:

β = Φ ( 0.04 ) - Φ ( - 0.04 ) = 0.515953 - 0.484047 = 0.031906

A potência é o complemento de β :

P o t ê n c i a = 1 - β = 1 - 0.031906 = 0.968094

Passo 6

Letra f:

Dados:

Potência  = 0.9

A potência é o complemento de β :

β = 1 - P o t ê n c i a = 1 - 0.9 = 0.1

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α / 2 p 1 + p 2 1 - p 1 + 1 - p 2 / 2 + z β p 1 1 - p 1 + p 2 1 - p 2 2 p 1 - p 2 2

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Determine z β = z 0.10 usando a tabela III (procure 0.10 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z β = 1.28

Avalie na fórmula (e arredonda para cima!)

n = 1.96 ( 0.05 + 0.02 ) ( 1 - 0.05 + 1 - 0.02 ) / 2 ) 2 + 1.28 0.05 ( 1 - 0.05 ) + 0.02 ( 1 - 0.02 ) ) ( 0.05 - 0.02 ) 2 = 786

Resposta

  1. Não há evidências suficientes para apoiar a alegação de que há uma diferença nessas proporções.
  2. - 0.0074 ≤ p 1 - p 2 ≤ 0.0540
  3. 0.357572
  4. n = 380
  5. 0.968094
  6. n = 786
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