Enunciado

Em uma titulação ácido base, uma base um ácido é gradualmente adicionada ao outro até que ele sejam completamente neutralizados. Sejam X e Y2 milímetros de ácido e base necessários para a equivalência, respectivamente. Considere que X e Y tem uma distribuição normal be variada, com.

Determine o seguinte:

Passo 1

A correlação entre X e Y é dada por:

ρ ( X Y ) = c o v ⁡ ( X Y ) σ X σ Y

Letra a:

Vamos calcular a covariância entre X e Y.

c o v ⁡ ( X , Y ) = ρ ( X Y ) σ X σ Y = 0.6 ⋅ 5 ⋅ 2 = 6

Passo 2

Letra b:

Já que X e Y têm uma distribuição normal bivariada, a distribuição marginal de X e Y é normal.

A distribuição marginal de X:

X           N 120 , 5 2

A distribuição marginal de Y:

Y         N 100 , 2 2

Passo 3

Letra c:

Vamos encontrar P (X

P ( X < 116 ) = P X - μ σ < X - 120 5 = P Z < 116 - 120 5 = P ( Z < - 0.8 ) = 0.2112

Passo 4

Letra d:

A distribuição de probabilidade condicional de X dado que y = 102 é normal com a média

μ X ∣ Y = μ X - μ Y ρ σ X σ Y + σ X σ Y ρ Y = 120 - 100 ⋅ 0.6 ⋅ 5 2 + 5 2 ⋅ 0.6 ⋅ 102 = 120 - 150 + 153 = 123

e a variância é:

σ x ∣ y 2 = σ x 2 1 - ρ 2 = 5 2 1 - 0.6 2 = 25 ( 1 - 0.36 ) = 25 ⋅ 0.64 = 16

Passo 5

Letra e:

Z = X - μ X | Y σ X | Y , então:

P ( X < 116 ∣ Y = 102 ) = P Z < 116 - 123 16 = P ( Z < - 1.75 ) = 0.0401

Resposta

a )   6     b )   X       N 120 , 5 2   e   Y         N 100 , 2 2   c )   0.2112 d )   μ X ∣ Y = 123   e   σ X ∣ Y 2 = 16     e )   0.0401

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