Enunciado

10-79. Um artigo na revista Journal ofthe Enrironmenial Engineering

Dnison ("Distribution of Tonic Substances in Rners"-Distribuisao

de Substancias Tóxicas em Rios. 1982. Val. 108. pp. 6.39-649) investi

gou a concentraçae de varias substáncias oreánicas hidrofobieas no rio

Wolt no Tenneesse. Medidas de hexaclombenieno (HCBI em nanogra-

mas por litro são retiralas em diferentes profundidades a jusante de um lixào

ahandonado. Dados para duas protundidades sao mostrados a seguir:

a) Quais são as suposições requerklas para testar a alirmacão de que a

coneentração média le HCB éa mesma em ambas as proluklidades?

Verilique essas suposieoes para as quais vocé tem a informação.

b) Aplique um procedimento apropriado para delerminar se os dados

confirmam a afirmação do item (a).

c) Suponha quc a diferenea verdadeira nas concentracoes médias seja

2.0 nanogramas por litro. Para qual é a poténcia de um

teste estalistico para

d) Que tamanho de amostra seria requerido para detectar uma diferen-

ca de 1O nanograma por litro com se a potência tem de ser

no minimo 0.9?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 10 n 2 = 10

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores:

x - 1 = 3.74 + 4.61 + 4.00 + … + 5.29 + 5.74 + 5.48 10 ≈ 4.804 x - 2 = 5.44 + 6.88 + 5.37 + … + 5.85 + 6.85 + 7.16 10 ≈ 5.839

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividido por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s 1 = ( 3.74 - 4.804 ) 2 + … + ( 5.48 - 4.804 ) 2 10 - 1 ≈ 0.6314 s 2 = ( 5.44 - 755.6 ) 2 + … + ( 7.16 - 755.6 ) 2 10 - 1 ≈ 1.014

Passo 2

Letra a:

Exigimos que as distribuições sejam distribuídas aproximadamente normalmente.

Gráfico da probabilidade normal:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem n valores de dados, então as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde à menor quantidade de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e assim por diante.

Passo 3

Amostra 1:

Amostra 2:

A suposição normal parece ser satisfeita, porque o padrão em ambos os gráficos de probabilidade normal é aproximadamente linear, o que indica que as distribuições são aproximadamente normalmente distribuídas.

Passo 4

Letra b:

Determine a estatística de teste:

t = x - 1 - x - 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = 4.804 - 5.839 0.6314 2 10 + 1.014 2 10 ≈ - 2.740

Determine os graus de liberdade (arredondados para o número inteiro mais próximo):

Δ = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 2 s 1 2 / n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 / n 2 2 n 2 - 1 = 0.6314 2 10 + 1.014 2 10 2 0.6314 2 / 10 2 10 - 1 + 1.014 2 / 10 2 10 - 1 ≈ 15

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste, ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t no na linha d f = 15 :

0.01 = 2 × 0.005 < P < 2 × 0.01 = 0.02

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as concentrações médias de HCB são diferentes nas duas profundidades.

Passo 5

Letra c:

Dado:

Δ = 2.0 α = 0.05

O poder é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine t α / 2 com d f = 15 usando a tabela V:

t 0.025 = 2.131

A diferença média da amostra correspondente é a diferença média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 - t α / 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = 0 - 2.131 ⋅ 0.6314 2 10 + 1.014 2 10 ≈ - 0.80496 x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 + z α / 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 0 + 2.131 ⋅ 0.6314 2 10 + 1.014 2 10 ≈ 0.80496

O valor t é a diferença média da amostra diminuída pela diferença média da população (diferença média alternativa!), dividida pelo desvio padrão:

t = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = - 0.80496 - 2 0.6314 2 10 + 1.014 2 10 ≈ - 7.426 t = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 s p 1 n 1 + 1 n 2 = 0.80496 - 2 0.6314 2 10 + 1.014 2 10 ≈ - 3.164

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela V com d f = 15 .

0.995 = ( 1 - 0.005 ) + 0 < P < ( 1 - 0.0025 ) + 0.0005 = 0.998

Passo 6

Letra e:

Dado:

Δ = 1 α = 0.05 P o t ê n c i a = 0.9

β é o complemento da potência

β = 1 - P o t ê n c i a = 1 - 0.9 = 0.1

Fórmula do tamanho da amostra:

n = z α / 2 2 σ 1 2 + σ 2 2 Δ - Δ 0 2

Δ 0 é a hipótese nula em μ 1 - μ 2 = Δ 0

Δ é a hipótese alternativa μ 1 - μ 2 = Δ

Determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela lll (procure 0.025 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Determine z β = z 0.1 usando a tabela lll (procure 0.1 na tabela. O valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z β = 1.28

Preencha os valores conhecidos na fórmula e avalie (arredonda para cima!):

n 1 = n 2 = ( 1.96 + 1.28 ) 2 0.6314 2 + 1.014 2 ( 1 - 0 ) 2 ≈ 15

Resposta

  1. Premissas satisfeitas
  2. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as concentrações médias de HCB são diferentes nas duas profundidades.
  3. 0.995 < P o t ê n c i a < 0.998
  4. n 1 = n 2 = 15
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Se E(X) = μ e Var(X) = σ², escreva em função de μ e σ² as seguintes expressões:E[X(X-1)]
Refaça o problema anterior para o caso de as v.a. terem todas a mesma média μ e a mesma variância σ².
Se X e Y forem v.a. independentes, com distribuições de Poisson, com parâmetros λ1 e λ2, respectivamente, mostre que X + Y terá distribuição de Poisson com parâmetro λ1 + λ2.
Suponha que X~b(n, p) e Y~b(m, p), sendo ainda X e Y v.a. independentes. Mostre que X + Y~b(m + n; p).
Suponha E(X) = μ1, E(Y) = μ2, Var(X) = σ1², Var(Y) = σ2², Cov(X, Y) = σ12. Então, o coeficiente de correlação entre X e Y é dado por