Enunciado

11-87. Pensa-se que os gramas de sólidos removidos de um material (y)

eslejam relacionados ao tempo de secagem. Dez observações obtidas a

partir de um estudo experimental sâo dadas a seguir:

a)Construa um diagrama de dispersão para esses dados.

b) Ajuste um modelo de regressão linear simples a esses dados.

c) Teste a significancia da regressão.

d) Baseando-se nesses dados. qual é sua estimativa dos gramas médios

de sólidos removidos em 4.25 horas? Encontre um intervalo de con-

fianca de 95'5 para a média.

e) Analise os residuos e comente a adequação do modelo.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Letra a:

Depois de processar os dados, chegamos ao seguinte gráfico de dispersão:

Passo 2

Letra b:

Primeiro, vamos calcular as quantidades importantes (nota que n = 10 ) .

x - = 4.75 y - = 4.84 S x x = ∑ k = 1 n   x k - x - 2 = 20.625 S x y = ∑ k = 1 n   x k - x - y k - y - = 24.05

Agora estamos prontos para determinar os coeficientes do modelo:

β ^ 1 = S x y S x x = 24.05 20.625 = 1.1661 β ^ 0 = y - - β ^ 1 x - = - 0.6988

Portanto, o melhor ajuste linear para os dados é:

y = - 0.6988 + 1.1661 x

Passo 3

Letra c:

Precisamos testar a significância da regressão. Neste exercício, vamos optar pela abordagem de análise de variância para este problema.

Primeiro, avalie a regressão e a soma dos quadrados dos erros:

S S R = ∑ k = 1 n   y ^ k - y - 2 = 28.04376 S S E = ∑ k = 1 n   y ^ k - y k 2 = 9.860242

para calcular o valor da estatística F:

F = S S R S S E n - 2 = 28.04376 9.860242 8 = 22.75

Rejeitamos H 0  se  F > F a , 1 , n - 2 ,   então primeiro, vamos determinar:

F 0.5,1 , 8 = 5.317655

e então rejeitar H 0  de   β 1 = 0  com   α = 0.05 .

Portanto, o modelo é significativo.

Passo 4

Letra d:

Vamos lembrar que o significado do modelo de regressão é a seguinte relação:

μ x = E Y x = β 0 + β 1 x

Podemos estimar os parâmetros para obter a estimativa pontual desta expectativa condicional (resposta da média):

μ ^ x = β ^ 0 + β ^ 1 x

Agora lembre-se da fórmula para o intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % na resposta da média em     x = x 0 :

μ ^ x 0 - t α 2 , n - 2 σ ^ 2 1 n + x 0 - x - 2 S x x ≤ μ x 0 ≤ μ ^ x 0 + t α 2 , n - 2 σ ^ 2 1 n + x 0 - x - 2 S x x

Agora calcule as quantidades necessárias a partir dos dados (ou use já calculado) para encontrar:

μ ^ 4.25 = 4.25697 3.399729 ≤ μ 2.5 ≤ 5.11421

Passo 5

Letra e:

Plote os resíduos do modelo em relação aos valores ajustados para a resposta e examine o gráfico.

Concluímos que a variância não é a mesma em todo o intervalo dos dados, porque os resíduos são muito menores para os maiores valores ajustados.

Portanto, o modelo não é totalmente adequado.

Resposta

  1. Olhar resolução
  2. y = - 0.6988 + 1.1661 x
  3. F = 22.75 ,  rejeita  H 0 , o modelo é significativo
  4. 3.399729 ≤ μ 4.25 ≤ 5.11421
  5. Ver resolução
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