Enunciado

11-88. Atomos de césio. resfriados por laser. poderiam ser usados para

construir relógios atômicos baratos. Em um estudo em IEEE Transac-

tions on Instrumentation and Measurement (2001. Vol. 50. pp. 1224

1228), o número de átomos resfriados por lasers de várias poténcias foi

contado.

a) Faça um gráfico dos dados e ajuste uma linha de regressão para pre-

ver o número de átomos provenientes de uma fonte de laser. Comente

a adequação de um moxielo linear.

b) Há uma regressáos significativa. com a - 0.05? Qual é o valor P?

c) Estime o coeficiente de correlação.

d) Teste a hipótese que p = 0 contra a aliernativa p =0.-0.05.

Qual é o valor P?

e) Calcule um intervalo de confiança de 955% para o coeficiente de in-

clinacão.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Vamos denotar a variável de quilate com a letra x, e a variável aleatória de preço com a letra y. Então, depois de processar os dados fornecidos na tabela chegamos ao seguinte gráfico de dispersão dos dados:

Na imagem acima, também apresentamos o ajuste linear aos dados.

Aqui estão as etapas para obter este modelo para que você possa verificar seu trabalho (nota que n = 15 ):

x - = 32 y - = 0.408 S x x = ∑ k = 1 n   x k - x - 2 = 2630 S x y = ∑ k = 1 n   x k - x - y k - y - = 58.18

Agora estamos prontos para determinar os coeficientes do modelo:

β ^ 1 = S x y S x x = 58.18 2630 = 0.022122 β ^ 0 = y - - β ^ 1 x - = - 0.299893

Portanto, o melhor ajuste linear para os dados é:

y = - 0.299893 + 0.022122 x

O ajuste parece ótimo e o modelo linear parece adequado, por exemplo, o coeficiente de determinação é enorme:

R 2 = 0.9886

Passo 2

Letra b:

Precisamos testar a significância da regressão. Neste exercício, vamos optar pela abordagem de análise de variância para este problema. Primeiro, avalie a regressão e a soma dos quadrados dos erros:

S S R = ∑ k = 1 n   y ^ k - y - 2 = 1.287039 S S E = ∑ k = 1 n   y ^ k - y k 2 = 0.01480106

para calcular o valor da estatística F:

F = S S R S S E n - 2 = 1.287039 0.01480106 13 ≈ 1130

Rejeitamos H 0  se   F > F α , 1 , n - 2 então rejeite H 0  de   β 1 = 0  com   α = 0.05 por causa da enorme estatística de teste que obtivemos.

Portanto, o modelo é significativo.

O valor p é aproximadamente 0.

Passo 3

Letra c e d:

Calcule (ou obtenha do software) a estimativa do coeficiente de correlação:

ρ ^ = 0.9942991

Agora, teste para a hipótese nula de ρ = 0   com a alternativa bilateral.

Calcule a estatística de teste:

T = ρ ^ n - 2 1 - ρ ^ 2 = 0.9942991 13 1 - 0.9942991 2 = 33.62

e concluímos que rejeitamos a hipótese nula de ρ = 0   em favor da alternativa de dois lados porque | T | > t α / 2 , n - 2 .

O valor p é 5.018208 × 10 - 14 ≈ 0 .

Passo 4

Letra e:

O intervalo de confiança da inclinação é dado pela seguinte fórmula:

β ^ 1 - t α 2 , n - 2 × se ⁡ β ^ 1 ≤ β 1 ≤ β ^ 1 + t α 2 , n - 2 × se ⁡ β ^ 1

Portanto, calculamos:

s e β ^ 1 = 0.000658 t α 2 , n - 2 = 2.160369

E obtemos:

0.022122 - 2.160369 × 0.000658 ≤ β 1 ≤ 0.022122 + 2.160369 × 0.000658 0.0207 ≤ β 1 ≤ 0.0235

Resposta

  1. y = - 0.299893 + 0.022122 x , R 2 = 0.9886
  2. F = 1130 ,  rejeita   H 0 , o modelo é significativo, valor de p aproximadamente 0
  3. ρ ^ = 0.9942991
  4. T = 33.62 ,  rejeita   H 0 , o valor P é aproximadamente 0
  5. 0.0207 ≤ β 1 ≤ 0.0235
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