Enunciado

11-95. Suponha que estejamos ajustando uma linha e desejamos ter

uma variância do coeficiente de regressão , tão pequena quanto

possível. Onde as obscrvações x,. i = 1. 2. ..., n, devem ser obtidas

para minimizar ? Discuta as implicações práticas dessa locali-

zação de x.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Para ver como a variância se comporta e como torná-la a menor possível, é preciso encontrar a variação primeiro. Para fazer isso, o fato de que as variáveis ​​aleatórias Y i , i = 1,2 , … , n   são independentes precisa ser usado da seguinte forma

V β ^ 1 = V ∑ i = 1 n   x i - x - Y i S x x = 1 S x x 2 ∑ i = 1 n   V x i - x - Y i = 1 S x x 2 ∑ i = 1 n   x i - x - V Y i = 1 S x x 2 S x x σ 2 = σ 2 S x x

A partir de V Y 1 = V Y 2 = … = V Y n = σ 2 . Lembre-se de que S x x   é definido como

S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - 2

Passo 2

Agora pode ser visto que quanto mais longe os x i   estão espalhados (da média), maior S x x   é e, portanto, a variância é menor.

A implicação prática é que a pessoa pode escolher x tão distantes quanto possível, assumindo que a verdadeira relação entre as variáveis ​​é realmente linear. Isso reduzirá a variância e o estimador será melhor. Contudo, uma pessoa não pode ter certeza na relação entre variáveis. Pode ser quadrático, exponencial ou semelhante. A alocação de forma que os valores de x fiquem mais separados não é algo que deve ser usado em problemas práticos.

Resposta

Maximize S x x . A implicação prática é que a pessoa pode escolher x tão distantes quanto possível, assumindo que a verdadeira relação entre as variáveis ​​é realmente linear. Isso reduzirá a variância e o estimador será melhor. Contudo, uma pessoa não pode ter certeza na relação entre variáveis. Pode ser quadrático, exponencial ou semelhante. A alocação de forma que os valores de x fiquem mais separados não é algo que deve ser usado em problemas práticos.

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